梁彎曲變形的計算

本文格式為Word版，下載可任意編輯——梁彎曲變形的計算材料力學第7章彎曲變形的計算材料力學71概述72撓曲線的近似微分方程73用積分法求彎曲變形74用疊加法求彎曲變形76梁的剛度條件及提高梁剛度的措施75簡樸超靜定梁本章主要內(nèi)容材料力學71概述材料力學材料力學材料力學72撓曲線的近似微分方程1根本概念撓曲線方程由于小變形截面形心在x方向的位移疏忽不計撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為撓曲線撓度轉(zhuǎn)角撓度w截面形心在y方向的位移向上為正轉(zhuǎn)角截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度逆鐘向為正材料力學2撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應(yīng)力時得到疏忽剪力對變形的影響材料力學由數(shù)學學識可知略去高階小量得所以材料力學由彎矩的正負號規(guī)定可得彎矩的符號與撓曲線的二階導數(shù)符號一致所以撓曲線的近似微分方程為由上式舉行積分就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度材料力學撓曲線的近似微分方程為積分一次得轉(zhuǎn)角方程為再積分一次得撓度方程為材料力學積分常數(shù)CD由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定位移邊界條件光滑連續(xù)條件彈簧變形材料力學例1求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度梁的EI已知解1由梁的整體平衡分析可得2寫出x截面的彎矩方程3列撓曲線近似微分方程并積分積分一次再積分一次ABF73用積分法求彎曲變形材料力學4由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解5確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程6確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度ABF材料力學例2求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度梁的EI已知labab解1由梁整體平衡分析得2彎矩方程AC段CB段材料力學3列撓曲線近似微分方程并積分AC段CB段材料力學4由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解得位移邊界條件光滑連續(xù)條件材料力學5確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段CB段材料力學6確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令得令得材料力學74用疊加法求彎曲變形設(shè)梁上有n個載荷同時作用任意截面上的彎矩為Mx轉(zhuǎn)角為撓度為w那么有若梁上只有第i個載荷單獨作用截面上彎矩為轉(zhuǎn)角為撓度為那么有由彎矩的疊加原理知所以材料力學故由于梁的邊界條件不變因此重要結(jié)論梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和這就是計算彎曲變形的疊加原理材料力學例3已知簡支梁受力如圖示qlEI均為已知求C截面的撓度wCB截面的轉(zhuǎn)角B1將梁上的載荷分解wC1wC2wC32查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角解材料力學wC1wC2wC33應(yīng)用疊加法將簡樸載荷作用時的結(jié)果求和材料力學例4已知懸臂梁受力如圖示qlEI均為已知求C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角C1首先將梁上的載荷變成有表可查的情形為了利用梁全長承受均布載荷的已知結(jié)果先將均布載荷延長至梁的全長為了不變更原來載荷作用的效果在AB段還需再加上集度一致方向相反的均布載荷解解材料力學3將結(jié)果疊加2再將處理后的梁分解為簡樸載荷作用的情形計算各自C截面的撓度和轉(zhuǎn)角材料力學75簡樸超靜定梁1根本概念超靜定梁支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁多余約束從維持平衡角度而言多余的約束超靜定次數(shù)多余約束或多余支反力的數(shù)目2求解方法解除多余約束建立相當系統(tǒng)對比變形列變形協(xié)調(diào)條件由物理關(guān)系建立補充方程利用靜力平衡條件求其他約束反力相當系統(tǒng)用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)材料力學材料力學例5試分析修長軸車削過程中頂尖的作用已知工件的抗彎剛度為EIZ切削力為F且作用在零件的中間位置零件長度為ll2l2解分析此題屬于1次超靜定問題用變形對比法列出變形對比條件其中解得FBBaACFCbBAFFBFAMAABC材料力學l2l2FFBFAMA用疊加法解得C處的撓度為FCbBAFBBaAC其中BA材料力學l2l2FFBFAMAFCbBAFBBaAC假設(shè)沒用頂尖的作用在刀尖作用點處撓度為求得有無頂尖作用時在刀尖處變形比為結(jié)論可見用頂尖可有效地減小工件的變形因而在修長軸加工中要設(shè)置頂尖甚至使用跟刀架BA材料力學解例6求梁的支反力梁的抗彎剛度為EI1判定超靜定次數(shù)2解除多余約束建立相當系統(tǒng)3舉行變形對比列出變形協(xié)調(diào)條件材料力學4由物理關(guān)系列出補充方程所以5由整體平衡條件求其他約束反力材料力學例7梁AB和BC在B處鉸接AC兩端固定梁的抗彎剛度均為EIF40kNq20kNm畫梁的剪力圖和彎矩圖從B處拆開使超靜定布局變成兩個懸臂梁變形協(xié)調(diào)方程為FBMMAAFFAAyB1FBMMCCFFCCyB2物理關(guān)系解材料力學FBFBMMAAFFAAMMCCFFCCyB1yB2代入得補充方程確定A端約束力材料力學FBFBMMAAFFAAMMCCFFCCyB1yB2確定C端約束力材料力學MMAAFFAAMMCCFFCCAC端約束力已求出結(jié)果作梁的剪力圖和彎矩圖材料力學例8布局如下圖設(shè)梁AB和CD的彎曲剛度EIz一致拉桿BC的拉壓剛度EA為已知求拉桿BC的軸力解將桿BC移除那么ABCD均為靜定布局桿BC的未知軸力FN作用在ABCD梁上如圖bc所示為1次超靜定對于AB梁對于CD梁BC桿的伸長材料力學補充方程材料力學76梁的剛度條件及提高梁剛度的措施材料力學1剛度條件建筑鋼梁的許可撓度機械傳動軸的許可轉(zhuǎn)角細致機床的許可轉(zhuǎn)角材料力學根據(jù)要求圓軸務(wù)必具有足夠的剛度以保證軸承B處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值B1由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為解例8已知鋼制圓軸左端受力為F20kNalml2mE206GPa軸承B處的許可轉(zhuǎn)角05根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d材料力學例7已知鋼制圓軸左端受力為F20kNalml2mE206GPa軸承B處的許可轉(zhuǎn)角05根據(jù)剛度要求確定軸的直徑dB2由剛度條件確定軸的直徑材料力學2提高梁剛度的措施1選擇合理的截面外形材料力學2改善布局形式裁減彎矩數(shù)值改變支座形式材料力學2改善