2022年高考藝術(shù)生專(zhuān)用數(shù)學(xué)講義-第42講回歸直線方程（學(xué)生版）

第42講回歸直線方程

i.回歸分析

如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，則這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直

線叫做回歸直線.回歸直線對(duì)應(yīng)的方程叫做回歸直線方程（簡(jiǎn)稱回歸方程）.

2.回歸方程的求解

（1）求回歸方程的方法是最小二乘法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小.

若變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，有〃個(gè)樣本數(shù)據(jù)（%,?）（，=12…，則回歸方程*=%+&中

—M)(y-y)WXy_加了

-----------=罟---------，a^y-bx.

之(七-君2之片-府2

/=1/=1

1〃

_X,+X2+.??+%?卞_1§、,_>|+>2+…+%

其中亍=一2七---------------，y一一乙,一

?,=in------------------n

（元田稱為樣本點(diǎn)的中心.

（2）線性回歸模型y=bx+a+e,其中e稱為隨機(jī)誤差，自變量x稱為解釋變量，因變量V稱為預(yù)報(bào)

變量.

【注意】①回歸直線亍=5x+&必過(guò)樣本點(diǎn)的中心（瓦了），這個(gè)結(jié)論既是檢驗(yàn)所求回歸直線方程是否準(zhǔn)

確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個(gè)依據(jù).

②利用回歸直線方程不但可以預(yù)測(cè)在x取某一個(gè)值時(shí)，y的估計(jì)值，同時(shí)也能知道x每增加1個(gè)單位，$

的變化量.

③在回歸直線方程中，5既表示直線的斜率，又表示自變量x的取值每增加一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)y的改變

量.

題型一：相關(guān)關(guān)系

1.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）有五組變量：

①汽車(chē)的重量和汽車(chē)每消耗一升汽油所行駛的距離；

②平均日學(xué)習(xí)時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績(jī)；

③某人每天的吸煙量和身體健康狀況；

④圓的半徑與面積；

⑤汽車(chē)的重量和每千米的耗油量.

其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的是（）

A.②?⑤B.②④C.②⑤D.④⑤

2.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列語(yǔ)句所表示的事件中的因素不具有相關(guān)關(guān)系的是（）

A.瑞雪兆豐年B.讀書(shū)破萬(wàn)卷，下筆如有神

C.吸煙有害健康D.喜鵲叫喜，烏鴉叫喪

3.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下面的變量之間可用直線擬合的是（）

A.出租車(chē)費(fèi)與行駛的里程

B.房屋面積與房屋價(jià)格

C.身高與體重

D.實(shí)心鐵塊的大小與質(zhì)量

4.（2021?全國(guó)）某次考試之后，班主任從全班同學(xué)中隨機(jī)抽取8位同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)、物理成績(jī)（單位：

分，滿分100分）的散點(diǎn)圖如圖所示：

［物理成績(jī)/分

100

90.??

80*?

70,

60

50----1-------1------?-------1------?-----------------------?

5060708090100數(shù)學(xué)成績(jī)/分

根據(jù)以上信息，有下列結(jié)論：

①根據(jù)散點(diǎn)圖，可以判斷數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)具有線性相關(guān)關(guān)系；

②從全班同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)（記為甲、乙），若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分，乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0

分，則可以判斷出甲同學(xué)的物理成績(jī)一定比乙同學(xué)的物理成績(jī)高；

③從全班同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)（記為甲、乙），若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分，乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0

分，則不能判斷出甲同學(xué)的物理成績(jī)一定比乙同學(xué)的物理成績(jī)高.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）下列有關(guān)相關(guān)關(guān)系及線性回歸的說(shuō)法，不正確的是（）

A.一個(gè)變量取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系

B.在平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形稱為散點(diǎn)圖

c.線性回歸方程最能代表觀測(cè)值x,y之間的關(guān)系

D.任何一組觀測(cè)值都能得到具有代表意義的回歸方程

6.（2021?靜寧縣第一中學(xué)高二月考（文））已知變量z和y滿足關(guān)系》=-O.lz+l,變量y與X負(fù)相關(guān).下

列結(jié)論中正確的是（）

A.Z與y正相關(guān)，X與Z負(fù)相關(guān)

B.z與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)

C.z與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)

D.z與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)

7.（2021?威海市第一中學(xué)高二月考）對(duì)變量％F有觀測(cè)數(shù)據(jù)（10,5）,（11.3,4）,（11.8,3）,（12.5,2）,

（13,1）對(duì)變量〃，/有觀測(cè)數(shù)據(jù)（10,1）,（11.3,2）,（11.8,3）,（12.5,4）,（13,5）,彳表示變量

xy之間的線性相關(guān)系數(shù)，4表示受最4，之間的線性相關(guān)系數(shù)，則（）

A.4<q<0B.0<々<4C.rt<O<r2D.4=4

8.（2021?江蘇沐陽(yáng)?高二期末）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較,

A.4<〃<()<與<eB.[<{<()“<弓

C.r4<r2<0<r3<D.r2<r4<0<r,<r3

題型二：回歸直線方程（小題）

1.（2021?江西吉安一中高二開(kāi)學(xué)考試（理））已知x與，之間的一組數(shù)據(jù)：（1,3）,（2,5）,（3,7）,（4,9）,則y

與x的線性回歸方程為y=bx+a必過(guò)（）

A.（2,6）B.（3,8）C.（2.5,6）D.（3.5,8）

2.（2021?孟津縣第一高級(jí)中學(xué)（理））為了慶祝建黨100周年，某網(wǎng)站從7月1日開(kāi)始推出黨史類(lèi)書(shū)籍

免費(fèi)下載活動(dòng)，已知活動(dòng)推出時(shí)間x（單位：天）與累計(jì)下載量》（單位：萬(wàn)次）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：

X45678

y6891012

根據(jù)上表，利用最小二乘法得到回歸直線方程3=L4x+4,據(jù)此模型預(yù)測(cè)，活動(dòng)推出11天的累計(jì)下載量約

為（）

A.13.8萬(wàn)次B.14.6萬(wàn)次

C.16萬(wàn)次D.18萬(wàn)次

3.（2021?貴州貴陽(yáng)一中高三月考（文））某產(chǎn)品的零售價(jià)x（元）與銷(xiāo)售量y（個(gè)）的統(tǒng)計(jì)表如下：

X1213141516

y4435282011

據(jù)上表可得回歸直線方程為3=-8.1x+a,貝"=（）

A.140.6B.141C.141.2D.141.4

4.（2021?崇仁縣第二中學(xué)（文））某公司為了增加某商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)，調(diào)查了該商品投入的廣告費(fèi)用x

（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售利潤(rùn)）（萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，由表中數(shù)據(jù)，得回歸直線/：；=具+二則下列結(jié)論錯(cuò)

誤的是（）

廣告費(fèi)用X（萬(wàn)

2356

元）

銷(xiāo)售利潤(rùn)y（萬(wàn)

57911

元）

A-b>0B.”>0

C.直線/過(guò)點(diǎn)（4,8）D.直線/過(guò)點(diǎn)（2,5）

5.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)有一個(gè)回歸方程為j>=2-1.5x,則變量x增加一個(gè)單位時(shí)（）

A.y平均增加1.5個(gè)單位B.）平均增加2個(gè)單位

c.y平均減少1.5個(gè)單位D.y平均減少2個(gè)單位

6.（2021?鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校高二月考（理））已知兩個(gè)變量x,y線性相關(guān)，且根據(jù)觀測(cè)到的數(shù)據(jù)

（%,y）（i=l,2,…〃）計(jì)算樣本平均數(shù)得1=4,亍=2.7,則根據(jù)這組觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程不可能是

（）

A.y=0.5x4-0.7B.g=0.8x-0.5

C.y=0.3x+1.5D.y=x-\.l

7.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：

X25710

y1357

則》與x的線性回歸方程y=bx+a必過(guò)點(diǎn).

8.（2021?長(zhǎng)春市第二十中學(xué)高二期末）已知取值如下表:

X01456

y1.3m3m5.67.4

畫(huà)散點(diǎn)圖分析可知：，與K線性相關(guān)，且求得回歸方程為<=x+l，則”的值為.（精確到0.1）

9.（2021?四川樂(lè)山?高二期末（文））某家具廠的原材料費(fèi)支出x與銷(xiāo)售量y（單位：萬(wàn)元）之間有如

下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出>'與x的線性回歸方程為？=8%+九則3=.

X24568

y2535605575

10.（2021?四川成都?高三模擬預(yù)測(cè)（文））已知關(guān)于X,y的一組數(shù)據(jù):

Xim345

y0.50.6n1.41.5

根據(jù)表中這五組數(shù)據(jù)得到的線性回歸直線方程為y=0.28A-+0.16,則W-0.28〃?的值為.

題型三：回歸直線方程（大題）

1.（2021?渭南市尚德中學(xué)高二月考（文））在一段時(shí)間內(nèi)，分5次調(diào)查，得到某種商品的價(jià)格x（萬(wàn)元）

和需求量y（t）之間的一組數(shù)據(jù)為：

i2345

價(jià)格X1.41.61.822.2

需求量y1210753

（1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程;

（2）若價(jià)格定為1.9萬(wàn)元，預(yù)測(cè)需求量大約是多少？（精確到O.Olt）.

2.（2021?海原縣第一中學(xué)高一期末）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷(xiāo)售額y（單位：百萬(wàn)元）之間有如下對(duì)

應(yīng)數(shù)據(jù)：

X24568

y3040605070

（1）求線性回歸方程：

（2）預(yù)測(cè)當(dāng)廣告費(fèi)支出7（百萬(wàn)元）時(shí)的銷(xiāo)售額.

^x^-nxy

（回歸直線方程是：y=hx+a,其中3=弋-----,a=^-hx

3.（2021?渝中?重慶巴蜀中學(xué)）高二下學(xué)期期末考試之后，年級(jí)隨機(jī)選取8個(gè)同學(xué)，調(diào)查得到每位同學(xué)

的每日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間為（分鐘）與期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)%（分）的數(shù)據(jù)，并求得

8888

y%=320,2y,-=760,￡=38500,^x,2=18200.

j=l/=1i=l/=!

（i）求學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)y與學(xué)生每日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間x的線性回歸方程夕=應(yīng)+。；

（2）小明每日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間如果是65分鐘，試著預(yù)測(cè)他這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī).

2%%一時(shí)

附：札號(hào)--------,a=y-bx

Xx；―rix2

；=i

4.（2021?陜西銅川?高一期末）某個(gè)體服裝店經(jīng)營(yíng)某種服裝，在某周內(nèi)每天獲純利y（元）與該周每天

銷(xiāo)售這種服裝件數(shù)X之間的一組數(shù)據(jù)關(guān)系如下表所示.

X3456789

y66697381899091

已知］>；=280,45309,^x,j.=3487.

Z=lZ=1<=1

（1）求x，y；

（2）畫(huà)出散點(diǎn)圖;

（3）求純利y與每天銷(xiāo)售件數(shù)x之間的回歸直線方程（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；

（4）若該周內(nèi)某天銷(xiāo)售服裝20件，估計(jì)可獲純利多少元.（精確到1元）

注：/=上^—'a=y-bx

Yxi-nx'

1=1

5.（2021?陜西秦都?咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考）假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)

元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

若由資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求:

（1）線性回歸方程；

（2）估計(jì)使用年限為10年時(shí)的維修費(fèi)用.

2為-初y,-用

(注：b=R------------=-------------,a=y-bx)

力(蒼_了)2

/=!/=1

6.（2021?四川南充?高二期末（理））某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x（單位:萬(wàn)元）與銷(xiāo)售額》（單位:萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)

數(shù)據(jù)如下表：

X4235

y49263954

根據(jù)上表可得回歸方程y=9.4X+a.

（1）求G;

（2）估計(jì)廣告費(fèi)用6萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售額是多少萬(wàn)元?

7.（2021?陜西長(zhǎng)安一中高二期末（文））2020年8月11日新華社北京電，國(guó)家主席習(xí)近平對(duì)制止餐飲

浪費(fèi)行為作出重要指示.他指出，餐飲浪費(fèi)現(xiàn)象，觸目驚心、令人痛心！“誰(shuí)知盤(pán)中餐，粒粒皆辛苦.”盡

管我國(guó)糧食生產(chǎn)連年豐收，對(duì)糧食安全還是始終要有危機(jī)意識(shí)，今年全球新冠肺炎疫情所帶來(lái)的影響更是

給我們敲響了警鐘.糧食問(wèn)題是關(guān)乎民生的大問(wèn)題.某地近幾年來(lái)糧食產(chǎn)量逐步上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

年份20152016201720182019

年份代碼X12345

需求量y/萬(wàn)噸136146157176186

（1）利用所給數(shù)據(jù)求糧食年需求量y與年份代碼X之間的回歸直線方程y=bx+a^

（2）預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量.

參考公式：匕二號(hào)-------,a=y-bx.

夕,x：-nx

i=\

8.（2021?千陽(yáng)縣中學(xué)高二期中（文））入夏以來(lái)，天氣炎熱，合肥地區(qū)用電負(fù)荷連創(chuàng)新高，某用戶隨機(jī)

統(tǒng)計(jì)了家里某4天用電量（千瓦?時(shí)）與當(dāng)天氣溫（℃）情況，數(shù)據(jù)如下表：

氣溫X（℃）30323436

用電量y（千瓦?時(shí)）20263036

（1）請(qǐng)根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，計(jì)算上用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程9=2+/；

（2）請(qǐng)估計(jì)當(dāng)丁=38小時(shí)的y值.

,刃

參考公式：人上「