2020秋高中數(shù)學(xué)人教版4-5課堂演練：第四講4.1數(shù)學(xué)歸納法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020秋高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5課堂演練：第四講4.1數(shù)學(xué)歸納法第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4.1數(shù)學(xué)歸納法A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1）＝（n＋1)·(2n＋1）時，在驗(yàn)證n＝1成立時，左邊所得的代數(shù)式為（)A．1 B．1＋3C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析：當(dāng)n＝1時左邊所得的代數(shù)式為1＋2＋3。答案：C2．設(shè)f(n）＝1＋eq\f（1,2)＋eq\f（1，3）＋…＋eq\f(1，3n－1）（n∈N*），則f(n＋1）－f(n）等于()A。eq\f（1，3n＋2） B。eq\f（1,3n）＋eq\f（1,3n＋1）C。eq\f（1，3n＋1）＋eq\f(1，3n＋2） D。eq\f(1,3n）＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1，3n＋2）解析:因?yàn)閒(n)＝1＋eq\f(1,2）＋eq\f（1，3)＋…＋eq\f（1,3n－1），所以f（n＋1）＝1＋eq\f（1，2）＋eq\f（1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)＋eq\f(1，3n）＋eq\f(1，3n＋1)＋eq\f（1,3n＋2）,所以f（n＋1)－f（n)＝eq\f(1,3n）＋eq\f(1,3n＋1）＋eq\f（1，3n＋2）。答案:D3．已知a1＝eq\f(1，2)，an＋1＝eq\f(3an，an＋3)，猜想an等于（）A.eq\f(3,n＋2） B.eq\f(3，n＋3）C.eq\f(3,n＋4) D.eq\f(3，n＋5）解析：a2＝eq\f（3a1，a1＋3)＝eq\f(3,7)，a3＝eq\f(3a2,a2＋3）＝eq\f（3,8），a4＝eq\f(3a3,a3＋3）＝eq\f（1,3）＝eq\f（3，9)，猜想an＝eq\f（3，n＋5）.答案：D4．一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n＝2時命題成立，且由n＝k時命題成立推得當(dāng)n＝k＋2時命題也成立，則（)A．該命題對于n＞2的自然數(shù)n都成立B．該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C．該命題何時成立與k取什么值無關(guān)D．以上答案都不對解析：由題意當(dāng)n＝2時成立可推得n＝4，6，8，…都成立，因此該命題對所有正偶數(shù)都成立．答案：B5．記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k）,則凸(k＋1)邊形的內(nèi)角和f(k＋1）等于f(k)加上(）A．2π B．πC.eq\f（π,2) D。eq\f（3，2)π解析:從n＝k到n＝k＋1時，內(nèi)角和增加π。答案:B二、填空題6．當(dāng)f（k)＝1－eq\f（1,2）＋eq\f（1,3)－eq\f（1,4)＋…＋eq\f(1,2k－1)－eq\f（1，2k)，則f(k＋1)＝f(k）＋________．解析：f（k＋1）＝1－eq\f(1,2）＋eq\f(1,3）－eq\f(1，4)＋…＋eq\f(1，2k－1)－eq\f(1,2k)＋eq\f（1，2k＋1)－eq\f（1,2（k＋1）)，所以f（k＋1）＝f(k)＋eq\f(1，2k＋1）－eq\f（1,2（k＋1））。答案：eq\f（1，2k＋1）－eq\f（1，2k＋2）7．觀察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102,根據(jù)上述規(guī)律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝________．解析:已知等式可寫為：13＋23＝32＝(1＋2）2，13＋23＋33＝62＝（1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝102＝（1＋2＋3＋4)2，根據(jù)上述規(guī)律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝（1＋2＋…＋6)2＝212。答案：2128．已知平面上有n(n∈N*,n≥3)個點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不共線，過這些點(diǎn)中任意兩點(diǎn)作直線,設(shè)這樣的直線共有f（n）條，則f(3）＝________,f(4）＝________，f（5）＝________，f(n＋1）＝f（n）＋________．解析：當(dāng)n＝k時，有f(k）條直線．當(dāng)n＝k＋1時,增加的第k＋1個點(diǎn)與原k個點(diǎn)共連成k條直線,即增加k條直線,所以f(k＋1)＝f（k)＋k。又f（2）＝1，所以f(3）＝3，f（4)＝6，f(5)＝10,f(n＋1)＝f（n）＋n.答案:3610n三、解答題9．在用數(shù)學(xué)歸納法證明，對任意的正偶數(shù)n，均有1－eq\f(1，2）＋eq\f(1,3)－eq\f(1，4)＋…＋eq\f(1，n－1)－eq\f（1，n)＝2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,n＋2)＋\f（1,n＋4）＋…＋\f（1,2n)））成立時．(1)第一步檢驗(yàn)的初始值n0是什么？(2）第二步歸納假設(shè)n＝2k（k∈N*)時等式成立，需證明n為何值時,等式成立．（3）若第二步歸納假設(shè)n＝k（k為正偶數(shù))時等式成立,需證明n為何值時，等式成立．解：(1）n0為2，此時左邊為1－eq\f（1,2)，右邊為2×eq\f(1,4)＝eq\f（1，2）.(2)假設(shè)n＝2k(k∈N＊)時，等式成立,就需證明n＝2k＋2（即下一個偶數(shù)）時，等式也成立．（3）若假設(shè)n＝k（k為正偶數(shù)）時，等式成立,就需證明n＝k＋2(即k的下一個正偶數(shù))時，等式也成立．10．用數(shù)學(xué)歸納法證明n3＋5n能被6整除．證明:（1)當(dāng)n＝1時,左邊＝13＋5×1＝6，能被6整除，結(jié)論正確．（2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，結(jié)論正確，即k3＋5k能被6整除．則(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝k3＋5k＋3（k2＋k＋2)＝k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2),因?yàn)閗3＋5k能被6整除，(k＋1）(k＋2)必為偶數(shù)，3(k＋1）（k＋2）能被6整除，因此，k3＋5k＋3（k＋1)(k＋2）能被6整除．即當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論正確．根據(jù)（1）（2)可知,n3＋5n對于任何n∈N＋都能被6整除．B級能力提升1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式（n＋1)（n＋2)…（n＋n）＝2n×1×3×…×(2n－1)（n∈N＋）時，從“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代數(shù)式為（）A．2k＋1 B．2（2k＋1）C.eq\f(2k＋1，k＋1） D.eq\f（2k＋3,k＋1)解析：當(dāng)n＝k時,等式為（k＋1）（k＋2）…（k＋k)＝2k×1×3×…×（2k－1）．當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝［（k＋1)＋1］［(k＋1)＋2］…[（k＋1)＋k］·［（k＋1)＋（k＋1)］＝(k＋2）(k＋3)…(k＋k）（2k＋1）（2k＋2）．比較n＝k和n＝k＋1時等式的左邊,可知左端需乘以eq\f((2k＋1）（2k＋2），k＋1)＝2（2k＋1）．答案：B2．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1（n∈N＋）能被14整除,當(dāng)n＝k＋1時，對于34（k＋1)＋1＋52(k＋1）＋1應(yīng)變形為_______________．解析：34(k＋1）＋1＋52（k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81·34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1答案：81·（34k＋1＋52k＋1)－56·52k＋13．平面內(nèi)有n（n≥2，n∈N＊)條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不過同一點(diǎn)，那么這n條直線的交點(diǎn)個數(shù)f(n)是多少?并證明你的結(jié)論．解：當(dāng)n＝2時，f（2）＝1；當(dāng)n＝3時，f(3）＝3；當(dāng)n＝4時，f（4)＝6.因此猜想f(n）＝eq\f(n（n－1），2）（n≥2,n∈N＊)．下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n＝2時，兩條相交直線有一個交點(diǎn)，又f(2）＝eq\f（1，2)×2×（2－1）＝1.所以n＝2時,命題成立．(2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N*）時命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個數(shù)為f(k)＝eq\f(1，2）k(k－1)，當(dāng)n＝k＋1時，其中一條直線記為l，剩下的k條直線為l1，l2，…，lk.由歸納假設(shè)知，剩下的k條直線之間的交點(diǎn)個數(shù)為f(k）＝eq\f(k（k－1），2）.由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點(diǎn)，所以直線l與l1，l2，l3，…，lk的交點(diǎn)共有k個，所以f（k＋1)＝f(k)＋k＝eq\f(k（k－1)，2