2019版數(shù)學(xué)（文）教師用書：第七章 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l2．空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱）S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體（棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f（1,3）Sh臺體(棱臺和圓臺）S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1，3）(S上＋S下＋eq\r（S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4，3）πR31．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√"或“×”）（1)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形,那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS.(）（2）錐體的體積等于底面面積與高之積．（)(3)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差．（）(4）球的體積之比等于半徑之比的平方．（）答案：（1）×（2)×(3)√(4）×2．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為()A.eq\f（16，3)π B.eq\f(32，3）πC．16π D．24π解析：選B設(shè)球的半徑為R，則由4πR2＝16π,解得R＝2，所以這個球的體積為eq\f（4,3）πR3＝eq\f（32，3)π。3．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．20π B．24πC．28π D．32π解析：選C由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體,設(shè)圓柱底面圓半徑為r,周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h。由圖得r＝2，c＝2πr＝4π,h＝4，由勾股定理得：l＝eq\r(22＋2\r（3)2）＝4,S表＝πr2＋ch＋eq\f（1,2)cl＝4π＋16π＋8π＝28π.4．（教材習(xí)題改編）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．解析：由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊為2，高為eq\r（3)的三角形，正視圖的長為三棱柱的高，故h＝3,所以該幾何體的體積V＝S·h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)×2×\r(3）)）×3＝3eq\r(3）.答案：3eq\r（3）5．正三棱柱ABC.A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(3),D為BC的中點,則三棱錐A.B1DC1的體積為________．解析:如圖，在正三棱柱ABC。A1B1C1中,∵AD⊥BC，AD⊥BB1，BB1∩BC＝B，∴AD⊥平面B1DC1?！郪A-B1DC1＝eq\f（1，3)S△B1DC1·AD＝eq\f(1，3)×eq\f(1，2)×2×eq\r（3)×eq\r（3）＝1。答案:1eq\a\vs4\al(考點一空間幾何體的表面積）eq\a\vs4\al(重點保分型考點-—師生共研）空間幾何體的表面積在高考中的考查多以三視圖的形式給出，考查的載體多為柱體、錐體、球和簡單組合體.題型為選擇題或填空題，難度中等。求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即空間圖形平面化,這是解決立體幾何問題的主要出發(fā)點。[典題領(lǐng)悟］1．（2016·全國卷Ⅲ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（）A．18＋36eq\r(5) B．54＋18eq\r（5)C．90 D．81解析：選B由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側(cè)面為矩形，另兩個側(cè)面為平行四邊形，則表面積為（3×3＋3×6＋3×3eq\r(5））×2＝54＋18eq\r(5)。2。(2015·全國卷Ⅰ)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r）組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π,則r＝（)A．1 B．2C．4 D．8解析:選B如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r,高為2r，則表面積S＝eq\f(1,2）×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝（5π＋4）r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4,r＝2，故選B.[解題師說］1．三類幾何體表面積的求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手,將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積時通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體,先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積2．避免兩類失誤（1)因?qū)缀误w的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不準(zhǔn)，混淆幾何體側(cè)面的邊長與三視圖中有關(guān)數(shù)據(jù)的關(guān)系而導(dǎo)致解題錯誤．一定要熟記三視圖中的數(shù)據(jù)反應(yīng)的是空間幾何體的長、寬、高,而不一定是空間幾何體的棱長．(如典題領(lǐng)悟第1題，易誤認(rèn)為側(cè)棱長為6而導(dǎo)致解題錯誤)（2）在審視組合體的圖形時，圖形結(jié)構(gòu)特征審視不準(zhǔn)致誤．（如典題領(lǐng)悟第2題中的幾何體是一個半球和一個半圓柱的組合體，求表面積時，應(yīng)去掉兩幾何體的接觸面)[沖關(guān)演練]1．(2018·沈陽質(zhì)檢）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積是（)A．36＋6eq\r(10） B．36＋3eq\r（10)C．54 D．27解析：選A由三視圖知該幾何體的表面積為S＝2×eq\f（1,2）×（2＋4）×3＋2×3＋4×3＋2×3×eq\r(10)＝36＋6eq\r（10）.2．（2018·湖南五市十校聯(lián)考）如圖，小方格是邊長為1的正方形，一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（)A．4eq\r（5）π＋96 B．(2eq\r(5）＋6)π＋96C．(4eq\r(5）＋4)π＋64 D．（4eq\r(5)＋4)π＋96解析：選D由三視圖知,該幾何體為一個圓錐和一個正方體的組合體,正方體的棱長為4，圓錐的高為4，底面半徑為2，所以該幾何體的表面積S＝6×42＋π×22＋π×2×eq\r(42＋22）＝(4eq\r（5)＋4）π＋96.3．(2018·安徽江南十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示,其中側(cè)視圖的下半部分曲線為半圓弧，則該幾何體的表面積為（）A．4π＋16＋4eq\r（3) B．5π＋16＋4eq\r(3)C．4π＋16＋2eq\r(3) D．5π＋16＋2eq\r（3）解析：選D由三視圖可知該幾何體是一個正三棱柱和一個半圓柱的組合體，三棱柱的兩個側(cè)面面積之和為2×4×2＝16，兩個底面面積之和為2×eq\f（1，2)×2×eq\r(3)＝2eq\r(3）；半圓柱的側(cè)面積為π×4＝4π，兩個底面面積之和為2×eq\f(1,2）×π×12＝π,所以幾何體的表面積為5π＋16＋2eq\r（3），故選D。eq\a\vs4\al（考點二空間幾何體的體積)eq\a\vs4\al(重點保分型考點-—師生共研)高考中空間幾何體體積的考查是幾何體相關(guān)問題中出現(xiàn)頻率較高的，主要考查由三視圖求相關(guān)幾何體的體積。高考中主要以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，難度中等.［典題領(lǐng)悟］1．（2017·全國卷Ⅱ）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）A．90π B．63πC．42π D．36π解析：選B法一：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，故其體積V＝π×32×10－eq\f（1,2)×π×32×6＝63π.法二：由題意知,該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，其體積等價于底面半徑為3，高為7的圓柱的體積,所以它的體積V＝π×32×7＝63π.2．（2017·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是（）A。eq\f(π,2）＋1 B。eq\f(π，2)＋3C。eq\f(3π,2)＋1 D。eq\f（3π，2）＋3解析:選A由幾何體的三視圖可得,該幾何體是一個底面半徑為1,高為3的圓錐的一半與一個底面為直角邊長為eq\r(2）的等腰直角三角形,高為3的三棱錐的組合體，故該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f（1，2)×π×12×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r（2)×eq\r（2）×3＝eq\f（π，2）＋1。3．（2017·山東高考)由一個長方體和兩個eq\f(1，4)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為________．解析：該幾何體由一個長、寬、高分別為2，1,1的長方體和兩個底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構(gòu)成，故該幾何體的體積V＝2×1×1＋2×eq\f(1,4)×π×12×1＝2＋eq\f（π，2）.答案：2＋eq\f（π，2）[解題師說］1．處理體積問題的思路2．求體積的常用方法直接法對于規(guī)則的幾何體,利用相關(guān)公式直接計算．割補法首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體,然后進行體積計算;或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體,便于計算．等體積法選擇合適的底面來求幾何體體積,常用于求三棱錐的體積,即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換。[沖關(guān)演練］1．(2017·北京高考）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(）A．60 B．30C．20 D．10解析:選D如圖，把三棱錐A-BCD放到長方體中，長方體的長、寬、高分別為5，3，4,△BCD為直角三角形，直角邊分別為5和3,三棱錐A。BCD的高為4,故該三棱錐的體積V＝eq\f(1，3)×eq\f（1，2）×5×3×4＝10。2．一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.eq\f(1,3）＋eq\f（2,3)π B.eq\f（1,3)＋eq\f(\r(2),3）πC。eq\f（1，3)＋eq\f（\r(2），6）π D．1＋eq\f(\r（2),6)π解析：選C由三視圖知，四棱錐是底面邊長為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為eq\f(\r(2），2），從而該幾何體的體積為eq\f(1,3）×12×1＋eq\f(1,2）×eq\f(4π,3）×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2）,2))）3＝eq\f（1，3)＋eq\f(\r（2),6)π。3．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為()A。eq\f（4,3) B。eq\f(5，2）C。eq\f(7，3) D．3解析：選A根據(jù)幾何體的三視圖,得該幾何體是下部為直三棱柱，上部為三棱錐的組合體，如圖所示．則該幾何體的體積是V幾何體＝V三棱柱＋V三棱錐＝eq\f(1,2）×2×1×1＋eq\f（1,3)×eq\f(1，2）×2×1×1＝eq\f(4，3）。eq\a\vs4\al（考點三與球有關(guān)的切、接問題）eq\a\vs4\al(題點多變型考點--追根溯源)eq\x(\a\al(與球有關(guān)的切、接問題是每年高考的熱點，也是難點，題型為選擇題或填空題.,常見的命題角度有:,1球與柱體的切、接問題;,2球與錐體的切、接問題。））［題點全練］角度(一）球與柱體的切、接問題1．已知直三棱柱ABC—A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球OA。eq\f（3\r(17)，2） B．2eq\r（10）C.eq\f(13，2） D．3eq\r(10）解析：選C如圖，由球心作平面ABC的垂線,則垂足為BC的中點M。又AM＝eq\f（1,2)BC＝eq\f(1，2)eq\r（32＋42）＝eq\f（5,2），OM＝eq\f(1，2）AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))）2＋62）＝eq\f（13，2）.2.（2017·江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f（V1,V2)的值是________．解析：設(shè)球O的半徑為R，因為球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R,所以eq\f(V1,V2）＝eq\f(πR2·2R，\f(4,3)πR3)＝eq\f(3，2）。答案：eq\f（3，2）角度（二）球與錐體的切、接問題3．已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq\r(3）,內(nèi)有一個球與四個面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為（)A。eq\f（5,2) B。eq\r(3)－1C.eq\f(1,2) D。eq\r（2）－1解析：選D如圖，過點P作PD⊥平面ABC于點D,連接AD并延長交BC于點E，連接PE,∵△ABC是正三角形，∴AE是BC邊上的高和中線,D為△ABC的中心．∵AB＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝3eq\r（3），DE＝1，PE＝eq\r(2).∴S表＝3×eq\f（1，2)×2eq\r（3）×eq\r(2）＋3eq\r（3)＝3eq\r(6）＋3eq\r(3）。∵PD＝1，∴三棱錐的體積V＝eq\f（1，3）×3eq\r（3)×1＝eq\r(3)。設(shè)球的半徑為r,以球心O為頂點，三棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，則r＝eq\f（3\r（3），3\r(6）＋3\r（3)）＝eq\r(2)－1.4．(2017·全國卷Ⅰ)已知三棱錐S。ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S。ABC的體積為9，則球O的表面積為________．解析：如圖，連接AO,OB，∵SC為球O的直徑，∴點O為SC的中點,∵SA＝AC,SB＝BC，∴AO⊥SC,BO⊥SC,∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，設(shè)球O的半徑為R,則OA＝OB＝R，SC＝2R.∴VS-ABC＝VA。SBC＝eq\f(1,3)×S△SBC×AO＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)×SC×OB))×AO，即9＝eq\f（1,3)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）×2R×R))×R，解得R＝3,∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π.答案：36π［題“根”探求]1．解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：2．有關(guān)幾何體外接球、內(nèi)切球計算問題的常用結(jié)論(1）球(半徑為R）與正方體(設(shè)棱長為a）有以下三種特殊情形：①球內(nèi)切于正方體，此時2R＝a；②球與正方體的棱相切，此時2R＝eq\r(2)a；③球外接于正方體，此時2R＝eq\r（3）a.（2）長、寬、高分別為a,b，c的長方體的體對角線長等于其外接球的直徑，即eq\r（a2＋b2＋c2）＝2R.(3）棱長為a的正四面體，斜高為eq\f(\r(3)，2)a，高為eq\f（\r（6)，3)a，其外接球的半徑為eq\f(\r（6），4）a，內(nèi)切球的半徑為eq\f（\r（6）,12）a。（4)三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球：①如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，那么可以補形為一個正方體,正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心;②如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等，那么可以補形為一個長方體,長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心．（5)求一個棱錐內(nèi)切球的半徑，可以根據(jù)球心到各個面的距離相等以及棱錐的體積列式得出．也可以先找準(zhǔn)切點，通過作截面來解決,作截面時主要抓住棱錐過球心的對角面來作．（6)求一個幾何體的外接球的半徑，可以結(jié)合球心到各個頂點的距離相等列式得出．（7）球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作軸截面解題,球與多面體的組合通過多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點”“接點”)作截面解題．此類問題在計算時,經(jīng)常用到截面圓．如圖所示，設(shè)球O的半徑為R,截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任一點，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2。［沖關(guān)演練］1．(2017·天津高考）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為________．解析:由正方體的表面積為18，得正方體的棱長為eq\r(3).設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則2R＝3,R＝eq\f(3，2),所以這個球的體積為eq\f(4，3）πR3＝eq\f(4π，3）×eq\f(27，8)＝eq\f(9π,2)。答案：eq\f（9π,2）2．一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨、加工成球,則能得到的最大球的半徑等于________．解析：該幾何體為直三棱柱，底面是邊長分別為6，8,10的直角三角形,側(cè)棱長為12,故能得到的最大球的半徑等于底面直角三角形內(nèi)切圓的半徑，其半徑為r＝eq\f（2S,a＋b＋c)＝eq\f(2×\f(1,2)×6×8，6＋8＋10）＝2.答案:23．已知一個四面體的一條邊長為eq\r(6），其余邊長均為2,則此四面體的外接球的半徑為________．解析：由題意畫出幾何體的圖形如圖所示，取BC的中點為O，連接AO，DO，則AO⊥BC，DO⊥BC.∵AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD.又∵OA＝OD＝eq\r（3），AD＝eq\r(6），∴OA2＋OD2＝AD2，∴AO⊥DO，∴該四面體的外接球的球心在AD的中點E與點O的連線上，設(shè)球心為G,球的半徑為R，即GA＝GB＝GC＝GD，又G在線段OE上，∴AG2－AE2＝EG2，BG2－BO2＝GO2，EO＝EG＋GO,∴eq\f(\r（6),2)＝eq\r(R2－1）＋eq\r(R2－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r（6），2））)2），解得R＝eq\f（\r（15),3)，故此四面體的外接球的半徑為eq\f（\r(15）,3）。答案:eq\f（\r（15）,3）(一）普通高中適用作業(yè)A級-—基礎(chǔ)小題練熟練快1．（2018·江西七校聯(lián)考）若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）A．48＋π B．48－πC．48＋2π D．48－2π解析：選A該幾何體是正四棱柱挖去了一個半球，正四棱柱的底面是正方形（邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故選A.2．如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是eq\f（28π，3)，則它的表面積是（)A．17π B．18πC．20π D．28π解析：選A由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的eq\f(1,4）,得到的幾何體如圖．設(shè)球的半徑為R，則eq\f(4，3)πR3－eq\f(1，8）×eq\f（4,3）πR3＝eq\f（28,3）π，解得R＝2。因此它的表面積為eq\f(7，8）×4πR2＋eq\f（3,4)πR2＝17π。3?！毒耪滤阈g(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1。62立方尺,圓周率約為3，估算出堆放的米約有（）A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛解析：選B設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則eq\f（π,2）r＝8，所以r＝eq\f(16，π),所以米堆的體積為V＝eq\f（1,4)×eq\f（1,3)π×r2×5＝eq\f(π,12）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(16,π)）)2×5≈eq\f（320,9）(立方尺)．故堆放的米約有eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛)．4．一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（)A。eq\f（1,8) B.eq\f(1,7）C。eq\f(1,6） D。eq\f(1,5）解析:選D由三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角”后剩余的部分,如圖所示，截去部分是一個三棱錐．設(shè)正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為V1＝eq\f(1，3）×eq\f（1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，剩余部分的體積V2＝13－eq\f(1,6)＝eq\f（5,6).所以eq\f(V1,V2）＝eq\f(\f（1，6），\f（5，6)）＝eq\f(1，5）.5．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點M是AB上的動點，記四面體EFMC的體積為V1，多面體ADF-BCE的體積為V2,則eq\f（V1，V2)＝()A。eq\f（1,4） B.eq\f（1,3）C。eq\f（1，2） D.eq\f（1，5)解析：選B由三視圖可知多面體ADF。BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形（直角邊長為a），且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形，它們的邊長均為a.∵M是AB上的動點，且易知AB∥平面DFEC，∴點M到平面DFEC的距離等于點B到平面DFEC的距離，距離為a，∴V1＝VE.FMC＝VM.EFC＝eq\f（1，3）·eq\f（1,2)a·a·a＝eq\f(a3,6），又V2＝eq\f（1,2）a·a·a＝eq\f（a3，2),故eq\f(V1,V2）＝eq\f(\f(a3,6），\f（a3,2))＝eq\f（1,3）.6．(2018·廣東五校協(xié)作體第一次診斷)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.eq\f（10＋2\r(2）π,2）＋1 B.eq\f(13π，6）C。eq\f（11＋\r(2)π，2）＋1 D。eq\f(11＋2\r（2）π，2）＋1解析：選C由三視圖可知該幾何體是一個圓柱和半個圓錐的組合體，故其表面積為eq\f(\r(2)，2）π＋1＋2π×2＋eq\f(3，2）π＝eq\f(11＋\r（2)π,2)＋1,故選C.7．某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________．解析：由題意知該四棱柱為直四棱柱，其高為1,底面為上底長為1，下底長為2，高為1的等腰梯形，所以該四棱柱的體積為V＝eq\f(1＋2×1，2）×1＝eq\f（3，2)。答案：eq\f(3,2）8．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為_______．解析:設(shè)圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7。答案：79．一個六棱錐的體積為2eq\r（3),其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________．解析：由題意可知該六棱錐為正六棱錐，正六棱錐的高為h,側(cè)面的斜高為h′。由題意,得eq\f（1,3)×6×eq\f(\r（3)，4)×22×h＝2eq\r（3)，∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝eq\r(12＋\r（3)2）＝2，∴S側(cè)＝6×eq\f（1，2)×2×2＝12.答案:1210.已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是________．解析：由正視圖知三棱錐的形狀如圖所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2,BD＝2eq\r（3），設(shè)O為BD的中點，連接OA，OC，則OA⊥BD，OC⊥BD，結(jié)合正視圖可知AO⊥平面BCD.又OC＝eq\r（CD2－OD2)＝1,∴V三棱錐A-BCD＝eq\f(1，3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）×2\r(3)×1）)×1＝eq\f(\r（3）,3)。答案：eq\f(\r（3)，3）B級--中檔題目練通抓牢1．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1cm，粗線為某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．2cm3 B．4cm3C．6cm3 D．8cm3解析：選B由三視圖知幾何體是一個以俯視圖中的直角梯形為底面，高h(yuǎn)＝2cm的四棱錐．由三視圖中的數(shù)據(jù)得四棱錐的底面面積S＝eq\f（1，2)×(2＋4）×2＝6（cm2），所以其體積V＝eq\f(1，3）Sh＝eq\f（1,3)×6×2＝4（cm3）．2．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（)A．64－eq\f(16π，3) B．64－eq\f（32π,3）C．64－16π D．64－eq\f(64π,3)解析：選A由三視圖可知,該幾何體是一個正方體中間挖去兩個頂點相接的圓錐，其中，兩個圓錐的體積和是V錐＝eq\f(1，3）Sh＝eq\f（1，3)×π×22×4＝eq\f（16,3)π，∴V＝V正方體－V錐＝43－eq\f（16，3）π＝64－eq\f(16,3)π。3．(2018·江西七校聯(lián)考）如圖，四邊形ABCD是邊長為2eq\r（3)的正方形，點E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點,將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE,EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點重合于點P，若四面體PAEF的四個頂點在同一個球面上,則該球的表面積是（)A．6π B．12πC．18π D．9eq\r(2)π解析：選C因為∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°,所以可將四面體補成一個長方體（PA，PE，PF是從同一頂點出發(fā)的三條棱),則四面體和補全的長方體有相同的外接球，設(shè)其半徑為R，由題意知2R＝eq\r（\r（3）2＋\r(3）2＋2\r(3)2)＝3eq\r(2)，故該球的表面積S＝4πR2＝4πeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3\r（2),2))）2＝18π。4．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．解析：該幾何體可視為正方體截去兩個三棱錐所得，如圖所示，所以其體積為23－eq\f（1，3)×eq\f(1，2)×2×2×2－eq\f(1,3）×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(13,2）.答案：eq\f（13,2）5.已知三棱錐S.ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2,則此棱錐的體積為________．解析：由于三棱錐S。ABC與三棱錐O。ABC底面都是△ABC，O是SC的中點，因此三棱錐S。ABC的高是三棱錐O。ABC高的2倍，所以三棱錐S.ABC的體積也是三棱錐O-ABC體積的2倍．如圖所示，在三棱錐O-ABC中,其棱長都是1，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×AB2＝eq\f（\r（3),4），高OD＝eq\r（12－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r（3)，3)））2）＝eq\f（\r（6),3），所以VS。ABC＝2VO.ABC＝2×eq\f(1,3)×eq\f（\r(3），4）×eq\f(\r（6），3)＝eq\f（\r(2）,6).答案：eq\f（\r（2),6)6．已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi)接圓柱,這個圓柱的底面半徑與高為何值時,它的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？解：如圖為其軸截面,令圓柱的高為h,底面半徑為r，側(cè)面積為S，則eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(h，2）))2＋r2＝R2，即h＝2eq\r（R2－r2）。因為S＝2πrh＝4πr·eq\r（R2－r2)＝4πeq\r(r2·R2－r2）≤4πeq\r（\f(r2＋R2－r22，4)）＝2πR2，當(dāng)且僅當(dāng)r2＝R2－r2，即r＝eq\f(\r(2),2)R時,取等號，即當(dāng)內(nèi)接圓柱底面半徑為eq\f（\r（2),2）R，高為eq\r（2)R時，其側(cè)面積的值最大，最大值為2πR2。7。如圖是一個以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC,已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝（1）該幾何體的體積;（2）截面ABC的面積．解：(1）過C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1,BB1分別于點A2，B由直三棱柱性質(zhì)及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，則該幾何體的體積V＝VA1B1C1。A2B2C＋＝eq\f(1,2)×2×2×2＋eq\f(1，3)×eq\f(1，2)×(1＋2）×2×2＝6.（2）在△ABC中，AB＝eq\r(22＋4－32)＝eq\r（5)，BC＝eq\r（22＋3－22)＝eq\r（5）,AC＝eq\r(2\r（2)2＋4－22)＝2eq\r（3).則S△ABC＝eq\f(1，2）×2eq\r(3）×eq\r(\r(5)2－\r（3)2）＝eq\r(6)。C級——重難題目自主選做1.高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為（)A。eq\f(3，4） B.eq\f（1,4）C.eq\f（1，2） D。eq\f(3，8）解析：選C由側(cè)視圖、俯視圖知該幾何體是高為2、底面積為eq\f（1,2）×2×(2＋4）＝6的四棱錐，其體積為4。易知直三棱柱的體積為8,則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為eq\f(1,2）.2.如圖,已知球O是棱長為1的正方體ABCD。A1B1C1D1的內(nèi)切球,則平面ACD1截球O的截面面積為()A。eq\f（\r(6)，6）π B.eq\f(π，3）C.eq\f(π，6） D.eq\f（\r（3),3)π解析：選C平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內(nèi)切圓．因為正方體的棱長為1,所以AC＝CD1＝AD1＝eq\r(2),所以內(nèi)切圓的半徑r＝eq\f（\r（2），2)×tan30°＝eq\f（\r(6)，6),所以S＝πr2＝π×eq\f(1，6)＝eq\f（1,6）π。(二）重點高中適用作業(yè)A級-—保分題目巧做快做1．（2018·合肥一檢)一個幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖的弧線為四分之一圓周)，則該幾何體的表面積為(）A．72＋6π B．72＋4πC．48＋6π D．48＋4π解析:選A由三視圖知,該幾何體由一個正方體的eq\f（3，4)部分與一個圓柱的eq\f（1，4）部分組合而成(如圖所示），其表面積為16×2＋（16－4＋π）×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π。2．如圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積為(）A．34＋6eq\r(5） B．6＋6eq\r(5)＋4eq\r(3）C．6＋6eq\r(5)＋4eq\r(13） D．17＋6eq\r（5)解析：選A由三視圖得該幾何體的直觀圖如圖,其中,底面ABCD為矩形，AD＝6,AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等腰三角形，且此四棱錐的高為4，故該幾何體的表面積等于6×2＋2×eq\f(1，2)×2×5＋eq\f（1,2)×6×2eq\r(5)＋eq\f(1,2）×6×4＝34＋6eq\r（5)。3．某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為3eq\r(7)，則側(cè)視圖中線段的長度x的值是（)A.eq\r（7） B．2eq\r（7）C．4 D．5解析：選C分析題意可知，該幾何體為如圖所示的四棱錐P。ABCD，故其體積V＝eq\f（1,3）×eq\f(\f(3，2)＋3，2)×4×CP＝3eq\r(7)，∴CP＝eq\r(7)，∴x＝eq\r（32＋\r（7)2)＝4.4．一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為()A．64－eq\f(16π,3) B．64－eq\f(32π,3）C．64－16π D．64－eq\f(64π,3）解析：選A由三視圖可知，該幾何體是一個正方體中間挖去兩個頂點相接的圓錐，其中，兩個圓錐的體積和是V錐＝eq\f（1,3）Sh＝eq\f(1,3)×π×22×4＝eq\f(16,3）π,∴V＝V正方體－V錐＝43－eq\f(16，3）π＝64－eq\f（16，3）π。5．在三棱錐A。BCD中，側(cè)棱AB,AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD,△ADB的面積分別為eq\f（\r(2），2)，eq\f(\r(3)，2），eq\f(\r（6)，2)，則該三棱錐外接球的表面積為（)A．2π B．6πC．4eq\r（6)π D．24π解析：選B設(shè)相互垂直的三條側(cè)棱AB，AC，AD分別為a，b，c，則eq\f(1,2)ab＝eq\f（\r(2)，2），eq\f(1，2)bc＝eq\f(\r（3），2），eq\f（1，2)ac＝eq\f（\r(6）,2），解得a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r（3).所以三棱錐A.BCD的外接球的直徑2R＝eq\r(a2＋b2＋c2）＝eq\r（6），則其外接球的表面積S＝4πR2＝6π。6．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________．解析：由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖．則該幾何體的表面積為S＝2×eq\f（1,2）×2×2＋4×2×2＋2eq\r(2)×4＝20＋8eq\r(2)。答案：20＋8eq\r(2)7。已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．解析:由正視圖知三棱錐的形狀如圖所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2eq\r(3），設(shè)O為BD的中點，連接OA，OC，則OA⊥BD,OC⊥BD,結(jié)合正視圖可知AO⊥平面BCD.又OC＝eq\r（CD2－OD2）＝1，∴V三棱錐A。BCD＝eq\f（1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)×2\r（3)×1）)×1＝eq\f(\r(3),3)。答案：eq\f(\r（3）,3）8．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．解析：該幾何體可視為正方體截去兩個三棱錐所得，如圖所示,所以其體積為23－eq\f(1,3)×eq\f(1,2）×2×2×2－eq\f（1,3)×eq\f（1，2）×1×1×1＝eq\f(13,2）。答案：eq\f（13，2）9．已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi)接圓柱，這個圓柱的底面半徑與高為何值時,它的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？解：如圖為其軸截面，令圓柱的高為h，底面半徑為r,側(cè)面積為S,則eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(h，2)))2＋r2＝R2，即h＝2eq\r（R2－r2)。因為S＝2πrh＝4πr·eq\r（R2－r2)＝4πeq\r（r2·R2－r2)≤4πeq\r(\f（r2＋R2－r22,4)）＝2πR2，當(dāng)且僅當(dāng)r2＝R2－r2，即r＝eq\f(\r(2),2)R時，取等號,即當(dāng)內(nèi)接圓柱底面半徑為eq\f(\r（2）,2)R，高為eq\r(2）R時,其側(cè)面積的值最大,最大值為2πR2。10．已知A，B，C是球O的球面上三點,且AB＝AC＝3,BC＝3eq\r（3)，D為該球面上的動點，球心O到平面ABC的距離為球半徑的一半,求三棱錐D-ABC體積的最大值．解：如圖，在△ABC中，∵AB＝AC＝3，BC＝3eq\r(3），∴由余弦定理可得cosA＝eq\f（32＋32－3\r(3)2，2×3×3）＝－eq\f（1,2)，∴sinA＝eq\f(\r（3),2)。設(shè)△ABC外接圓O′的半徑為r,則eq\f(3\r(3),\f(\r(3),2))＝2r，得r＝3.設(shè)球的半徑為R,連接OO′，BO′,OB,則R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（R，2）))2＋32，解得R＝2eq\r(3).由圖可知，當(dāng)點D到平面ABC的距離為eq\f(3,2）R時，三棱錐D。ABC的體積最大，∵S△ABC＝eq\f（1,2）×3×3×eq\f(\r（3)，2)＝eq\f（9\r（3）,4)，∴三棱錐D。ABC體積的最大值為eq\f（1，3）×eq\f(9\r(3),4)×3eq\r（3）＝eq\f（27，4).B級——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1。高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為（）A。eq\f（3，4) B.eq\f(1，4)C。eq\f（1,2） D。eq\f（3，8)解析：選C由側(cè)視圖、俯視圖知該幾何體是高為2、底面積為eq\f(1，2）×2×（2＋4）＝6的四棱錐，其體積為4.易知直三棱柱的體積為8,則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為eq\f（1，2）.2．(2018·江西七校聯(lián)考）如圖，四邊形ABCD是邊長為2eq\r(3)的正方形，點E,F分別為邊BC，CD的中點，將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE,EF，F(xiàn)A折起，使B,C，D三點重合于點P，若四面體PAEF的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積是(）A．6π B．12πC．18π D．9eq\r(2)π解析:選C因為∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可將四面體補成一個長方體（PA，PE,PF是從同一頂點出發(fā)的三條棱)，則四面體和補全的長方體有相同的外接球，設(shè)其半徑為R，由題意知2R＝eq\r（\r(3）2＋\r（3）2＋2\r（3)2)＝3eq\r(2），故該球的表面積S＝4πR2＝4πeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3\r（2)，2)）)2＝18π.3．設(shè)球O