2019-2020學(xué)年寧夏銀川市第二高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年寧夏銀川市第二高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.【考點定位】本題考查復(fù)數(shù)的基本運算，考查學(xué)生的基本運算能力.2．方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，得到不等式，解不等式即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為方程表示雙曲線，所以有，解得.故選：A【點睛】本題考查了已知方程表示雙曲線求參數(shù)取值范圍問題，考查了數(shù)學(xué)運算能力.3．設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求得導(dǎo)函數(shù)，由此解方程求得的值.【詳解】依題意，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查乘法的導(dǎo)數(shù)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.4．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減的是()A．y＝－x B．y＝x2－xC．y＝lnx－x D．y＝ex－x【答案】A【解析】分別根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】對于A，＝在(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，＝x在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，則y＝－x在(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)；B，C選項中的函數(shù)在(0，＋∞)上均不單調(diào)；選項D中，y′＝－1，而當(dāng)x∈(0，＋∞)時，y′＞0，所以函數(shù)y＝－x在(0，＋∞)上是增函數(shù)；故選D.【點睛】該題考查的是有關(guān)判斷給定函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性的問題，解題的關(guān)鍵是要明確基本初等函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡單題目.5．已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外一點，下列條件中能確定點M與點A，B，C一定共面的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】首先利用坐標(biāo)法，排除錯誤選項，然后對符合的選項驗證存在使得，由此得出正確選項.【詳解】不妨設(shè).對于A選項，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故A選項錯誤.對于B選項，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故B選項錯誤.對于C選項，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故C選項錯誤.對于D選項，，由于的豎坐標(biāo)為，故在平面上，也即四點共面.下面證明結(jié)論一定成立：由，得，即，故存在，使得成立，也即四點共面.故選：D.【點睛】本小題主要考查空間四點共面的證明方法，考查空間向量的線性運算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.6．有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導(dǎo)函數(shù)，如果，那么是函數(shù)的極值點．因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，所以是函數(shù)的極值點．以上推理中（）A．小前提錯誤 B．大前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．結(jié)論正確【答案】B【解析】對大前提，小前提，推理形式與結(jié)論進行判斷．【詳解】大前提：對于可導(dǎo)函數(shù)，如果，那么是函數(shù)的極值點，錯誤，極值點的定義中除要求，還需要在兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的符號相反．雖然小前提正確，推理形式正確，但結(jié)論是錯誤的，故選：B．【點睛】本題考查三段論推理，三段論推理的結(jié)論是正確的前提條件是大前提、小前提、推理形式都正確．7．在我校學(xué)科月活動中，老師推薦了一本古典名著.為了解學(xué)生誦讀情況，老師隨機問了甲，乙，丙，丁四名學(xué)生，但這四名學(xué)生中僅有一人閱讀了老師推薦的這本名著，當(dāng)他們被問到誰閱讀了這本名著時，甲說：“丙或丁閱讀了”；乙說：“丙閱讀了”；丙說：“甲和丁都沒有閱讀”；丁說：“乙閱讀了”.假設(shè)這四名學(xué)生中只有兩人說的是對的，那么讀了該名著的學(xué)生是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】先閱讀題意，再結(jié)合簡單的合情推理逐一檢驗即可得解．【詳解】解：①當(dāng)讀了該篇文章的學(xué)生是甲，則四位同學(xué)都錯了，與題設(shè)矛盾，故讀了該篇文章的學(xué)生不是甲，②當(dāng)讀了該篇文章的學(xué)生是乙，則丙，丁說的是對的，與題設(shè)相符，故讀了該篇文章的學(xué)生是乙，③當(dāng)讀了該篇文章的學(xué)生是丙，則甲，乙，丙說的是對的，與題設(shè)矛盾，故讀了該篇文章的學(xué)生不是丙，④當(dāng)讀了該篇文章的學(xué)生是丁，則甲說的是對的，與題設(shè)矛盾，故讀了該篇文章的學(xué)生不是丁，綜合①②③④得：讀了該篇文章的學(xué)生是乙，故選：B．【點睛】本題考查了閱讀能力及簡單的合情推理，屬于中檔題．8．對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足則必有（）A． B．C． D．【答案】C【解析】先由題意得到函數(shù)的單調(diào)性,然后跟根據(jù)單調(diào)性進行判斷可得結(jié)論.【詳解】若，則為常數(shù)函數(shù),;若不恒成立,當(dāng)時,,遞增，當(dāng)時,,遞減..故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)最值和單調(diào)性的關(guān)系,考查對基本概念的理解,解題時可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號得到函數(shù)的單調(diào)性,進而得到函數(shù)的最值情況,屬于中檔題.9．已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為L，過點F的直線交拋物線于A,B兩點（A在第一象限），過點A作準(zhǔn)線L的垂線，垂足為E，若∠AFE=60°A．43 B．23 C．4【答案】A【解析】因為|AE|=|AF|，∠AFE=60°，所以ΔAEF為正三角形，又F(1,0)，l:x=-1，因此|EF|=1-(-1)點睛：在涉及到過拋物線的焦點弦長或拋物線上的點到焦點的距離時一般要與拋物線的定義聯(lián)系，利用拋物線的定義求得弦長、距離，本題根據(jù)拋物線的定義及已知得ΔAEF是正三角形，從而只要求得EF的長，即可求得三角形的面積．10．已知函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為，，根據(jù)題意可得到，，從而可得答案．【詳解】解：函數(shù)，定義域，，當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時，在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，，，故選：D．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，依題意得到是關(guān)鍵，也是難點所在，屬于中檔題．11．函數(shù)的圖像大致為()A． B．C． D．【答案】B【解析】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．12．已知函數(shù)，函數(shù)（），若對任意的，總存在使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，可得在的值域包含于函數(shù)的值域，運用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和值域，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時，，則函數(shù)為單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則函數(shù)為單調(diào)遞減，即當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，且為最小值，又由，可得函數(shù)在的值域，由函數(shù)在遞增，可得的值域，由對于任意的，總存在，使得，可得，即為，解得，故選B.【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，其中解答中轉(zhuǎn)化為在的值域包含于函數(shù)的值域，運用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和值域是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.二、填空題13．曲線y=x2與y=x所圍成的封閉圖形的面積為______．【答案】【解析】首先求得兩個函數(shù)交點的坐標(biāo)，然后利用定積分求得封閉圖形的面積.【詳解】根據(jù)解得.畫出圖像如下圖所示，封閉圖像的面積為.【點睛】本小題主要考查利用定積分求封閉圖形的面積，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.解題過程中首先求得兩個函數(shù)圖像的交點坐標(biāo)，然后畫出圖像，判斷出所要求面積的區(qū)域，然后利用微積分基本定理求得封閉圖形的面積.14．已知向量，且，則____________．【答案】3【解析】利用向量的坐標(biāo)運算求得求出，根據(jù)空間向量模的公式列方程求解即可.【詳解】因為，所以，可得，因為，解得，故答案為3.15．如果橢圓的弦被點（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是________【答案】y=-0.5x+4【解析】【詳解】設(shè)弦為，且，代入橢圓方程得，兩式作差并化簡得，即弦的斜率為，由點斜式得，化簡得.16．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．【答案】【解析】試題分析：對函數(shù)求導(dǎo)得，對求導(dǎo)得，設(shè)直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義【名師點睛】函數(shù)f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）的幾何意義是曲線y＝f（x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為y?y0＝f′（x0）（x?x0）．注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同．三、解答題17．已知曲線（1）求其長軸長，焦點坐標(biāo)，離心率；（2）求與已知曲線共焦點且離心率為的雙曲線方程；【答案】(1)長軸18，，焦點，（2）【解析】試題分析：（1）由橢圓方程，明確a=9，b=3，c=6，從而求得長軸長，焦點坐標(biāo)，離心率；（2）設(shè)出雙曲線方程,利用條件布列的方程組，解之即可.試題解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴a=9，b=3，c=6(1)由題意易得：長軸長2a=18，焦點坐標(biāo)、離心率．(2)設(shè)雙曲線方程為：又雙曲線與橢圓共焦點且離心率為∴，解得：∴雙曲線方程為：18．已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有極小值.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由題意得，解方程即得a，b的值即得解；（2）先求出在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即得函數(shù)的值域.【詳解】（1），由題意得，解得，，經(jīng)檢驗為的極小值點，符合題意.（2）由（1）得當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.因為，，所以的最大值為.所以在上的值域為.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于基礎(chǔ)題.19．設(shè)函數(shù)，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，當(dāng)x＝2時，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點，由f′(x)＝1＋知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0，交點坐標(biāo)為(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標(biāo)為(2x0,2x0)．所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|－||2x0|＝6．曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6．20．如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD．(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求直線DQ與面PQC成角的正弦值【答案】（1）見解析（2）【解析】根據(jù)題意得以D為坐標(biāo)原點，線段DA的長為單位長，射線DA，DP,DC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz；（1）根據(jù)坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，由向量積的運算易得=0，=0；進而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得證明；（2）先求平面的PQC的法向量，再求出cos＜，＞，直線DQ與面PQC成角的正弦值等于cos＜，＞即可.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點，線段DA的長為單位長，射線DA，DP,DC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz；（1）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），D(0,0,0)；則=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），所以?=0，?=0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；（2）依題意，=（1，﹣1，0），設(shè)=（x，y，z）是平面的PQC法向量，則即，可取=（1，1，2）；=（1，1，0），所以cos＜，＞=設(shè)直線DQ與面PQC所成的角為，sin=cos＜，＞=.【點睛】本題考查的是面面垂直的判定和求線面角的正弦值，建立空間坐標(biāo)系用向量法解決面面垂直的判定與線面角的求法要容易，注意準(zhǔn)確寫出點的坐標(biāo)，也考查了計算，屬于中檔題.21．設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與橢圓交于兩點，已知點的坐標(biāo)為.（Ⅰ）當(dāng)與軸垂直時，求點A、B的坐標(biāo)及的值（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點，證明：.【答案】（Ⅰ）A或，=（Ⅱ）見解析【解析】（Ⅰ）把代入橢圓方程求出坐標(biāo)，可得；（Ⅱ）當(dāng)l與x軸重合，l與x軸垂直時易證明，當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為，，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元整理后應(yīng)用韋達定理得，然后用計算結(jié)果為0，結(jié)論得證．【詳解】解：（Ⅰ）由已知得，l的方程為x=1.代入橢圓方程得，，所以A或，=（Ⅱ）當(dāng)l與x軸重合時，.當(dāng)l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為，，則，直線MA，MB的斜率之和為.由得.將代入得.所以，.則.從而，故MA，MB的傾斜角互補，所以.綜上，.【點睛】本題主要考查直線與橢圓相交問題，主要解題方法是設(shè)而不求思想，即設(shè)l的方程為，設(shè)交點坐標(biāo)，直線方程代入橢圓方程消元整理后應(yīng)用韋達定理得，并把代入其他條件計算化簡．解題中涉及到直線方程，需對直線分類討論，本題中直線與軸垂直和重合兩種情形