精選數(shù)字信號(hào)處理第三版西安科大出版高西全丁玉美課后答案第1-4章

精選數(shù)字信號(hào)處理第三版西安科大出版高西全丁玉美課后答案第1-4章時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)1.1.1學(xué)習(xí)要點(diǎn)〔1〕信號(hào)：模擬信號(hào)、時(shí)域離散信號(hào)、數(shù)字信號(hào)三者之間的區(qū)別；常用的時(shí)域離散信號(hào)；如何判斷信號(hào)是周期性的，其周期如何計(jì)算等。〔2〕系統(tǒng)：什么是系統(tǒng)的線性、時(shí)不變性以及因果性、穩(wěn)定性；線性、時(shí)不變系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系；求解線性卷積的圖解法〔列表法〕、解析法，以及用MATLAB工具箱函數(shù)求解；線性常系數(shù)差分方程的遞推解法。〔3〕模擬信號(hào)的采樣與恢復(fù)：采樣定理；采樣前的模擬信號(hào)和采樣后得到的采樣信號(hào)之間的頻譜關(guān)系；如何由采樣信號(hào)恢復(fù)成原來的模擬信號(hào)；實(shí)際中如何將時(shí)域離散信號(hào)恢復(fù)成模擬信號(hào)。1.1.2重要公式〔1〕這是一個(gè)線性卷積公式，注意公式中是在－∞~∞之間對(duì)m求和。如果公式中x(n)和h(n)分別是系統(tǒng)的輸入和單位脈沖響應(yīng)，y(n)是系統(tǒng)輸出，那么該式說明系統(tǒng)的輸入、輸出和單位脈沖響應(yīng)之間服從線性卷積關(guān)系?！?〕x(n)=x(n)*δ(n)該式說明任何序列與δ(n)的線性卷積等于原序列。x(n－n0)=x(n)*δ(n－n0)〔3〕這是關(guān)于采樣定理的重要公式，根據(jù)該公式要求對(duì)信號(hào)的采樣頻率要大于等于該信號(hào)的最高頻率的兩倍以上，才能得到不失真的采樣信號(hào)。這是由時(shí)域離散信號(hào)理想恢復(fù)模擬信號(hào)的插值公式。1.2解線性卷積的方法解線性卷積是數(shù)字信號(hào)處理中的重要運(yùn)算。解線性卷積有三種方法，即圖解法〔列表法〕、解析法和在計(jì)算機(jī)上用MATLAB語言求解。它們各有特點(diǎn)。圖解法〔列表法〕適合于簡(jiǎn)單情況，短序列的線性卷積，因此考試中常用，不容易得到封閉解。解析法適合于用公式表示序列的線性卷積，得到的是封閉解，考試中會(huì)出現(xiàn)簡(jiǎn)單情況的解析法求解。解析法求解過程中，關(guān)鍵問題是確定求和限，求和限可以借助于畫圖確定。第三種方法適合于用計(jì)算機(jī)求解一些復(fù)雜的較難的線性卷積，實(shí)驗(yàn)中常用。解線性卷積也可用Z變換法，以及離散傅里葉變換求解，這是后面幾章的內(nèi)容。下面通過例題說明。設(shè)x(n)=R4(n),h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。該題是兩個(gè)短序列的線性卷積，可以用圖解法〔列表法〕或者解析法求解。表1.2.1給出了圖解法〔列表法〕，用公式可表示為y(n)={…,0,0,1,2,3,4,3,2,1,0,0,…}下面用解析法求解，寫出卷積公式為在該例題中，R4(m)的非零區(qū)間為0≤m≤3，R4(n－m)的非零區(qū)間為0≤n－m≤3，或?qū)懗蒼－3≤m≤n，這樣y(n)的非零區(qū)間要求m同時(shí)滿足下面兩個(gè)不等式：0≤m≤3m－3≤m≤n上面公式說明m的取值和n的取值有關(guān)，需要將n作分段的假設(shè)。按照上式，當(dāng)n變化時(shí)，m應(yīng)該按下式取值：max{0,n－3}≤m≤min{3,n}當(dāng)0≤n≤3時(shí)，下限應(yīng)該是0，上限應(yīng)該是n；當(dāng)4≤n≤6時(shí)，下限應(yīng)該是n－3，上限應(yīng)該是3；當(dāng)n<0或n>6時(shí)，上面的不等式不成立，因此y(n)=0；這樣將n分成三種情況計(jì)算：〔1〕n<0或n>6時(shí)，y(n)=0〔2〕0≤n≤3時(shí)，〔3〕4≤n≤6時(shí)，將y(n)寫成一個(gè)表達(dá)式，如下式：在封閉式求解過程中，有時(shí)候決定求和的上下限有些麻煩，可借助于非零值區(qū)間的示意圖確定求和限。在該例題中，非零值區(qū)間的示意圖如圖1.2.1所示。在圖1.2.1(b)中，當(dāng)n<0時(shí)，圖形向左移動(dòng)，圖形不可能和圖1.2.1(a)的圖形有重疊局部，因此y(n)=0。當(dāng)圖形向右移動(dòng)時(shí)，0≤n≤3，圖形如圖1.2.1(c)所示，對(duì)照?qǐng)D1.2.1(a)，重疊局部的上下限自然是0≤m≤n。當(dāng)圖形再向右移動(dòng)時(shí)，4≤n≤6，如圖1.2.1(d)所示，重疊局部的上下限是n－3≤m≤3。當(dāng)圖形再向右移動(dòng)時(shí),7≤n，圖形不可能和圖1.2.1(a)有重疊局部，因此y(n)=0。1.3例題［例1.3.1］線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)用h(n)表示，輸入x(n)是以N為周期的周期序列，試證明輸出y(n)亦是以N為周期的周期序列。證明：因?yàn)檩斎離(n)是以N為周期的周期序列，因此x(n＋kN－m)=x(n－m)將上式代入〔1〕式，得到上式說明y(n)也是以N為周期的周期序列。［例1.3.2］線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)為h(n)=a－nu(－n)計(jì)算該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

解用s(n)表示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，那么按照上式，s(n)的非零區(qū)間可由下面兩個(gè)不等式確定:m≤0及m≤nn≤0時(shí),〔2〕n>0時(shí),最后得到［例1.3.3］設(shè)時(shí)域離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入鼓勵(lì)信號(hào)x(n)分別為x(n)=cos(πn)u(n)求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)y(n)。解x(n)=cos(πn)u(n)=(－1)nu(n)當(dāng)n→∞時(shí)，穩(wěn)態(tài)解為1.4習(xí)題與上機(jī)題解答1.用單位脈沖序列δ(n)及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。解：x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)

+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)

2．給定信號(hào)：

2n+5－4≤n≤－1(x(n)=60≤n≤4

0其它

(1)畫出x(n)序列的波形，標(biāo)上各序列值；

(2)試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；〔3〕令x1(n)=2x(n－2)，試畫出x1(n)波形；〔4〕令x2(n)=2x(n+2)，試畫出x2(n)波形；〔5〕令x3(n)=x(2－n)，試畫出x3(n)波形。解：(1)x(n)序列的波形如題2解圖〔一〕所示。(2)x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)〔3〕x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，畫出圖形如題2解圖〔二〕所示。(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，畫出圖形如題2解圖〔三〕所示。(5)畫x3(n)時(shí)，先畫x(－n)的波形(即將x(n)的波形以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180°)，然后再右移2位，x3(n)波形如題2解圖〔四〕所示。題2解圖〔一〕題2解圖〔二〕題2解圖〔三〕題2解圖〔四〕3．判斷下面的序列是否是周期的;假設(shè)是周期的，確定其周期。(1)(2)解：〔1〕因?yàn)棣?π,所以,這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期T=14。〔2〕因?yàn)棣?,所以=16π,這是無理數(shù)，因此是非周期序列。4．對(duì)題1圖給出的x(n)要求：

(1)畫出x(－n)的波形；

(2)計(jì)算xe(n)=［x(n)+x(－n)］，并畫出xe(n)波形；

(3)計(jì)算xo(n)=［x(n)－x(－n)］，并畫出xo(n)波形;(4)令x1(n)=xe(n)+xo(n),將x1(n)與x(n)進(jìn)行比擬，你能得到什么結(jié)論？解：〔1〕x(－n)的波形如題4解圖〔一〕所示。(2)將x(n)與x(－n)的波形對(duì)應(yīng)相加，再除以2，得到xe(n)。毫無疑問，這是一個(gè)偶對(duì)稱序列。xe(n)的波形如題4解圖〔二〕所示。(3)畫出xo(n)的波形如題4解圖〔三〕所示。題4解圖〔一〕題4解圖〔二〕題4解圖〔三〕(4)很容易證明：x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式說明實(shí)序列可以分解成偶對(duì)稱序列和奇對(duì)稱序列。偶對(duì)稱序列可以用題中(2)的公式計(jì)算，奇對(duì)稱序列可以用題中(3)的公式計(jì)算。5．設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述，x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出，判斷系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變的。〔1〕y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2)〔2〕y(n)=2x(n)+3〔3〕y(n)=x(n－n0)n0為整常數(shù)〔4〕y(n)=x(－n)〔5〕y(n)=x2(n)〔6〕y(n)=x(n2)〔7〕y(n)=〔8〕y(n)=x(n)sin(ωn)解：〔1〕令輸入為x(n－n0)輸出為y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2)y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)=y′(n)故該系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。因?yàn)閥(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)所以T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)?！?〕令輸入為x(n－n0)輸出為y′(n)=2x(n－n0)+3y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n)故該系統(tǒng)是非時(shí)變的。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3T［ax1(n)］=2ax1(n)+3T［bx2(n)］=2bx2(n)+3T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。(3)這是一個(gè)延時(shí)器，延時(shí)器是線性非時(shí)變系統(tǒng)，下面證明。令輸入為x(n－n1)輸出為y′(n)=x(n－n1－n0)y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n)故延時(shí)器是非時(shí)變系統(tǒng)。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0)=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故延時(shí)器是線性系統(tǒng)。(4)y(n)=x(－n)令輸入為x(n－n0)輸出為y′(n)=x(－n+n0)y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n)因此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n)=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］因此系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。〔5〕y(n)=x2(n)令輸入為x(n－n0)輸出為y′(n)=x2(n－n0)y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n)故系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］=ax21(n)+bx22(n)因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)?！?〕y(n)=x(n2)令輸入為x(n－n0)輸出為y′(n)=x((n－n0)2)y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n)故系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2)=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。7〕y(n)=x(m)令輸入為x(n－n0)輸出為y′(n)==0[DD)]x(m-n0)y(n－n0)=x(m)≠y′(n)故系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(m)+bx2(m)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)?！?〕y(n)=x(n)sin(ωn)令輸入為x(n－n0)輸出為y′(n)=x(n－n0)sin(ωn)y(n－n0)=x(n－n0)sin［ω(n－n0)］≠y′(n)故系統(tǒng)不是非時(shí)變系統(tǒng)。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n)sin(ωn)+bx2(n)sin(ωn)=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。6．給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，并說明理由?！?〕y(n)=x(n－k)y(n)=x(n)+x(n+1)〔3〕y(n)=x(k)〔4〕y(n)=x(n－n0)〔5〕y(n)=ex(n)解：〔1〕只要N≥1，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因?yàn)檩敵鲋慌cn時(shí)刻的和n時(shí)刻以前的輸入有關(guān)。如果|x(n)|≤M，那么|y(n)|≤M，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)?！?〕該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，因?yàn)閚時(shí)間的輸出還和n時(shí)間以后〔〔n+1〕時(shí)間〕的輸入有關(guān)。如果|x(n)|≤M,那么|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。

〔3〕如果|x(n)|≤M，那么|y(n)|≤|x(k)|≤|2n0+1|M，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的；假設(shè)n0>0，系統(tǒng)是非因果的，因?yàn)檩敵鲞€和x(n)的將來值有關(guān)。〔4〕假設(shè)n0>0，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因?yàn)閚時(shí)刻輸出只和n時(shí)刻以后的輸入有關(guān)。如果|x(n)|≤M,那么|y(n)|≤M，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的?！?〕系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因?yàn)橄到y(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。如果|x(n)|≤M,那么|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7．設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示，要求畫出y(n)輸出的波形。解：解法〔一〕采用列表法。y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(n－m)題7圖解法〔二〕采用解析法。按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達(dá)式分別為x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3)h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+δ(n－2)由于x(n)*δ(n)=x(n)x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)故y(n)=x(n)*h(n)=x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+δ(n－2)］=2x(n)+x(n－1)+x(n－2)將x(n)的表示式代入上式，得到y(tǒng)(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2)+4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)8.設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況，分別求出輸出y(n)?！?〕h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)〔2〕h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2)〔3〕h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)解：〔1〕y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(n－m)先確定求和域。由R4(m)和R5(n－m)確定y〔n〕對(duì)于m的非零區(qū)間如下:0≤m≤3－4≤m≤n根據(jù)非零區(qū)間，將n分成四種情況求解：①n<0時(shí)，y(n)=0②0≤n≤3時(shí)，y(n)=1=n+1③4≤n≤7時(shí)，y(n)=1=8－n④n>7時(shí)，y(n)=0最后結(jié)果為

0n<0或n>7

y(n)=n+10≤n≤3

8－n4≤n≤7

y(n)的波形如題8解圖〔一〕所示。

(2)y(n)=2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2)=2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］

y(n)的波形如題8解圖〔二〕所示題8解圖〔一〕題8解圖〔二〕(3)y(n)=x(n)*h(n)=R5(m)0.5n－mu(n－m)=0.5nR5(m)0.5－mu(n－m)y〔n〕對(duì)于m的非零區(qū)間為0≤m≤4,m≤n①n<0時(shí)，y(n)=0②0≤n≤4時(shí)，=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n③n≥5時(shí)最后寫成統(tǒng)一表達(dá)式：y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5)9．證明線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律，即證明下面等式成立：〔1〕x(n)*h(n)=h(n)*x(n)〔2〕x(n)*(h1(n)*h2(n))=(x(n)*h1(n))*h2(n)〔3〕x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)證明：〔1〕因?yàn)榱頼′=n－m,那么(2)利用上面已證明的結(jié)果，得到交換求和號(hào)的次序，得到10．設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=(3/8)0.5nu(n)，系統(tǒng)的輸入x(n)是一些觀測(cè)數(shù)據(jù)，設(shè)x(n)={x0,x1,x2,…,xk,…}，試?yán)眠f推法求系統(tǒng)的輸出y(n)。遞推時(shí)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零狀態(tài)。10．設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=(3/8)0.5nu(n)，系統(tǒng)的輸入x(n)是一些觀測(cè)數(shù)據(jù)，設(shè)x(n)={x0,x1,x2,…,xk,…}，試?yán)眠f推法求系統(tǒng)的輸出y(n)。遞推時(shí)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零狀態(tài)。解：n=0時(shí)，n=1時(shí)，n=2時(shí)，最后得到11．設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述：設(shè)系統(tǒng)是因果的，利用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。解：令x(n)=δ(n),那么n=0時(shí)，n=1時(shí)，n=2時(shí)，n=3時(shí)，歸納起來，結(jié)果為12.設(shè)系統(tǒng)用一階差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，初始條件y(-1)=0，試分析該系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變系統(tǒng)。解：分析的方法是讓系統(tǒng)輸入分別為δ(n)、δ(n－1)、δ(n)+δ(n－1)時(shí)，求它的輸出，再檢查是否滿足線性疊加原理和非時(shí)變性?！?〕令x(n)=δ(n),這時(shí)系統(tǒng)的輸出用y1(n)表示。該情況在教材例1.4.1中已求出，系統(tǒng)的輸出為y1(n)=anu(n)(2)令x(n)=δ(n－1)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出用y2(n)表示。n=0時(shí)，n=1時(shí)，n=2時(shí)，任意n時(shí)，最后得到(3)令x(n)=δ(n)+δ(n－1),系統(tǒng)的輸出用y3(n)表示。n=0時(shí)，n=1時(shí)，n=2時(shí)，n=3時(shí)，任意n時(shí)，最后得到由〔1〕和〔2〕得到y(tǒng)1(n)=T［δ(n)］,y2(n)=T［δ(n－1)］y1(n)=y2(n－1)因此可斷言這是一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)。情況〔3〕的輸入信號(hào)是情況〔1〕和情況〔2〕輸入信號(hào)的相加信號(hào)，因此y3(n)=T［δ(n)+δ(n－1)］。觀察y1(n)、y2(n)、y3(n)，得到y(tǒng)3(n)=y1(n)+y2(n)，因此該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。最后得到結(jié)論：用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n),0<a<1描寫的系統(tǒng)，當(dāng)初始條件為零時(shí)，是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。13．有一連續(xù)信號(hào)xa(t)=cos(2πft+j)，式中，f=20Hz,j=π/2?！?〕求出xa(t)的周期；〔2〕用采樣間隔T=0.02s對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣，試寫出采樣信號(hào)的表達(dá)式；〔3〕畫出對(duì)應(yīng)的時(shí)域離散信號(hào)〔序列〕x(n)的波形，并求出x(n)的周期。解：〔1〕xa(t)的周期為〔2〕〔3〕x(n)的數(shù)字頻率ω=0.8π，故，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8πn+π/2)畫出其波形如題13解圖所示。題13解圖14.滑動(dòng)平均濾波器的差分方程為〔1〕求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)；〔2〕如果輸入信號(hào)波形如前面例1.3.4的圖1.3.1所示，試求出y(n)并畫出它的波形。解：〔1〕將題中差分方程中的x(n)用δ(n)代替，得到該濾波器的單位脈沖響應(yīng)，即〔2〕輸入信號(hào)，用卷積法求輸出。輸出信號(hào)y(n)為表1.4.1表示了用列表法解卷積的過程。計(jì)算時(shí)，表中x(k)不動(dòng)，h(k)反轉(zhuǎn)后變成h(－k)，h(n－k)那么隨著n的加大向右滑動(dòng)，每滑動(dòng)一次，將h(n－k)和x(k)對(duì)應(yīng)相乘，再相加和平均，得到相應(yīng)的y(n)?！盎瑒?dòng)平均〞清楚地說明了這種計(jì)算過程。最后得到的輸出波形如前面圖1.3.2所示。該圖清楚地說明滑動(dòng)平均濾波器可以消除信號(hào)中的快速變化，使波形變化緩慢。時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.1.2重要公式〔1〕這兩式分別是傅里葉變換的正變換和逆變換的公式。注意正變換存在的條件是序列服從絕對(duì)可和的條件，即〔2〕這兩式是周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換對(duì)，可用以表現(xiàn)周期序列的頻譜特性?！?〕該式用以求周期序列的傅里葉變換。如果周期序列的周期是N，那么其頻譜由N條譜線組成，注意畫圖時(shí)要用帶箭頭的線段表示。〔4〕假設(shè)y(n)=x(n)*h(n),那么這是時(shí)域卷積定理?！?〕假設(shè)y(n)=x(n)h(n),那么這是頻域卷積定理或者稱復(fù)卷積定理?！?〕式中,xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列，常用以求序列的xe(n)和xo(n)?！?〕這兩式分別是序列Z變換的正變換定義和它的逆Z變換定義?！?〕前兩式均稱為巴塞伐爾定理，第一式是用序列的傅里葉變換表示，第二式是用序列的Z變換表示。如果令x(n)=y(n)，可用第二式推導(dǎo)出第一式?！?〕假設(shè)x(n)=a|n|,那么x(n)=a|n|是數(shù)字信號(hào)處理中很典型的雙邊序列，一些測(cè)試題都是用它演變出來的。2.2FT和ZT的逆變換〔1〕FT的逆變換為用留數(shù)定理求其逆變換，或?qū)=ejω代入X(ejω)中，得到X(z)函數(shù)，再用求逆Z變換的方法求原序列。注意收斂域要取能包含單位圓的收斂域，或者說封閉曲線c可取單位圓。例如，序列x(n)的傅里葉變換為求其反變換x(n)。將z=ejω代入X(ejω)中，得到因極點(diǎn)z=a，取收斂域?yàn)閨z|>|a|，由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)?！?〕ZT的逆變換為求Z變換可以用局部分式法和圍線積分法求解。

用圍線積分法求逆Z變換有兩個(gè)關(guān)鍵。一個(gè)關(guān)鍵是知道收斂域以及收斂域和序列特性之間的關(guān)系，可以總結(jié)成幾句話：①收斂域包含∞點(diǎn)，序列是因果序列；②收斂域在某圓以內(nèi)，是左序列；③收斂域在某圓以外，是右序列；④收斂域在整個(gè)z面，是有限長序列；⑤以上②、③、④均未考慮0與∞兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)可以結(jié)合問題具體考慮。另一個(gè)關(guān)鍵是會(huì)求極點(diǎn)留數(shù)。2.3分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻率特性求信號(hào)與系統(tǒng)的頻域特性要用傅里葉變換。但分析頻率特性使用Z變換卻更方便。我們已經(jīng)知道系統(tǒng)函數(shù)的極、零點(diǎn)分布完全決定了系統(tǒng)的頻率特性，因此可以用分析極、零點(diǎn)分布的方法分析系統(tǒng)的頻率特性，包括定性地畫幅頻特性，估計(jì)峰值頻率或者谷值頻率，判定濾波器是高通、低通等濾波特性，以及設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的濾波器〔內(nèi)容在教材第5章〕等。根據(jù)零、極點(diǎn)分布可定性畫幅頻特性。當(dāng)頻率由0到2π變化時(shí)，觀察零點(diǎn)矢量長度和極點(diǎn)矢量長度的變化，在極點(diǎn)附近會(huì)形成峰。極點(diǎn)愈靠進(jìn)單位圓，峰值愈高；零點(diǎn)附近形成谷，零點(diǎn)愈靠進(jìn)單位圓，谷值愈低，零點(diǎn)在單位圓上那么形成幅頻特性的零點(diǎn)。當(dāng)然，峰值頻率就在最靠近單位圓的極點(diǎn)附近，谷值頻率就在最靠近單位圓的零點(diǎn)附近。

濾波器是高通還是低通等濾波特性，也可以通過分析極、零點(diǎn)分布確定，不必等畫出幅度特性再確定。一般在最靠近單位圓的極點(diǎn)附近是濾波器的通帶；阻帶在最靠近單位圓的零點(diǎn)附近，如果沒有零點(diǎn)，那么離極點(diǎn)最遠(yuǎn)的地方是阻帶。參見下節(jié)例2.4.1。2.4例題［例2.4.1］IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)試判斷濾波器的類型〔低通、高通、帶通、帶阻〕?！材承４T士研究生入學(xué)考試題中的一個(gè)簡(jiǎn)單的填空題〕解：將系統(tǒng)函數(shù)寫成下式:系統(tǒng)的零點(diǎn)為z=0，極點(diǎn)為z=0.9，零點(diǎn)在z平面的原點(diǎn)，不影響頻率特性，而惟一的極點(diǎn)在實(shí)軸的0.9處，因此濾波器的通帶中心在ω=0處。毫無疑問，這是一個(gè)低通濾波器。［例2.4.2］假設(shè)x(n)=xr(n)+jxi(n)，xr(n)和xj(n)為實(shí)序列，X(z)=ZT［x(n)］在單位圓的下半局部為零。求X〔ejω〕=FT［x(n)］。解：Xe(ejω)=FT［xr(n)］因?yàn)閄(ejω)=0π≤ω≤2π所以X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=00≤ω≤π當(dāng)0≤ω≤π時(shí)，，故當(dāng)π≤ω≤2π時(shí)，X(ejω)=0，故0≤ω≤ππ≤ω≤2π因此Re［X(ejω)］=X(ejω)Im［X(ejω)］=0［例2.4.3］0≤n≤NN+1≤n≤2Nn<0,2N<n求x(n)的Z變換。解：題中x(n)是一個(gè)三角序列，可以看做兩個(gè)相同的矩形序列的卷積。設(shè)y(n)=RN(n)*RN(n),那么n<00≤n≤N－1N≤n≤2N－12N≤n將y(n)和x(n)進(jìn)行比擬，得到y(tǒng)(n－1)=x(n)。因此Y〔z〕z－1=X(z)Y(z)=ZT［RN(n)］·ZT［RN(n)］故［例2.4.4］時(shí)域離散線性非移變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為〔1〕要求系統(tǒng)穩(wěn)定，確定a和b的取值域。

〔2〕要求系統(tǒng)因果穩(wěn)定，重復(fù)〔1〕。

解：〔1〕H(z)的極點(diǎn)為a、b，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是收斂域包含單位圓，即單位圓上不能有極點(diǎn)。因此，只要滿足|a|≠1,|b|≠1即可使系統(tǒng)穩(wěn)定，或者說a和b的取值域?yàn)槌龁挝粓A以的整個(gè)z平面。

〔2〕系統(tǒng)因果穩(wěn)定的條件是所有極點(diǎn)全在單位圓內(nèi)，所以a和b的取值域?yàn)?/p>

0≤|a|<1,0≤|b|<1［例2.4.5］,f1=10Hz，f2=25Hz，用理想采樣頻率Fs=40Hz對(duì)其進(jìn)行采樣得到。〔1〕寫出的表達(dá)式;〔2〕對(duì)進(jìn)行頻譜分析，寫出其傅里葉變換表達(dá)式，并畫出其幅度譜；〔3〕如要用理想低通濾波器將cos(2πf1t)濾出來，理想濾波器的截止頻率應(yīng)該取多少？解：〔2〕按照采樣定理,的頻譜是x(t)頻譜的周期延拓，延拓周期為Fs=40Hz，x(t)的頻譜為〔3〕觀察圖2.4.1，要把cos(2πf1t)濾出來，理想低通濾波器的截止頻率fc應(yīng)選在10Hz和20Hz之間，可選fc＝15Hz。

如果直接對(duì)模擬信號(hào)x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)進(jìn)行濾波，模擬理想低通濾波器的截止頻率選在10Hz和25Hz之間，可以把10Hz的信號(hào)濾出來，但采樣信號(hào)由于把模擬頻譜按照采樣頻率周期性地延拓，使頻譜發(fā)生變化，因此對(duì)理想低通濾波器的截止頻率要求不同。(1)寫出的表達(dá)式;(2)求出理想低通濾波器的輸出信號(hào)y(t)。解：(1)圖2.4.22.5習(xí)題與上機(jī)題解答1．設(shè)X(ejω)和Y(ejω)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換：(1)x(n－n0)(2)x*(n)(3)x(－n)(4)x(n)*y(n)(5)x(n)y(n)(6)nx(n)(7)x(2n)(8)x2(n)(9)解：〔1〕令n′=n－n0,即n=n′+n0，那么〔2〕〔3〕令n′=－n，那么〔4〕FT［x(n)*y(n)］=X(ejω)Y(ejω)下面證明上式成立：令k=n－m,那么〔5〕或者〔6〕因?yàn)閷?duì)該式兩邊ω求導(dǎo)，得到因此〔7〕令n′=2n，那么或者〔8〕利用〔5〕題結(jié)果，令x(n)=y(n),那么〔9〕令n′=n/2，那么2．求X(ejω)的傅里葉反變換x(n)。解：3.線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)〔頻率響應(yīng)函數(shù)〕H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)，如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實(shí)序列，試證明輸入x(n)=Acos(ω0n+j)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為解：假設(shè)輸入信號(hào)x(n)=ejω0n，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n)，那么系統(tǒng)輸出為上式說明當(dāng)輸入信號(hào)為復(fù)指數(shù)序列時(shí)，輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列，且頻率相同，但幅度和相位取決于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)。利用該性質(zhì)解此題：上式中|H(ejω)|是ω的偶函數(shù)，相位函數(shù)是ω的奇函數(shù)，|H(ejω)|=|H(e-jω)|，θ(ω)=－θ(－ω),故4．設(shè)題4解圖或者5.設(shè)題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示，不直接求出X(ejω)，完成以下運(yùn)算或工作：題5圖(4)確定并畫出傅里葉變換實(shí)部Re［X(ejω)］的時(shí)間序列xa(n)；〔4〕因?yàn)楦道锶~變換的實(shí)部對(duì)應(yīng)序列的共軛對(duì)稱局部，即按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。題5解圖(5)(6)因?yàn)橐虼?．試求如下序列的傅里葉變換：(1)x1(n)=δ(n－3)(2)(3)x3(n)=anu(n)0<a<1(4)x4(n)=u(n+3)－u(n－4)解(1)(2)(3)(4)或者:7．設(shè)：〔1〕x(n)是實(shí)偶函數(shù)，〔2〕x(n)是實(shí)奇函數(shù)，分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下，其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。解：令(1)因?yàn)閤(n)是實(shí)偶函數(shù)，對(duì)上式兩邊取共軛，得到因此X(ejω)=X*〔e－jω〕上式說明x(n)是實(shí)序列，X(ejω)具有共軛對(duì)稱性質(zhì)。由于x(n)是偶函數(shù)，x(n)sinω是奇函數(shù)，那么因此該式說明X(ejω)是實(shí)函數(shù)，且是ω的偶函數(shù)?？偨Y(jié)以上,x(n)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的傅里葉變換X(ejω)是實(shí)函數(shù)，是ω的偶函數(shù)?！?〕x(n)是實(shí)奇函數(shù)。上面已推出，由于x(n)是實(shí)序列，X(ejω)具有共軛對(duì)稱性質(zhì)，即X(ejω)=X*(e－jω)由于x(n)是奇函數(shù)，上式中x(n)cosω是奇函數(shù)，那么因此這說明X(ejω)是純虛數(shù)，且是ω的奇函數(shù)。8．設(shè)x(n)=R4(n)，試求x(n)的共軛對(duì)稱序列xe(n)和共軛反對(duì)稱序列xo(n)，并分別用圖表示。解：xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。9．x(n)=anu(n),0<a<1，分別求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。解：因?yàn)閤e(n)的傅里葉變換對(duì)應(yīng)X(ejω)的實(shí)部，xo(n)的傅里葉變換對(duì)應(yīng)X(ejω)的虛部乘以j，因此10．假設(shè)序列h(n)是實(shí)因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式：HR(ejω)=1+cosω求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。解：11．假設(shè)序列h(n)是實(shí)因果序列，h(0)=1，其傅里葉變換的虛部為HI(ejω)=－sinω求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。解：12．設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n),0<a<1，輸入序列為x(n)=δ(n)+2δ(n－2)完成下面各題：(1)求出系統(tǒng)輸出序列y(n)；(2)分別求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里葉變換。解(1)(2)上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù)δ函數(shù)，它的傅里葉變換可以表示成：〔2〕〔3〕式中式中ω0=Ω0T=0.5πrad上式推導(dǎo)過程中，指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在，只有引入奇異函數(shù)δ函數(shù)才能寫出它的傅里葉變換表示式。14．求出以下序列的Z變換及收斂域:(1)2－nu(n) (2)－2－nu(－n－1)(3)2－nu(－n) (4)δ(n)(5)δ(n－1) (6)2－n［u(n)－u(n－10)］解(1)(2)(3)(4)ZT［δ(n)］=10≤|z|≤∞(5)ZT［δ(n－1)］=z－10<|z|≤∞(6)15．求以下序列的Z變換及其收斂域，并在z平面上畫出極零點(diǎn)分布圖。(1)x(n)=RN(n)N=4(2)x(n)=Arncos(ω0n+j)u(n)r=0.9,ω0=0.5πrad,j=0.25πrad(3)式中，N=4。解(1)由z4－1=0，得零點(diǎn)為由z3(z－1)=0，得極點(diǎn)為z1,2=0,1零極點(diǎn)圖和收斂域如題15解圖(a)所示，圖中,z=1處的零極點(diǎn)相互對(duì)消。題15解圖(2)零點(diǎn)為極點(diǎn)為極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(b)所示。(3)令y(n)=R4(n),那么x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=［Y(z)］2,X(z)=z－1［Y(z)］2因?yàn)橐虼藰O點(diǎn)為z1=0,z2=1零點(diǎn)為在z=1處的極零點(diǎn)相互對(duì)消，收斂域?yàn)?<|z|≤∞，極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(c)所示。16．求出對(duì)應(yīng)X(z)的各種可能的序列表達(dá)式。解：X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)：z1=0.5,z2=2，因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界，因此收斂域有三種情況：|z|<0.5，0.5<|z|<2，2<|z|。三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。〔1〕收斂域|z|<0.5：令n≥0時(shí)，因?yàn)閏內(nèi)無極點(diǎn)，x(n)=0;n≤－1時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0，但z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)，改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)，圓外極點(diǎn)有z1=0.5,z2=2，那么(2)收斂域0.5<|z|<2:n≥0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，n<0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、0，但0是一個(gè)n階極點(diǎn)，改成求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有一個(gè)，即2，x(n)=－Res［F(z),2］=－2·2nu(－n－1)最后得到〔3〕收斂域|z|<2:n≥0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、2，n<0時(shí)，由收斂域判斷，這是一個(gè)因果序列，因此x(n)=0；或者這樣分析，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、2、0，但0是一個(gè)n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外無極點(diǎn)，所以x(n)=0。最后得到17．x(n)=anu(n),0<a<1。分別求：(1)x(n)的Z變換；(2)nx(n)的Z變換；(3)a－nu(－n)的Z變換。解：(1)18．分別求：〔1〕收斂域0.5<|z|<2對(duì)應(yīng)的原序列x(n)；〔2〕收斂域|z|>2對(duì)應(yīng)的原序列x(n)。解：〔1〕收斂域0.5<|z|<2:n≥0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，x(n)=Res［F(z),0.5］=0.5n=2－nn<0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、0，但0是一個(gè)n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有2，x(n)=－Res［F(z),2］=2n、最后得到x(n)=2－nu(n)+2nu(－n－1)=2－|n|∞<n<－∞(2)收斂域|z|>2:n≥0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、2，n<0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、2、0，但極點(diǎn)0是一個(gè)n階極點(diǎn)，改成求c外極點(diǎn)留數(shù)，可是c外沒有極點(diǎn)，因此x(n)=0最后得到x(n)=(0.5n－2n)u(n)19．用局部分式法求以下X(z)的反變換：(1)(2)解：(1)(2)20．設(shè)確定性序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)用下式表示：試用x(n)的Z變換X(z)和x(n)的傅里葉變換X(ejω)分別表示自相關(guān)函數(shù)的Z變換Rxx(z)和傅里葉變換Rxx(ejω)。解：解法一令m′=n+m,那么解法二因?yàn)閤(n)是實(shí)序列，X(e－jω)=X*(ejω)，因此21．用Z變換法解以下差分方程：

(1)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)，y(n)=0n≤－1

(2)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)，y(－1)=1，y(n)=0n<－1

(3)y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n)y(－1)=0.2,y(－2)=0.5,y(n)=0,當(dāng)n≤－3時(shí)。

解：(1)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)，y(n)=0n≤－1n≥0時(shí)，n<0時(shí)，y(n)=0最后得到y(tǒng)(n)=［－0.5·(0.9)n+1+0.5］u(n)(2)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n),y(－1)=1,y(n)=0n<－1n≥0時(shí)，n<0時(shí)，y(n)=0最后得到y(tǒng)(n)=［0.45(0.9)n+0.5］u(n)(3)y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n)y(－1)=0.2,y(－2)=0.5,y(n)=0,當(dāng)n<－2時(shí)Y(z)－0.8z－1［Y(z)+y(－1)z］－0.15z－2［Y(z)+y(－1)z+y(－2)z2］=1n≥0時(shí)，y(n)=－4.365·0.3n+6.375·0.5nn<0時(shí),y(n)=0最后得到y(tǒng)(n)=(－4.365·0.3n+6.375·0.5n)u(n)22．設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為〔1〕在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡(luò)，即|H(ejω)|=常數(shù)；〔2〕參數(shù)a如何取值，才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定？畫出其極零點(diǎn)分布及收斂域。解：(1)極點(diǎn)為a,零點(diǎn)為a－1。設(shè)a=0.6，極零點(diǎn)分布圖如題22解圖(a)所示。我們知道|H(ejω)|等于極點(diǎn)矢量的長度除以零點(diǎn)矢量的長度，按照題22解圖(a)，得到因?yàn)榻铅毓?，，且△AOB~△AOC，故，即故H(z)是一個(gè)全通網(wǎng)絡(luò)?；蛘甙凑沼嘞叶ɡ碜C明:題22解圖〔2〕只有選擇|a|<1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定。設(shè)a=0.6，極零點(diǎn)分布圖及收斂域如題22解圖(b)所示。

23．設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述：y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1)

〔1〕求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并畫出極零點(diǎn)分布圖；

〔2〕限定系統(tǒng)是因果的，寫出H(z)的收斂域，并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)；

〔3〕限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的，寫出H(z)的收斂域，并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)。

解：〔1〕y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1)

將上式進(jìn)行Z變換，得到

Y(z)=Y(z)z－1+Y(z)z－2+X(z)z－1因此零點(diǎn)為z=0。令z2－z－1=0，求出極點(diǎn)：極零點(diǎn)分布圖如題23解圖所示。題23解圖(2)由于限定系統(tǒng)是因果的，收斂域需選包含∞點(diǎn)在內(nèi)的收斂域，即。求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可以用兩種方法，一種是令輸入等于單位脈沖序列，通過解差分方程，其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；另一種方法是求H(z)的逆Z變換。我們采用第二種方法。式中令n≥0時(shí)，h(n)=Res［F(z),z1］+Res［F(z),z2］因?yàn)閔(n)是因果序列,n<0時(shí)，h(n)=0，故(3)由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域，即|z2|<|z|<|z1|,n≥0時(shí)，c內(nèi)只有極點(diǎn)z2，只需求z2點(diǎn)的留數(shù)，n<0時(shí)，c內(nèi)只有兩個(gè)極點(diǎn)：z2和z=0，因?yàn)閦=0是一個(gè)n階極點(diǎn)，改成求圓外極點(diǎn)留數(shù)，圓外極點(diǎn)只有一個(gè)，即z1,那么最后得到24．線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述：y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1)〔1〕求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及單位脈沖響應(yīng)h(n)；〔2〕寫出網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)的表達(dá)式，并定性畫出其幅頻特性曲線；〔3〕設(shè)輸入x(n)=ejω0n，求輸出y(n)。解：〔1〕y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1)Y(z)=0.9Y(z)z－1+X(z)+0.9X(z)z－1令n≥1時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.9，n=0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.9，0，最后得到h(n)=2·0.9nu(n－1)+δ(n)〔2〕極點(diǎn)為z1=0.9,零點(diǎn)為z2=－0.9。極零點(diǎn)圖如題24解圖(a)所示。按照極零點(diǎn)圖定性畫出的幅度特性如題24解圖(b)所示?！?〕題24解圖25．網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n)0<a<1,0<b<1〔1〕試用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)；〔2〕試用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)。解：〔1〕用卷積法求y(n)。n≥0時(shí)，n<0時(shí)，y(n)=0最后得到〔2〕用ZT法求y(n)。令n≥0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)：a、b,因此因?yàn)橄到y(tǒng)是因果系統(tǒng),所以n<0時(shí)，y(n)=0。最后得到26．線性因果系統(tǒng)用下面差分方程描述：y(n)－2ry(n－1)cosθ+r2y(n－2)=x(n)式中，x(n)=anu(n),0<a<1,0<r<1,θ=常數(shù)，試求系統(tǒng)的響應(yīng)y(n)。解：將題中給出的差分方程進(jìn)行Z變換，式中因?yàn)槭且蚬到y(tǒng)，收斂域?yàn)閨z|>max(r,|a|)，且n<0時(shí)，y(n)=0，故c包含三個(gè)極點(diǎn)，即a、z1、z2。27．如果x1(n)和x2(n)是兩個(gè)不同的因果穩(wěn)定實(shí)序列，求證：式中，X1(ejω)和X2(ejω)分別表示x1(n)和x2(n)的傅里葉變換。解：FT［x1(n)*x2(n)］=X1(ejω)X2(ejω)進(jìn)行IFT，得到令n=0,那么(1)由于x1(n)和x2(n)是實(shí)穩(wěn)定因果序列，因此(2)(3)由〔1〕、〔2〕、〔3〕式，得到28．假設(shè)序列h(n)是因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式：求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。解：求上式的Z的反變換，得到序列h(n)的共軛對(duì)稱序列he(n)為因?yàn)閔(n)是因果序列，he(n)必定是雙邊序列，收斂域取：a<|z|<a－1。n≥1時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)：a，n=0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)：a、0，因?yàn)閔e(n)=he(－n)，所以29．假設(shè)序列h(n)是因果序列，h(0)=1，其傅里葉變換的虛部為求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。解：令z=ejω,有jHI(ejω)對(duì)應(yīng)h(n)的共軛反對(duì)稱序列ho(n)，因此jHI(z)的反變換就是ho(n),因?yàn)閔(n)是因果序列，ho(n)是雙邊序列，收斂域取:a<|z|<a－1。n≥1時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)：a,n=0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)：a、0，因?yàn)閔I(n)=－h(huán)(－n),所以離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)3.1.2重要公式1〕定義k=0,1,…,N－1k=0,1,…,N－12〕隱含周期性3〕線性性質(zhì)假設(shè)，那么4〕時(shí)域循環(huán)移位性質(zhì)5)頻域循環(huán)移位性質(zhì)6〕循環(huán)卷積定理循環(huán)卷積：循環(huán)卷積的矩陣表示：循環(huán)卷積定理：假設(shè)yc(n)=h(n)Lx(n)那么Yc(k)=DFT［yc(n)］L=H(k)X(k)k=0,1,2,…,L－1其中H(k)=DFT［h(n)］L,X(k)=DFT［x(n)］L6)離散巴塞伐爾定理7〕共軛對(duì)稱性質(zhì)(1)長度為N的共軛對(duì)稱序列xep(n)與反共軛對(duì)稱序列xop(n):序列x(n)的共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量：〔2〕如果x(n)=xr(n)+jxi(n)且X(k)=Xep(k)+Xop(k)那么Xep(k)=DFT［xr(n)］,Xop(k)=DFT［jxi(n)］〔3〕如果x(n)=xep(n)+xop(n)且X(k)=Xr(k)+jXi(k)那么Xr(k)=DFT［xep(n)］,jXi(k)=DFT［xop(n)］〔4〕實(shí)序列DFT及FT的特點(diǎn):假設(shè)x(n)是實(shí)序列，X(k)=DFT［x(n)］，那么X(k)=X*(N－k)|X(k)|=|X(N－k)|,θ(k)=－θ(N－k)3.2頻率域采樣我們知道，時(shí)域采樣和頻域采樣各有相應(yīng)的采樣定理。頻域采樣定理包含以下內(nèi)容:〔1〕設(shè)x(n)是任意序列，X(ejω)=FT［x(n)］，對(duì)X(ejω)等間隔采樣得到k=0，1，2，3，…，N－1那么(2)如果x(n)的長度為M，只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N≥M時(shí)，xN(n)=x(n)，否那么會(huì)發(fā)生時(shí)域混疊，xN(n)≠x(n)。通過頻率域采樣得到頻域離散序列xN(k)，再對(duì)xN(k)進(jìn)行IDFT得到的序列xN(n)應(yīng)是原序列x(n)以采樣點(diǎn)數(shù)N為周期進(jìn)行周期化后的主值區(qū)序列，這一概念非常重要。(3)如果在頻率域采樣的點(diǎn)數(shù)滿足頻率域采樣定理，即采樣點(diǎn)數(shù)N大于等于序列的長度M，那么可以用頻率采樣得到的離散函數(shù)X(k)恢復(fù)原序列的Z變換X(z)，公式為式中上面第一式稱為z域內(nèi)插公式，第二式稱為內(nèi)插函數(shù)。3.3循環(huán)卷積和線性卷積的快速計(jì)算以及信號(hào)的頻譜分析3.3.1循環(huán)卷積的快速計(jì)算如果兩個(gè)序列的長度均不很長，可以直接采用循環(huán)卷積的矩陣乘法計(jì)算其循環(huán)卷積；如果序列較長，可以采用快速算法?？焖偎惴ǖ睦碚摳资茄h(huán)卷積定理。設(shè)h(n)的長度為N，x(n)的長度為M,計(jì)算yc(n)=h(n)Lx(n)的快速算法如下：〔1〕計(jì)算〔2〕計(jì)算Yc(k)=H(k)X(k)k=0,1,2,…,L－1〔3〕計(jì)算yc(n)=IDFT［Yc(k)］Ln=0,1,2,…,L－1說明：如上計(jì)算過程中的DFT和IDFT均采用FFT算法時(shí)，才稱為快速算法，否那么比直接在時(shí)域計(jì)算循環(huán)卷積的運(yùn)算量大3倍以上。3.3.2線性卷積的快速計(jì)算——快速卷積法序列h(n)和x(n)的長度分別為N和M，L=N+M－1，求y(n)=h(n)*x(n)的方法如下：〔1〕在h(n)的尾部加L－N個(gè)零點(diǎn)，在x(n)的尾部加L－M個(gè)零點(diǎn)；〔2〕計(jì)算L點(diǎn)的H(k)=FFT［h(n)］和L點(diǎn)的X(k)=FFT［x(n)］;〔3〕計(jì)算Y(k)=H(k)X(k)；〔4〕計(jì)算Y(n)=IFFT［Y(k)］，n=0，1，2，3，…，L-1。但當(dāng)h(n)和x(n)中任一個(gè)的長度很長或者無限長時(shí)，需用書上介紹的重疊相加法和重疊保存法。3.3.3用DFT/FFT進(jìn)行頻譜分析

對(duì)序列進(jìn)行N點(diǎn)的DFT/FFT就是對(duì)序列頻域的N點(diǎn)離散采樣，采樣點(diǎn)的頻率為ωk=2πk/N,k=0,1,2,…,N－1。

對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析要關(guān)心三個(gè)問題：頻譜分辨率、頻譜分析范圍和分析誤差。

DFT的分辨率指的是頻域采樣間隔2π/N，用DFT/FFT進(jìn)行頻譜分析時(shí)，在相鄰采點(diǎn)之間的頻譜是不知道的，因此頻率分辨率是一個(gè)重要指標(biāo)，希望分辨率高，即2π/N要小，DFT的變換區(qū)間N要大。當(dāng)然，截取信號(hào)的長度要足夠長。但如果截取的長度不夠長，而依靠在所截取的序列尾部加零點(diǎn)，增加變換區(qū)間長度，也不會(huì)提高分辨率。例如，分析周期序列的頻譜，只觀察了一個(gè)周期的1/4長度，用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行DFT，再通過尾部增加零點(diǎn)，加大DFT的變換區(qū)間N，也不能分辨出是周期序列，更不能得到周期序列的精確頻率。用DFT/FFT對(duì)序列進(jìn)行頻譜分析，頻譜分析范圍為π;用DFT/FFT對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，頻譜分析范圍為采樣頻率的一半，即0.5Fs。用DFT/FFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析的誤差表現(xiàn)在三個(gè)方面，即混疊現(xiàn)象、柵欄效應(yīng)和截?cái)嘈?yīng)。截?cái)嘈?yīng)包括泄漏和譜間干擾。(7)x(n)=ejω0nRN(n)(8)x(n)=sin(ω0n)RN(n)(9)x(n)=cos(ω0n)RN(N)(10)x(n)=nRN(n)解：(1)〔2〕〔3〕(4)(5)0≤k≤N－1(6)0≤k≤N－1(7)或〔8〕解法一直接計(jì)算：解法二由DFT的共軛對(duì)稱性求解。因?yàn)樗运约唇Y(jié)果與解法一所得結(jié)果相同。此題驗(yàn)證了共軛對(duì)稱性。(9)解法一直接計(jì)算:解法二由DFT共軛對(duì)稱性可得同樣結(jié)果。因?yàn)椤?0〕解法一上式直接計(jì)算較難，可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來求解X(k)。因?yàn)閤(n)=nRN(n)，所以x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n)等式兩邊進(jìn)行DFT，得到X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)故當(dāng)k=0時(shí)，可直接計(jì)算得出X(0)為這樣，X(k)可寫成如下形式：解法二k=0時(shí)，k≠0時(shí)，所以，，即2．以下X(k)，求x(n)=IDFT［X(k)］(1)(2)其中，m為正整數(shù)，0<m<N/2,N為變換區(qū)間長度。解:〔1〕n=0,1,…,N－1(2)n=0,1,…,N－13．長度為N=10的兩個(gè)有限長序列：≤≤≤≤≤≤≤≤題3解圖4．證明DFT的對(duì)稱定理，即假設(shè)X(k)=DFT［x(n)］，證明DFT［X(n)］=Nx(N－k)證：因?yàn)樗杂捎谒訢FT［X(n)］=Nx(N－k)k=0,1,…,N－15．如果X(k)=DFT［x(n)］，證明DFT的初值定理證:由IDFT定義式可知6．設(shè)x(n)的長度為N，且X(k)=DFT［x(n)］0≤k≤N－1令h(n)=x((n))NRmN(n)m為自然數(shù)H(k)=DFT［h(n)］mN0≤k≤mN－1求H(k)與X(k)的關(guān)系式。解:H(k)=DFT［h(n)］0≤k≤mN－1令n=n′+lN,l=0,1,…,m－1,n′=0,1,…,N－1,那么因?yàn)樗?．證明:假設(shè)x(n)為實(shí)序列，X(k)=DFT［x(n)］N，那么X(k)為共軛對(duì)稱序列，即X(k)=X*〔N－k)；假設(shè)x(n)實(shí)偶對(duì)稱，即x(n)=x(N－n)，那么X(k)也實(shí)偶對(duì)稱；假設(shè)x(n)實(shí)奇對(duì)稱，即x(n)=－x(N－n)，那么X(k)為純虛函數(shù)并奇對(duì)稱。證:(1)由教材(3.2.17)~(3.2.20)式知道，如果將x(n)表示為x(n)=xr(n)+jxi(n)那么X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)其中，Xep(k)=DFT［xr(n)］，是X(k)的共軛對(duì)稱分量；Xop(k)=DFT［jxi(n)］,是X(k)的共軛反對(duì)稱分量。所以，如果x(n)為實(shí)序列，那么Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0，故X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)，即X(k)=X*(N－k)?！?〕由DFT的共軛對(duì)稱性可知，如果x(n)=xep(n)+xop(n)

且X(k)=Re［X(k)］+jIm［X(k)］

那么Re［X(k)］=DFT［xep(n)］,jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］

所以，當(dāng)x(n)=x(N－n)時(shí)，等價(jià)于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有實(shí)部，即X(k)為實(shí)函數(shù)。又由〔1〕證明結(jié)果知道，實(shí)序列的DFT必然為共軛對(duì)稱函數(shù)，即X(k)=X*(N－k)=X(N－k)，所以X(k)實(shí)偶對(duì)稱。同理，當(dāng)x(n)=－x(N－n)時(shí)，等價(jià)于x(n)只有xop(n)成分〔即xep(n)=0〕，故X(k)只有純虛部，且由于x(n)為實(shí)序列，即X(k)共軛對(duì)稱，X(k)=X*(N－k)=－X(N－k),為純虛奇函數(shù)。8．證明頻域循環(huán)移位性質(zhì)：設(shè)X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］，如果Y(k)=X((k+l))NRN(k)，那么證：令m=k+l,那么9．x(n)長度為N，X(k)=DFT［x(n)］，≤≤≤≤≤≤求Y(k)與X(k)的關(guān)系式。解:10．證明離散相關(guān)定理。假設(shè)X(k)=X1*(k)Ｘ2(k)那么證：根據(jù)DFT的惟一性，只要證明即可。令m=l+n，那么所以≤≤當(dāng)然也可以直接計(jì)算X(k)=X1*(k)X2(k)的IDFT。0≤n≤N－1由于0≤n≤N－1所以11．證明離散帕塞瓦爾定理。假設(shè)X(k)=DFT［x(n)］，那么證：12．f(n)=x(n)+jy(n)，x(n)與y(n)均為長度為N的實(shí)序列。設(shè)F(k)=DFT［f(n)］N0≤k≤N－1(1)(2)F(k)=1+jN試求X(k)=DFT［x(n)］N，Y(k)=DFT［y(n)］N以及x(n)和y(n)。解:由DFT的共軛對(duì)稱性可知x(n)X(k)=Fep(k)jy(n)jY(k)=Fop(k)方法一〔1〕0≤n≤N－1由于0≤n,m≤N－1所以x(n)=an0≤n≤N－1同理y(n)=bn0≤n≤N－1〔2〕F(k)=1+jN方法二令只要證明A(k)為共軛對(duì)稱的，B(k)為共軛反對(duì)稱，那么就會(huì)有A(k)=Fep(k)=X(k),B(k)=Fop(k)=jY(k)因?yàn)?，共軛?duì)稱，共軛反對(duì)稱所以由方法一知x(n)=IDFT［X(k)］=anRN(n)y(n)=IDFT［Y(k)］=bnRN(n)13．序列x(n)=anu(n)，0<a<1,對(duì)x(n)的Z變換X(z)在單位圓上等間隔采樣N點(diǎn)，采樣序列為求有限長序列IDFT［X(k)］N。解:我們知道，,是以2π為周期的周期函數(shù)，所以將式③代入式②得到由于所以由題意知所以根據(jù)有關(guān)X(k)與xN(n)的周期延拓序列的DFS系數(shù)的關(guān)系有由于0≤n≤N－1，所以因此說明：平時(shí)解題時(shí)，此題推導(dǎo)的過程可省去，直接引用頻域采樣理論給出的結(jié)論〔教材中式〔3.3.2〕和(3.3.3)〕即可。14．兩個(gè)有限長序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為x(n)=0n<0,8≤ny(n)=0n<0,20≤n對(duì)每個(gè)序列作20點(diǎn)DFT，即X(k)=DFT［x(n)］k=0,1,…,19Y(k)=DFT［y(n)］k=0,1,…,19試問在哪些點(diǎn)上f(n)與x(n)*y(n)值相等,為什么？解:如前所述，記fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFT［F(k)］=x(n)20y(n)。fl(n)長度為27，f(n)長度為20。由教材中式〔3.4.3〕知道f(n)與fl(n)的關(guān)系為只有在如上周期延拓序列中無混疊的點(diǎn)上，才滿足f(n)=fl(n),所以f(n)=fl(n)=x(n)*y(n)7≤n≤1915．實(shí)序列x(n)的8點(diǎn)DFT的前5個(gè)值為0.25,0.125-j0.3018,0,0.125-j0.0518,0。〔1〕求X(k)的其余3點(diǎn)的值；〔2〕求X1(k)=DFT［x1(n)］8；〔3〕，求解：〔1〕因?yàn)閤(n)是實(shí)序列，由第7題證明結(jié)果有X(k)=X*(N－k)，即X(N－k)=X*(k),所以，X〔k〕的其余3點(diǎn)值為{X(5),X(6),X(7)}={0.125+j0.0518,0,0.125+j0.3018〔2〕根據(jù)DFT的時(shí)域循環(huán)移位性質(zhì)，(3)16．x(n)、x1(n)和x2(n)分別如題16圖(a)、(b)和(c)所示，X(k)=DFT［x(n)］8。求和［注:用X(k)表示X1(k)和X2(k)。］解：因?yàn)閤1(n)=x((n+3))8R8(n),x2(n)=x((n－2))8R8(n)，所以根據(jù)DFT的時(shí)域循環(huán)移位性質(zhì)得到17．設(shè)x(n)是長度為N的因果序列，且試確定Y(k)與X(ejω)的關(guān)系式。解：y(n)是x(n)以M為周期的周期延拓序列的主值序列，根據(jù)頻域采樣理論得到18．用微處理機(jī)對(duì)實(shí)數(shù)序列作譜分析，要求譜分辨率F≤50Hz，信號(hào)最高頻率為1kHz，試確定以下各參數(shù)：(1)最小記錄時(shí)間Tpmin；(2)最大取樣間隔Tmax；(3)最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin；(4)在頻帶寬度不變的情況下，使頻率分辨率提高1倍〔即F縮小一半〕的N值。解:〔1〕F=50Hz，因而〔2〕〔3〕〔4〕頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變，應(yīng)該使記錄時(shí)間擴(kuò)大1倍，即為0.04s，實(shí)現(xiàn)頻率分辨率提高1倍〔F變?yōu)樵瓉淼?/2〕。19．調(diào)幅信號(hào)的載波頻率fc=1kHz，調(diào)制信號(hào)頻率fm=100Hz，用FFT對(duì)其進(jìn)行譜分析，試求：(1)最小記錄時(shí)間Tpmin;(2)最低采樣頻率fsmin;(3)最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。解：調(diào)制信號(hào)為單一頻率正弦波時(shí)，已調(diào)AM信號(hào)為x(t)=cos(2πfct+jc)［1+cos(2πfmt+jm)］所以，已調(diào)AM信號(hào)x(t)只有3個(gè)頻率：fc、fc+fm、fc－fm。x(t)的最高頻率fmax=1.1kHz，頻率分辨率F≤100Hz〔對(duì)此題所給單頻AM調(diào)制信號(hào)應(yīng)滿足100/F=整數(shù)，以便能采樣到這三個(gè)頻率成分〕。故(1)(2)(3)〔注意，對(duì)窄帶已調(diào)信號(hào)可以采用亞奈奎斯特采樣速率采樣，壓縮碼率。而在此題的解答中，我們僅按基帶信號(hào)的采樣定理來求解?！?0．在以下說法中選擇正確的結(jié)論。線性調(diào)頻Z變換可以用來計(jì)算一個(gè)有限長序列h(n)在z平面實(shí)軸上諸點(diǎn){zk}的Z變換H(zk)，使(1)zk=ak,k=0,1,…,N－1,a為實(shí)數(shù)，a≠1;(2)zk=ak,k=0,1,…,N－1,a為實(shí)數(shù)，a≠1;(3)(1)和(2)都不行，即線性調(diào)頻Z變換不能計(jì)算H(z)在z平面實(shí)軸上的取樣值。解：在chirp-Z變換中，在z平面上分析的N點(diǎn)為zk=AW－kk=0,1,…,N－1其中所以當(dāng)A0=1,ω0=0,W0=a－1,j=0時(shí)，zk=ak故說法〔1〕正確,