控制工程基礎(chǔ)第四章1

頻域分析法頻率特性及其表示法典型環(huán)節(jié)的頻率特性穩(wěn)定裕度和判據(jù)頻率特性指標(biāo)應(yīng)用頻率特性研究線性系統(tǒng)的經(jīng)典方法稱為頻域分析法。

當(dāng)前1頁，總共55頁。引言1.為什么要對系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析？時域分析法：從微分方程或傳遞函數(shù)角度求解系統(tǒng)的時域響應(yīng)（和性能指標(biāo)）。不利于工程研究之處：計算量大，而且隨系統(tǒng)階次的升高而增加很大；對于高階系統(tǒng)十分不便，難以確定解析解；不易分析系統(tǒng)各部分對總體性能的影響，難以確定主要因素；不能直觀地表現(xiàn)出系統(tǒng)的主要特征。當(dāng)前2頁，總共55頁。工程方法要求：計算量不應(yīng)太大，且不因微分方程階數(shù)的升高而增加過多；應(yīng)容易分析系統(tǒng)各部分對總體動態(tài)性能的影響，易區(qū)分主要因素；最好還能用作圖法直觀地表現(xiàn)出系統(tǒng)性能的主要特征。頻域分析法:是一種間接的研究控制系統(tǒng)性能的工程方法。它研究系統(tǒng)的依據(jù)是頻率特性，頻率特性是控制系統(tǒng)的又一種數(shù)學(xué)模型。當(dāng)前3頁，總共55頁。2.頻率響應(yīng)、頻率特性和頻域分析法

頻率響應(yīng):正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量。（控制系統(tǒng)中的信號可以表示為不同頻率正弦信號的合成）頻率特性:系統(tǒng)頻率響應(yīng)和正弦輸入信號之間的關(guān)系，它和傳遞函數(shù)一樣表示了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的動態(tài)特性。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：控制系統(tǒng)的頻率特性反映正弦輸入下系統(tǒng)響應(yīng)的性能。研究其的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是Fourier變換。頻域分析法:利用系統(tǒng)頻率特性分析和綜合控制系統(tǒng)的方法。當(dāng)前4頁，總共55頁。3.頻域分析法的優(yōu)點(diǎn)

(1)

物理意義明確。對于一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)，頻域性能指標(biāo)和時域性能指標(biāo)有明確的對應(yīng)關(guān)系；對于高階系統(tǒng)，可建立近似的對應(yīng)關(guān)系。

(2)可以用試驗(yàn)方法求出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，易于研究機(jī)理復(fù)雜或不明的系統(tǒng)；也適用于某些非線性系統(tǒng)。

(3)可以根據(jù)開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的性能，無需求解高次代數(shù)方程。

(4)能較方便地分析系統(tǒng)中的參量對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響，從而進(jìn)一步指出改善系統(tǒng)性能的途徑。

(5)采用作圖方法，計算量小，且非常直觀。

當(dāng)前5頁，總共55頁。引例——RC電路

對于圖4-1所示的RC電路，其傳遞函數(shù)為式中，T=RC

。圖4-1RC電路4.1頻率特性當(dāng)前6頁，總共55頁。設(shè)輸入電壓為正弦信號，其時域和復(fù)域描述為所以有將其進(jìn)行部分分式展開后再拉氏反變換當(dāng)前7頁，總共55頁。uo(t)表達(dá)式中第一項是瞬態(tài)分量，第二項是穩(wěn)態(tài)分量。顯然上述RC電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為結(jié)論：當(dāng)電路輸入為正弦信號時，其輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（頻率響應(yīng)）也是一個正弦信號，其頻率和輸入信號相同，但幅值和相角發(fā)生了變化，其變化取決于ω。當(dāng)前8頁，總共55頁。若把輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和輸入正弦信號用復(fù)數(shù)表示，并求其復(fù)數(shù)比，可以得到式中頻率特性G(jω)：上述電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比，且G(jω)=G(s)|s=jω

。幅頻特性A(ω)：輸出信號幅值與輸入信號幅值之比。相頻特性(ω)：輸出信號相角與輸入信號相角之差。當(dāng)前9頁，總共55頁。設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為已知輸入其拉氏變換則系統(tǒng)輸出為

(4-1)G(s)

的極點(diǎn)

(4-2)對穩(wěn)定系統(tǒng)

待定系數(shù)

2.控制系統(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出當(dāng)前10頁，總共55頁。(4-2)趨向于零

是一個復(fù)數(shù)向量，因而可表示為

(4-7)(4-5)(4-6)(4-4)因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：當(dāng)前11頁，總共55頁。

式中，穩(wěn)態(tài)輸出的振幅和相位分別為由此可見，LTI系統(tǒng)在正弦輸入下，輸出的穩(wěn)態(tài)值是和輸入同頻率的正弦信號。輸出振幅是輸入振幅的|G(jω)|倍，輸出相位與輸入相位相差∠G(jω)度。當(dāng)前12頁，總共55頁。3.頻率特性的定義幅頻特性：LTI系統(tǒng)在正弦輸入作用下，穩(wěn)態(tài)輸出振幅與輸入振幅之比，用A(ω)表示。相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出相位與輸入相位之差，用(ω)表示。幅頻A(ω)和相頻

(ω)統(tǒng)稱幅相頻率特性。當(dāng)前13頁，總共55頁。頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相似的形式

比較當(dāng)前14頁，總共55頁。

幾點(diǎn)說明

頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù)

平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與

系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系

統(tǒng)的固有特性。

盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但系統(tǒng)的

頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元

部件的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此，系統(tǒng)動

態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于其中。當(dāng)前15頁，總共55頁。

應(yīng)用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路：

實(shí)際施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉級數(shù)或用傅立葉積分表示的連續(xù)頻譜函數(shù)，

因此根據(jù)控制系統(tǒng)對于正弦諧波函數(shù)這類典型信號的響應(yīng)可以推算出它在任意周期信號或非周期信號作用下的運(yùn)動情況。

當(dāng)前16頁，總共55頁。

頻率特性的物理意義：頻率特性表征了系統(tǒng)或元件對不同頻率正弦輸入的響應(yīng)特性；

()大于零時稱為相角超前，小于零時稱

為相角滯后。tx(t),y1(t),y2(t)x(t)y1(t)y2(t)01()2()當(dāng)前17頁，總共55頁。（1）幅相頻率特性曲線（極坐標(biāo)圖或奈奎斯特圖）對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)幅頻特性相頻特性()縱坐標(biāo)均按線性分度橫坐標(biāo)是角速率按分度4.頻率特性的表示法（2）對數(shù)頻率特性曲線（伯德圖）（3）對數(shù)幅相曲線（尼柯爾斯圖）橫坐標(biāo)：對數(shù)相頻特性的相角縱坐標(biāo)：對數(shù)幅頻特性的分貝數(shù)當(dāng)前18頁，總共55頁。可用幅值和相角的向量表示。變化時，向量的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點(diǎn)在復(fù)平面上移動的軌跡稱為幅相頻率特性曲線（簡稱幅相曲線或Nyquist曲線）。畫有

Nyquist曲線的坐標(biāo)圖稱為極坐標(biāo)圖或Nyquist圖。當(dāng)輸入信號的頻率在極坐標(biāo)圖上，以橫軸為實(shí)軸，縱軸為虛軸，且正/負(fù)相角是從正實(shí)軸開始，以逆時針/順時針旋轉(zhuǎn)來定義的。

極坐標(biāo)圖(Polarplot)，又稱幅相頻率特性曲線或奈奎斯特曲線。4.2極坐標(biāo)圖當(dāng)前19頁，總共55頁。將G(jω)分為實(shí)部和虛部(代數(shù)表示)，即U(ω)和V(ω)分別稱為實(shí)頻特性和虛頻特性。取橫坐標(biāo)U(ω)，縱坐標(biāo)表示V(ω)，也可得到系統(tǒng)的幅相曲線(實(shí)虛頻圖)。奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于極坐標(biāo)圖闡述了反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性。當(dāng)前20頁，總共55頁。例：-90°0∞………-63.5°0.452T-45°0.7071/T-26.6°0.891/2T010當(dāng)前21頁，總共55頁。圖5-25極坐標(biāo)圖但它不能清楚地表明開環(huán)傳遞函數(shù)中每個因子對系統(tǒng)的具體影響

采用極坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)是它能在一幅圖上表示出系統(tǒng)在整個頻率范圍內(nèi)的頻率響應(yīng)特性。當(dāng)前22頁，總共55頁。4.2.1典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖用頻域分析法研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)響應(yīng)時，是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性進(jìn)行的，而控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性通常是由若干典型環(huán)節(jié)的頻率特性組成的。本節(jié)介紹六種常用的典型環(huán)節(jié)。當(dāng)前23頁，總共55頁。ReImK比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為實(shí)軸上的K點(diǎn)。1比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的奈氏圖4.2.1典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖式中－實(shí)頻特性；－相頻特性；－幅頻特性；－虛頻特性；當(dāng)前24頁，總共55頁。ReIm積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為負(fù)虛軸。頻率ω從0→∞特性曲線由虛軸的－∞趨向原點(diǎn)。積分環(huán)節(jié)的奈氏圖2積分環(huán)節(jié)當(dāng)前25頁，總共55頁。

微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性3微分環(huán)節(jié)當(dāng)前26頁，總共55頁。①純微分環(huán)節(jié)：純微分環(huán)節(jié)的奈氏圖ReIm純微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為正虛軸。頻率ω從0→∞特性曲線由原點(diǎn)趨向虛軸的+∞。當(dāng)前27頁，總共55頁。一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖ReIm一階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為平行于虛軸直線。頻率w從0→∞特性曲線相當(dāng)于純微分環(huán)節(jié)的特性曲線向右平移一個單位。②一階微分：當(dāng)前28頁，總共55頁。二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性③二階微分環(huán)節(jié)：幅頻和相頻特性為：實(shí)頻和虛頻特性為：0z21ImRe0=w￥=w當(dāng)前29頁，總共55頁。慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖4慣性環(huán)節(jié)當(dāng)前30頁，總共55頁。極坐標(biāo)圖是一個圓，對稱于實(shí)軸。證明如下：整理得：下半個圓對應(yīng)于正頻率部分，而上半個圓對應(yīng)于負(fù)頻率部分。當(dāng)前31頁，總共55頁。實(shí)頻、虛頻、幅頻和相頻特性分別為：振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性討論時的情況。頻率特性為：5振蕩環(huán)節(jié)當(dāng)前32頁，總共55頁。振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖實(shí)際曲線還與阻尼系數(shù)有關(guān)。當(dāng)時，，曲線在3，4象限；當(dāng) 時，與之對稱于實(shí)軸。當(dāng)前33頁，總共55頁。振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的基本形狀是相同的。當(dāng)過阻尼時，阻尼系數(shù)越大其圖形越接近圓。當(dāng)前34頁，總共55頁。1極坐標(biāo)圖是一個圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓。隨著頻率的變化，沿單位圓轉(zhuǎn)無窮多圈。延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：6延遲環(huán)節(jié)當(dāng)前35頁，總共55頁。小結(jié)

比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖—有三種形式：純微分、一階微分和二階微分。慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖延遲環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖當(dāng)前36頁，總共55頁。一、控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)分解設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)由若干個典型環(huán)節(jié)相串聯(lián)其開環(huán)頻率特性：

4.2.2繪制乃氏圖的一般規(guī)律當(dāng)前37頁，總共55頁。所以，系統(tǒng)的開環(huán)幅頻和相頻分別為：開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性是各串聯(lián)環(huán)節(jié)幅頻特性的幅值之積；開環(huán)系統(tǒng)的相頻特性是各串聯(lián)環(huán)節(jié)相頻特性的相角之和。結(jié)論：當(dāng)前38頁，總共55頁。對于一般線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為：其對應(yīng)的頻率特性為：當(dāng)υ＝0時，稱該系統(tǒng)為0

型系統(tǒng)；當(dāng)υ＝1時，稱該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)；當(dāng)υ＝2時，稱該系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)；當(dāng)前39頁，總共55頁。繪制Nyquist圖有時并不需要繪制得十分準(zhǔn)確只需要繪出Nyquist圖的大致形狀和幾個關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置（如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）就可以了。開環(huán)系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)分解和典型環(huán)節(jié)幅相曲線的特點(diǎn)是繪制概略幅相特性曲線的基礎(chǔ)。二、開環(huán)幅相特性曲線的繪制（Nyquist圖）當(dāng)前40頁，總共55頁。概略繪制乃氏圖的步驟：確定開環(huán)乃氏圖的終點(diǎn)G(j∞)確定開環(huán)乃氏圖的起點(diǎn)G(j0+)寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率特性當(dāng)前41頁，總共55頁。注意：若傳遞函數(shù)不存在微分項（純微分、一階微分、二階微分等），則幅相特性曲線相位連續(xù)減少；反之，若出現(xiàn)微分環(huán)節(jié)，則幅相曲線會出現(xiàn)凹凸。確定開環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)（若有）——虛頻為零或相頻為n×180°確定開環(huán)幅相曲線與虛軸的交點(diǎn)（若有）——實(shí)頻為零或相頻為n×90°勾畫出開環(huán)幅相曲線（ω＝0→+∞）的大致曲線（越精確越好）當(dāng)前42頁，總共55頁。K零型系統(tǒng)（ν=0）例1當(dāng)前43頁，總共55頁。K零型系統(tǒng)（ν=0）例2當(dāng)前44頁，總共55頁。零型系統(tǒng)（ν=0）例3當(dāng)前45頁，總共55頁。0型系統(tǒng)的乃氏圖始于正實(shí)軸上的點(diǎn)，在高頻段趨于原點(diǎn)，由第幾象限趨于原點(diǎn)取決于－（n－m）×90。n－傳遞函數(shù)中分母的階次m－傳遞函數(shù)中分子的階次當(dāng)前46頁，總共55頁。Ⅰ型系統(tǒng)（ν=1）例4當(dāng)前47頁，總