2019-2020學(xué)年河南省開封市五縣聯(lián)考高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年河南省開封市五縣聯(lián)考高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知，是兩個(gè)變量，下列四個(gè)關(guān)系中，，呈負(fù)相關(guān)的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)兩個(gè)變量，的散點(diǎn)圖，即可確定.【詳解】根據(jù)的散點(diǎn)圖可知，，不呈負(fù)相關(guān).選項(xiàng)A，排除.根據(jù)的散點(diǎn)圖可知，，不呈負(fù)相關(guān).選項(xiàng)B，排除.根據(jù)的散點(diǎn)圖可知，，呈正相關(guān).選項(xiàng)C，排除.根據(jù)的散點(diǎn)圖可知，，呈負(fù)相關(guān).選項(xiàng)D，成立.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查變量的相關(guān)性，數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于較易題.2．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（）A．2 B．4 C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)的平均變化率的公式，求解即可.【詳解】故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的平均變化率，屬于容易題.3．雙曲線：的離心率是（）A．3 B． C．2 D．【答案】D【解析】雙曲線：化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，則，，根據(jù)離心率公式，求解即可.【詳解】雙曲線：化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，其離心率是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)化，是解決本題的關(guān)鍵，屬于較易題.4．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求定義域，再求導(dǎo)數(shù)，令解不等式，即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榱?，解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.5．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則實(shí)數(shù)（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】先確定在曲線，求導(dǎo)數(shù)，，根據(jù)切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率，列方程，求解即可.【詳解】將點(diǎn)代入曲線中，得，所以點(diǎn)在曲線上，求導(dǎo)得，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.因?yàn)橐阎芯€方程為，所以切線的斜率為1.依題意，，解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于較易題.6．某公司在2014~2018年的收入與支出情況如下表所示：收入（億元）2.22.43.85.26.0支出（億元）0.21.52.02.53.8根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，依此估計(jì)如果2019年該公司收入為8億元時(shí)的支出為（）A．4.502億元 B．4.404億元C．4.358億元 D．4.856億元【答案】D【解析】先求，，根據(jù)，求解，將代入回歸直線方程為，求解即可.【詳解】，即令，則故選：D【點(diǎn)睛】本題考查回歸分析，樣本中心點(diǎn)滿足回歸直線方程，是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.7．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A．90 B．110 C．45 D．55【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，,根據(jù)，，列方程組，求解與，即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，由，，可知，解得.所以，則.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和，屬于中檔題.8．已知雙曲線，點(diǎn)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，取的中點(diǎn)，連接，則，在中，，即，求解，即可.【詳解】如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，則.由，則.即.在中，則，即.所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線，屬于中檔題.9．設(shè)函數(shù)，若時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意變形整理為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求在上的最小值，求解即可.【詳解】時(shí)，即，對成立.∴.令，則令，即，解得.令，即，解得∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).∴∴.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，求參數(shù)的取值范圍，屬于難題.10．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義和三角形相似、可知，，進(jìn)而可求得結(jié)果?！驹斀狻咳鐖D所示：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用拋物線定義得到.設(shè)準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，所以，所以.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題。解決圓錐曲線有關(guān)的問題，注意初中平面幾何中結(jié)論的運(yùn)用。11．已知函數(shù)，點(diǎn)、為函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，且過、兩點(diǎn)的切線互相垂直，若，則的最小值為（）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可知，再將變形為，根據(jù)均值不等式，求解即可.【詳解】∵，過、兩點(diǎn)的切線互相垂直.∴∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立∴的最小值為1.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及均值不等式，屬于難題.12．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，并且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】將變形為，根據(jù)均值不等式可知，由題意可知，解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所?所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，若使得恒成立則需，即，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式，屬于較難題.二、填空題13．不等式的解集為______.【答案】或【解析】不等式，變形為，求解即可.【詳解】，解得或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式，屬于較易題.14．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】根據(jù)約束條件畫出可行域，利用數(shù)形結(jié)合求目標(biāo)函數(shù)的最小值，即可.【詳解】由約束條件畫出可行域，如圖所示.由圖可知，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問題，屬于較易題.15．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，若的內(nèi)切圓的面積為，則橢圓方程為______.【答案】【解析】由題意可知，為等腰三角形，根據(jù)面積相等，確定，再根據(jù)，，求解即可.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則其內(nèi)切圓面積為，解得由題意可知，為等腰三角形，且，，，即，得∴又，∴，∴橢圓方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，等面積轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，以為圓心，長為半徑畫圓，在第一象限交拋物線于、兩點(diǎn)，則的值為______.【答案】8【解析】由題意可知圓的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，整理的，設(shè)，，確定，求解即可.【詳解】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為則，即圓的方程為則，變形整理得，設(shè)，則、為方程的兩根.即由拋物線定義可知，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì)，屬于中檔題.三、解答題17．為了解某班學(xué)生喜好體育運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對本班60人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：喜好體育運(yùn)動(dòng)不喜好體育運(yùn)動(dòng)合計(jì)男生5女生10合計(jì)60已知按喜好體育運(yùn)動(dòng)與否，采用分層抽樣法抽取容量為12的樣本，則抽到喜好體育運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為7.（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜好體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？說明你的理由；下面的臨界值表供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中）【答案】（1）列聯(lián)表見解析；（2）能，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)分層抽樣可知喜好體育運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為，其中男生人數(shù)為，則不喜好體育運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為，其中女生人數(shù)為，本班女生人數(shù)為，本班男生人數(shù)為，填表即可.（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式，求解，與比較，得出結(jié)論，即可.【詳解】（1）設(shè)喜好體育運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為人，由已知得解，∴.列聯(lián)表補(bǔ)充如下：喜好體育運(yùn)動(dòng)不喜好體育運(yùn)動(dòng)合計(jì)男生25530女生102030合計(jì)352560（2）∵.能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為喜好體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于中檔題.18．已知數(shù)列中，，，且滿足.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）由題意可知，，則，解方程即可.（2）由（1）可知，則，分別用，，，，替換上式中的，再將這些等式相加，運(yùn)用累差疊加法，求解即可.【詳解】（1）由，得.即.所以，，所以，化簡得，解得或.（2）在（1）的情況下，若則，即將上述各式相加：數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【點(diǎn)睛】本題考查累差疊加法求數(shù)列通項(xiàng)公式.屬于中檔題.19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．（1）求拋物線的方程；（2）過焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】【試題分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，結(jié)合拋物線的定義可求得，拋物線方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去，寫出韋達(dá)定理，代入，化簡可求得，即求得直線方程.【試題解析】（1）由點(diǎn)在拋物線上，有，解得，由拋物線定義有：，解：，故拋物線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，消去得：，故有：，，，，則，故，解得：，所求直線的方程為：或．20．已知函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為2.（1）求函數(shù)的極值；（2）求證：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）極小值為，沒有極大值；（2）證明見解析.【解析】（1）先求定義域?yàn)椋偾髮?dǎo)數(shù)為，由題意可知，解得，則，確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求解即可.（2）由（1）可知的單調(diào)性，分別確定、、的正負(fù)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可.【詳解】（1）解：定義域?yàn)椤?是的極值點(diǎn)∴∴∴.∴時(shí)，；時(shí)，∴的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.∴有極小值為，沒有極大值.（2）證明：由（1）知的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為∵∴.∴有1個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，有1個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，∴只有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于較難的題.21．在平面直角坐標(biāo)系中，四個(gè)點(diǎn)，，，中有3個(gè)點(diǎn)在橢圓：上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（，不是橢圓的頂點(diǎn)），點(diǎn)在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：存在常數(shù)使得，并求出的值.【答案】（1）；（2）證明見解析，.【解析】（1）根據(jù)橢圓的對稱性可知，關(guān)于軸對稱的，在橢圓上.分類討論，當(dāng)在橢圓上時(shí)，當(dāng)在橢圓上時(shí)，分別求解，根據(jù)確定，即可.（2）設(shè)，，由題意可知，，設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，變形整理得，確定，，從而，直線的方程為，分別令、確定點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線，的斜率分別為，，求解即可.【詳解】（1）∵，關(guān)于軸對稱.∴這2個(gè)點(diǎn)在橢圓上，即①當(dāng)在橢圓上時(shí)，②由①②解得，.當(dāng)在橢圓上時(shí)，③由①③解得，.又∴，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)，，則.因?yàn)橹本€的斜率，又.所以直線的斜率.設(shè)直線的方程為，由題意知，.由可得，所以，.由題意知，所以，所以直線的方程為，令，得，即，可得，令，得，即，可得，所以，即，因此，存在常數(shù)使得結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難的題.22．已知函數(shù)，.（1）若曲線與在點(diǎn)處有相同的切線，求函數(shù)的極值；（2）若，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）的極大值，極小值為；（2）時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.【解析】（1）對函數(shù)，分別求導(dǎo)，根據(jù)曲線與在點(diǎn)處有相同的切線，可知，解得，從而得到，求，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求極值，即可.（2）先求的定義域，求導(dǎo)數(shù)，對進(jìn)行分類討論，