2021-2022學(xué)年江蘇省南京航空航天大學(xué)蘇州附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年江蘇省南京航空航天大學(xué)蘇州附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷試題數(shù)：22，總分：1501.（單選題，5分）=（）A.110B.65C.55D.1002.（單選題，5分）物體的運(yùn)動(dòng)位移方程是S=10t-t2（S的單位：m；t的單位：s），則物體在t=2s的速度是（）A.2m/sB.6m/sC.4m/sD.8m/s3.（單選題，5分）6位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，如果規(guī)定每位同學(xué)必須報(bào)名，則不同的報(bào)名方法共有（）A.15種B.30種C.36種D.64種4.（單選題，5分）對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到回歸直線方程，據(jù)此模型預(yù)測(cè)當(dāng)x=20時(shí)，y的估計(jì)值為（）x24568y2040607080A.210B.210.5C.211D.211.55.（單選題，5分）設(shè)隨機(jī)變量X～B（2，p），若P（X≥1）=，則p的值為（）A.B.C.D.6.（單選題，5分）已知函數(shù)，若y=f（x）-k有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A.[-1，0）B.C.[-1，+∞）D.7.（單選題，5分）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)計(jì)劃去4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去1個(gè)景點(diǎn)．設(shè)事件A=“4位同學(xué)去的景點(diǎn)各不相同”，事件B=“甲同學(xué)獨(dú)自一人去了一個(gè)景點(diǎn)”，則P（A|B）=（）A.B.C.D.8.（單選題，5分）已知曲線C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在點(diǎn)M（，2）處的切線與曲線C2：y=ex+1+1也相切，則t的值為（）A.4e2B.4eC.D.9.（多選題，5分）A、B、C、D、E五個(gè)人并排站在一起，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若A、B兩人站在一起有24種方法B.若A、B不相鄰共有72種方法C.若A在B左邊有48種排法D.若A不站在最左邊，B不站最右邊，有78種方法10.（多選題，5分）設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示，則下列選項(xiàng)中正確的為（）ξ123PmA.E（ξ）=2B.C.D.11.（多選題，5分）為了解閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱之間的關(guān)系，一個(gè)調(diào)查機(jī)構(gòu)根據(jù)所得到的數(shù)據(jù)，繪制了如下的2×2列聯(lián)表（個(gè)別數(shù)據(jù)暫用字母表示）：幸福感強(qiáng)幸福感弱總計(jì)閱讀量多m1872閱讀量少36n78總計(jì)9060150計(jì)算得：χ2≈12.981，參照表：α0.100.050.0250.0100.0050.001χα2.7063.8415.0246.6357.87910.828對(duì)于下面的選項(xiàng)，正確的為（）A.根據(jù)小概率值α=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱無(wú)關(guān)”B.m=52C.根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”D.n=4212.（多選題，5分）下列說(shuō)法正確的是（）A.若函數(shù)f（x）滿足f'（1）=1，則函數(shù)f（x）在x=1處切線斜率為1B.函數(shù)f（x）=4x2-kx-8在區(qū)間[5，20]，上存在增區(qū)間，則k＜40C.函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則D.若任意0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，則有實(shí)數(shù)t的最大值為e13.（填空題，5分）已知隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（0，m2），若，則P（-2≤Z≤2）=___．14.（填空題，5分）計(jì)算=___．15.（填空題，5分）甲罐中有5個(gè)紅球，1個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，用B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，則P（B）=___．16.（填空題，5分）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，xlnx?f'（x）+f（x）＞0，則使得成立的x的取值范圍為___．17.（問(wèn)答題，10分）現(xiàn)有編號(hào)為A，B，C的3個(gè)不同的紅球和編號(hào)為D，E的2個(gè)不同的白球．

（1）現(xiàn)將這些小球放入袋中，從中隨機(jī)一次性摸出3個(gè)球，求摸出的三個(gè)球中至少有1個(gè)白球的不同的摸球方法數(shù)．

（2）若將這些小球排成一排，要求A球排在中間，且D，E不相鄰，則有多少種不同的排法？

（3）若將這些小球放入甲，乙，丙三個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，則有多少種不同的放法？

（注：請(qǐng)列出解題過(guò)程，結(jié)果保留數(shù)字）18.（問(wèn)答題，12分）在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在后面問(wèn)題中的橫線上，并完成解答．

條件①：展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37；

條件②：第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；

問(wèn)題：在二項(xiàng)式（2x-1）n的展開式中，已知______．

（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)

（2）設(shè)，求a1+a2+a3+?+an的值；

（3）求的展開式中x2的系數(shù)．19.（問(wèn)答題，12分）甲乙兩人參加某種選拔測(cè)試，在備選的10道題中，甲答對(duì)其中每道題的概率都是，乙能答對(duì)其中的8道題，規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出4道題進(jìn)行測(cè)試，只有選中的4個(gè)題目均答對(duì)才能入選．

（1）求甲恰有2個(gè)題目答對(duì)的概率；

（2）求乙答對(duì)的題目數(shù)X的分布列；

（3）試比較甲，乙兩人平均答對(duì)的題目數(shù)的大小，并說(shuō)明理由．20.（問(wèn)答題，12分）某學(xué)校準(zhǔn)備舉辦數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，進(jìn)入決賽的條件為：先參加初賽，初賽時(shí)，電腦隨機(jī)產(chǎn)生5道數(shù)學(xué)文化試題，能夠正確解答3道及以上的參賽者進(jìn)入決賽．若學(xué)生甲參賽，他正確解答每道試題的概率均為．

（1）求甲在初賽中恰好正確解答4道試題的概率；

（2）進(jìn)入決賽后，采用積分淘汰制，規(guī)則是：參賽者初始分為零分，電腦隨機(jī)抽取4道不同的數(shù)學(xué)文化試題，每道試題解答正確加20分，錯(cuò)誤減10分，由于難度增加，甲正確解答每道試題的概率變?yōu)?，求甲在決賽中積分X的概率分布，并求數(shù)學(xué)期望．21.（問(wèn)答題，12分）已知函數(shù)f（x）=x-lnx-2．

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性：

（2）若對(duì)于任意的x∈（1，+∞），都有xlnx+x＞k（x-1），求整數(shù)k的最大值．22.（問(wèn)答題，12分）已知函數(shù)f（x）=xsinx．

（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

（2）求證：函數(shù)f（x）在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；

（3）求函數(shù)在區(qū)間（1，π]上的最小值．

2021-2022學(xué)年江蘇省南京航空航天大學(xué)蘇州附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析試題數(shù)：22，總分：1501.（單選題，5分）=（）A.110B.65C.55D.100【正確答案】：B【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)公式，即可求解．

【解答】：解：==5×4+=65．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了排列數(shù)和組合數(shù)公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．2.（單選題，5分）物體的運(yùn)動(dòng)位移方程是S=10t-t2（S的單位：m；t的單位：s），則物體在t=2s的速度是（）A.2m/sB.6m/sC.4m/sD.8m/s【正確答案】：B【解析】：此類運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中瞬時(shí)速度問(wèn)題的研究一般借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求其某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，解答本題可以先求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s=-t2+10t的導(dǎo)數(shù)，再求得t=3秒時(shí)的導(dǎo)數(shù)，即可得到所求的瞬時(shí)速度

【解答】：解：∵質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s=-t2+10t

∴s′=-2t+10

∴該質(zhì)點(diǎn)在t=2秒的瞬時(shí)速度為|-2×2+10|=6．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查變化的快慢與變化率，正確解答本題關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)的物理意義，即了解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與瞬時(shí)速度的關(guān)系．本題是導(dǎo)數(shù)在物理的應(yīng)用，是近幾年高考的熱點(diǎn)，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題，在高考試卷中的份量在逐年加重，對(duì)此類題解題規(guī)律應(yīng)好好把握．3.（單選題，5分）6位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，如果規(guī)定每位同學(xué)必須報(bào)名，則不同的報(bào)名方法共有（）A.15種B.30種C.36種D.64種【正確答案】：D【解析】：根據(jù)題意，分析可得每人有2種報(bào)名方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

【解答】：解：根據(jù)題意，6位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每人有2種報(bào)名方法，

則6人有2×2×2×2×2×2=26=64種報(bào)名方法，

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意題目的限制條件，屬于基礎(chǔ)題．4.（單選題，5分）對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到回歸直線方程，據(jù)此模型預(yù)測(cè)當(dāng)x=20時(shí)，y的估計(jì)值為（）x24568y2040607080A.210B.210.5C.211D.211.5【正確答案】：D【解析】：根據(jù)已知條件，求出x，y的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過(guò)樣本中心，即可求解線性回歸方程，再將x=20代入上式，即可求解．

【解答】：解：由表中數(shù)據(jù)可得，=，

=，

∵最小二乘法得到回歸直線方程，

∴，

∴，

當(dāng)x=20時(shí)，．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎(chǔ)題．5.（單選題，5分）設(shè)隨機(jī)變量X～B（2，p），若P（X≥1）=，則p的值為（）A.B.C.D.【正確答案】：A【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式，以及對(duì)立事件概率和為1，即可求解．

【解答】：解：隨機(jī)變量X～B（2，p），

則P（X=k）=，k=0，1，2，

P（X≥1）=1-P（X＜1）=1-P（X=0）=，結(jié)合0≤p≤1，解得p=．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查二項(xiàng)分布的概率公式，以及對(duì)立事件概率和為1，屬于基礎(chǔ)題．6.（單選題，5分）已知函數(shù)，若y=f（x）-k有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A.[-1，0）B.C.[-1，+∞）D.【正確答案】：B【解析】：當(dāng)x＜1時(shí)，求得f′（x）=ex（x+1），求得函數(shù)的單調(diào)性，得到f（x）min=-且f（1）=e，把f（x）-k有三個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）和y=k的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象，即可求解．

【解答】：解：由題意，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=xex，可得f′（x）=ex（x+1），

當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，

所以f（x）min=f（-1）=-且f（1）=e，

當(dāng)x＜-1時(shí)，可得f（x）＜0，

所以函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，

又由f（x）-k有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即函數(shù)y=f（x）和y=k的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，

結(jié)合圖象，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍（-，0）．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，作出圖象是解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)，屬于中檔題．7.（單選題，5分）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)計(jì)劃去4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去1個(gè)景點(diǎn)．設(shè)事件A=“4位同學(xué)去的景點(diǎn)各不相同”，事件B=“甲同學(xué)獨(dú)自一人去了一個(gè)景點(diǎn)”，則P（A|B）=（）A.B.C.D.【正確答案】：A【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解．

【解答】：解：∵甲同學(xué)獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)，則有4個(gè)景點(diǎn)可選，

其余3人只能在甲同學(xué)剩下的3個(gè)景點(diǎn)中選擇，可能性為3×3×3=27，

∴甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的可能性為4×27=108，

∵4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同的可能性為4×3×2×1=24，

∴．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查條件概率公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．8.（單選題，5分）已知曲線C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在點(diǎn)M（，2）處的切線與曲線C2：y=ex+1+1也相切，則t的值為（）A.4e2B.4eC.D.【正確答案】：A【解析】：求出y=的導(dǎo)數(shù)，求出斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，設(shè)切點(diǎn)為（m，n），求出y=ex+1+1的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，得到t的方程，解方程可得．

【解答】：解：曲線C1：y2=tx（y＞0，t＞0），即有y=，

y′=?，

在點(diǎn)M（，2）處的切線斜率為?=，

可得切線方程為y-2=（x-），即y=x+1，

設(shè)切點(diǎn)為（m，n），曲線C2：y=ex+1+1，

y′=ex+1，em+1=，

∴m=ln-1，n=m?+1，n=em+1+1，

可得（ln-1）?+1=+1，

即有（ln-1）?=，可得=e2，

即有t=4e2．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是解題的關(guān)鍵，注意轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．9.（多選題，5分）A、B、C、D、E五個(gè)人并排站在一起，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若A、B兩人站在一起有24種方法B.若A、B不相鄰共有72種方法C.若A在B左邊有48種排法D.若A不站在最左邊，B不站最右邊，有78種方法【正確答案】：BD【解析】：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案．

【解答】：解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，若A、B兩人站在一起，將AB看成一個(gè)整體，與其他3人全排列，有AA=48種方法，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若A、B不相鄰，先將其他三人全排列，再將AB安排在3人的空位中，有A=72種方法，B正確；

對(duì)于C，5人全排列，有=120種排法，其中A在B的左側(cè)和A在B的右側(cè)情況是一樣的，A在B左邊有×120=60種排法，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，分2種情況討論：B站在最左邊，A=24種排法，B不站在最左邊，CCA=54，一共有24+54=78種排法，D正確，

故選：BD．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10.（多選題，5分）設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示，則下列選項(xiàng)中正確的為（）ξ123PmA.E（ξ）=2B.C.D.【正確答案】：BCD【解析】：利用分布列的性質(zhì)求解m，然后求解期望與方差．

【解答】：解：由題意可知：=1，解得m=，

可得E（ξ）=0×+1×+2×+3×=1．

D（ξ）=++=．

P（0≤ξ≤1）==．

故選：BCD．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望、方差的求法，是中檔題．11.（多選題，5分）為了解閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱之間的關(guān)系，一個(gè)調(diào)查機(jī)構(gòu)根據(jù)所得到的數(shù)據(jù)，繪制了如下的2×2列聯(lián)表（個(gè)別數(shù)據(jù)暫用字母表示）：幸福感強(qiáng)幸福感弱總計(jì)閱讀量多m1872閱讀量少36n78總計(jì)9060150計(jì)算得：χ2≈12.981，參照表：α0.100.050.0250.0100.0050.001χα2.7063.8415.0246.6357.87910.828對(duì)于下面的選項(xiàng)，正確的為（）A.根據(jù)小概率值α=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱無(wú)關(guān)”B.m=52C.根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”D.n=42【正確答案】：CD【解析】：根據(jù)χ2的值域臨界值的大小關(guān)系判斷A，C，由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)關(guān)系判斷B，D．

【解答】：解：χ2≈12.981＞6.635，

則根據(jù)小概率值α=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”，故A錯(cuò)誤，

χ2≈12.981＞7.879，

則根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”，故C正確，

∵m+36=90，18+n=60，

∴m=54，n=42，故B錯(cuò)誤，D正確．

故選：CD．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12.（多選題，5分）下列說(shuō)法正確的是（）A.若函數(shù)f（x）滿足f'（1）=1，則函數(shù)f（x）在x=1處切線斜率為1B.函數(shù)f（x）=4x2-kx-8在區(qū)間[5，20]，上存在增區(qū)間，則k＜40C.函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則D.若任意0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，則有實(shí)數(shù)t的最大值為e【正確答案】：AD【解析】：根據(jù)切線斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)、極值點(diǎn)、構(gòu)造函數(shù)法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案．

【解答】：解：A．由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知正確，

B．由函數(shù)f（x）=4x2-kx-8在區(qū)間[5，20]上存在增區(qū)間，

可知x=＜20，

所以k＜160，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由，得f′（x）=x2-ax+1，

則f′（x）=x2-ax+1=0在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)，即a=x+在區(qū)間上有解，

又x+∈[2，]，當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）=x2-2x+1=（x-1）2≥0，函數(shù)沒有極值，

故a∈（2，]，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，令g（x）=，則g′（x）=，

所以x∈（0，e），g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，x∈（e，+∞），g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，

又任意0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，即＜，

故t∈（0，e]，即實(shí)數(shù)t的最大值為e，故D正確．

故選：AD．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．13.（填空題，5分）已知隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（0，m2），若，則P（-2≤Z≤2）=___．【正確答案】：[1]【解析】：利用正態(tài)分布的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化求解即可．

【解答】：解：隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（0，m2），，

則P（-2≤Z≤2）=2（-）=．

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．14.（填空題，5分）計(jì)算=___．【正確答案】：[1]35【解析】：先把化為C33，再根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，Cnm+Cnm-1=Cn+1m，逐個(gè)化簡(jiǎn)，即可求出的值．

【解答】：解：∵Cmn+Cm-1n=Cmn+1，

∴

=+++

=++

=++

=+==35．

故答案為：35．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了組合數(shù)性質(zhì)，做題時(shí)應(yīng)認(rèn)真計(jì)算，避免出錯(cuò)．15.（填空題，5分）甲罐中有5個(gè)紅球，1個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，用B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，則P（B）=___．【正確答案】：[1]【解析】：根據(jù)互斥事件的概率加法公式和條件概率計(jì)算公式能求出結(jié)果．

【解答】：解：由甲罐中取出一球放乙罐，分別以A1，A2，A3表示取出的是紅球、白球、黑球的事件，

則A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，且P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，

再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，用B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，

則由全概率公式得：

P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）

=．

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式和條件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16.（填空題，5分）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，xlnx?f'（x）+f（x）＞0，則使得成立的x的取值范圍為___．【正確答案】：[1]（-∞，-2]∪（0，1）【解析】：先構(gòu)造新函數(shù)F（x）=f（x）?lnx，通過(guò)求導(dǎo)，再結(jié)合已知條件可判斷出當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，最后分情況解不等式可得答案．

【解答】：解：令F（x）=f（x）?lnx

則

當(dāng)x＞0時(shí)，得x?lnx?f′（x）＞0，進(jìn)而得F（x）＞0，故原函數(shù)F（x）單調(diào)遞增，

又因?yàn)镕（1）=0，

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)（x）＜0，此時(shí)lnx＜0，所以f（x）＞0，

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）＞0，此時(shí)lnx＞0，所以f（x）＞0，

所以，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞0，

又因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）＜0，

求，分兩種情況求解，

當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，只需，解得x≤-2，

當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，只需，解得0＜x＜1，

所以x的范圍是（-∞，-2]∪（0，1）．

故答案為：（-∞，-2]∪（0，1）．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．17.（問(wèn)答題，10分）現(xiàn)有編號(hào)為A，B，C的3個(gè)不同的紅球和編號(hào)為D，E的2個(gè)不同的白球．

（1）現(xiàn)將這些小球放入袋中，從中隨機(jī)一次性摸出3個(gè)球，求摸出的三個(gè)球中至少有1個(gè)白球的不同的摸球方法數(shù)．

（2）若將這些小球排成一排，要求A球排在中間，且D，E不相鄰，則有多少種不同的排法？

（3）若將這些小球放入甲，乙，丙三個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，則有多少種不同的放法？

（注：請(qǐng)列出解題過(guò)程，結(jié)果保留數(shù)字）【正確答案】：

【解析】：（1）根據(jù)題意，用排除法分析：先計(jì)算“在5個(gè)球中任選3個(gè)”的取法，排除其中“全部為紅球”的取法，分析可得答案；

（2）根據(jù)題意，先把A安在中間位置，從A的兩側(cè)各選一個(gè)位置插入D、E，其余小球任意排，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；

（3）根據(jù)題意，則先把5個(gè)小球分成3組，再進(jìn)入3個(gè)盒子中即可，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

【解答】：解：（1）根據(jù)題意，在5個(gè)球中任選3個(gè)，有C53=10種取法，

其中全部為紅球的取法有1種，則摸出的三個(gè)球中至少有1個(gè)白球方法有10-1=9種；

（2）根據(jù)題意，將這些小球排成一排，要求A球排在中間，且D，E各不相鄰，

則先把A安在中間位置，從A的兩側(cè)各選一個(gè)位置插入D、E，其余小球任意排，

方法有4×2×2=16種；

（3）根據(jù)題意，將這些小球放入甲，乙，丙三個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，

則先把5個(gè)小球分成3組，再進(jìn)入3個(gè)盒子中即可，有（C+）×=150種放法．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18.（問(wèn)答題，12分）在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在后面問(wèn)題中的橫線上，并完成解答．

條件①：展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37；

條件②：第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；

問(wèn)題：在二項(xiàng)式（2x-1）n的展開式中，已知______．

（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)

（2）設(shè)，求a1+a2+a3+?+an的值；

（3）求的展開式中x2的系數(shù)．【正確答案】：

【解析】：（1）根據(jù)n的值以及二項(xiàng)式系數(shù)最大的求解公式即可求解；（2）分別令x=0，x=1，進(jìn)而可以求解；（3）根據(jù)二項(xiàng)式定理求出含x2項(xiàng)，由此即可求解．

【解答】：解：（1）選擇①，因?yàn)?，所以n=8，

所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，

選擇②，因?yàn)?，所以n=8，

所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，

（2）令x=1，則，

令x=0，則，

所以a1+a2+…+a8=0，

（3）因?yàn)椋?/p>

所以的展開式中含x2的項(xiàng)為：，

所以展開式中x2的系數(shù)為560．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19.（問(wèn)答題，12分）甲乙兩人參加某種選拔測(cè)試，在備選的10道題中，甲答對(duì)其中每道題的概率都是，乙能答對(duì)其中的8道題，規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出4道題進(jìn)行測(cè)試，只有選中的4個(gè)題目均答對(duì)才能入選．

（1）求甲恰有2個(gè)題目答對(duì)的概率；

（2）求乙答對(duì)的題目數(shù)X的分布列；

（3）試比較甲，乙兩人平均答對(duì)的題目數(shù)的大小，并說(shuō)明理由．【正確答案】：

【解析】：（1）根據(jù)二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率．

（2）利用超幾何分布分布列計(jì)算公式，計(jì)算出分布列．

（3）由（2）計(jì)算出乙平均答對(duì)題目數(shù)的期望值利用二項(xiàng)分布期望計(jì)算公式，計(jì)算出甲平均答對(duì)題目數(shù)的期望值．由此得到兩人平均答對(duì)的題目數(shù)的大?。?/p>

【解答】：解：（1）∵甲在備選的10道題中，答對(duì)其中每道題的概率都是，

∴選中的4個(gè)題目甲恰有2個(gè)題目答對(duì)的概率

；

（2）由題意知乙答對(duì)的題目數(shù)X的可能取值為2，3，4，

，

，

，

X的分布列為：X234P（3）∵乙平均答對(duì)的題目數(shù)，

甲答對(duì)題目Y～，

甲平均答對(duì)的題目數(shù)，

∵EX＞EY，

∴甲平均答對(duì)的題目數(shù)小于乙平均答對(duì)的題目數(shù)．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于中檔題．20.（問(wèn)答題，12分）某學(xué)校準(zhǔn)備舉辦數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，進(jìn)入決賽的條件為：先參加初賽，初賽時(shí)，電腦隨機(jī)產(chǎn)生5道數(shù)學(xué)文化試題，能夠正確解答3道及以上的參賽者進(jìn)入決賽．若學(xué)生甲參賽，他正確解答每道試題的概率均為．

（1）求甲在初賽中恰好正確解答4道試題的概率；

（2）進(jìn)入決賽后，采用積分淘汰制，規(guī)則是：參賽者初始分為零分，電腦隨機(jī)抽取4道不同的數(shù)學(xué)文化試題，每道試題解答正確加20分，錯(cuò)誤減10分，由于難度增加，甲正確解答每道試題的概率變?yōu)椋蠹自跊Q賽中積分X的概率分布，并求數(shù)學(xué)期望．【正確答案】：

【解析】：（1）利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算即可得解；

（2）列出決賽中積分X的所有可能的取值，分別計(jì)算概率，列出分布列計(jì)算期望即可．

【解答】：解：（1）記“甲在初賽中恰好正確解答4道試題的”為事件A，

學(xué)生甲參賽，他正確解答每道試題的概率均為，

則P（A）=××=．

（2）甲的積分X的可能的取值為80分，50分，20分，-10分，-40分，

則P（X=80）=×=，

P（X=50）=××=，

P（X=20）=××==，

P（X=-10）=××=，

P（X=-40）=××=，

所以X的概率分布列為：X805020-10-40P所以數(shù)學(xué)期望E（X）=80×+50×+20×-10×-40×=0．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，考查分析和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．21.（問(wèn)答題，12分）已知函數(shù)f（x）=x-lnx-2．

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性：

（2）若對(duì)于任意的x∈（1，+∞），都有xlnx+x＞k（x-1），求整數(shù)k的最大值．【正確答案】：

【解析】：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為k＜，令g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)可得g（x）min=g（x0）∈（3，4），結(jié)合k＜g（x）min=x0∈（3，4），可得整數(shù)k的最大值為3．

【解答】：解：（1）f（x）=x-ln