高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬預(yù)測卷（解析版）

高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬預(yù)測卷考生注意：1．本試卷含四個大題，共22題．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2．除第一、二、三大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出解題的主要步驟．一．選擇題（共8小題）1．復(fù)數(shù)z＝（1+i）（2﹣i）的虛部是（）A．1 B．i C．3 D．3i【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算化簡z，求出z的虛部即可．【解答】解：z＝（1+i）（2﹣i）＝2﹣i+2i+1＝3+i，故z的虛部是1．故選：A．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算，考查與復(fù)數(shù)有關(guān)的定義，是基礎(chǔ)題．2．已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一個（）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形【分析】根據(jù)斜二側(cè)畫法還原直線△ABC在直角坐標(biāo)系的圖形，進(jìn)而分析出△ABC的形狀，可得結(jié)論．【解答】解：根據(jù)“斜二測畫法”可得BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝；∴原△ABC是一個等邊三角形，如圖所示．故選：A．【點評】本題考查斜二測畫法中原圖和直觀圖之間的關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．3．已知一個圓錐的母線長為20cm，母線與軸的夾角為60°，則圓錐的高為（）A． B． C．20cm D．10cm【分析】通過圓錐的母線長為20cm，母線與軸的夾角為30°，求出圓錐的高即得．【解答】解：由題設(shè)條件可知，在直角三角形中，圓錐的高：h＝20cos60°＝20×＝10cm．故選：D．【點評】本題主要考查了圓錐的幾何體的特征，正確利用圓錐的母線，底面半徑構(gòu)成的直角三角形，是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．如圖，在△ABD中，C為BD的中點，，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量加法和減法、數(shù)乘的幾何意義以及向量的數(shù)乘運算即可表示出．【解答】解：＝．故選：D．【點評】本題考查了向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．已知、為單位向量，則的最大值為（）A． B． C．3 D．【分析】根據(jù)單位向量的定義與性質(zhì)，利用模長公式，求出⊥時|+|+|﹣|取得最大值．【解答】解：、為單位向量，則||＝||＝1，不妨設(shè)＝（cosθ，sinθ）＝（1，0）；∴|+|＝＝＝2|cos|，|﹣|＝＝＝2|sin|，∴|+|+|﹣|＝2（|cos|+|sin|）；當(dāng)cos≥0，sin≥0時，|cos|+|sin|＝cos+sin＝sin（+）≤；當(dāng)cos≤0，sin≥0時，|cos|+|sin|＝﹣cos+sin＝sin（﹣）≤；當(dāng)cos≥0，sin≤0時，|cos|+|sin|＝cos﹣sin＝coss（+）≤；當(dāng)cos≤0，sin≤0時，|cos|+|sin|＝﹣cos﹣sin＝﹣sin（+）≤；∴|+|+|﹣|≤2．故選：D．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．6．把一個鐵制的底面半徑為4，側(cè)面積為的實心圓柱熔化后鑄成一個球，則這個鐵球的半徑為（）A． B． C．2 D．【分析】先求出圓柱的高，由圓柱和球的體積關(guān)系即可得出半徑．【解答】解：因為實心圓柱的底面半徑為4，側(cè)面積為，所以圓柱的高為，則圓柱的體積為，設(shè)球的半徑為R，則，故選：C．【點評】本題考查圓柱和球的體積計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7．已知△ABC外心是O，且，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．【分析】由平面向量的線性運算，結(jié)合投影向量的運算求解即可．【解答】解：由，則點O為BC的中點，又O為△ABC的外心，且||＝||，則A＝，B＝，C＝，不妨設(shè)||＝t，則||＝2t，則在上的投影向量為＝＝，故選：A．【點評】本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了投影向量的運算，屬基礎(chǔ)題．8．已知非零向量，滿足||＝2||，且（﹣）⊥，則與的夾角為（）A． B． C． D．【分析】由（﹣）⊥，可得，進(jìn)一步得到，然后求出夾角即可．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴＝，∴＝＝，∵，∴．故選：B．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積和向量的夾角，屬基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．定義兩個非零平面向量的一種新運算*＝||?||?sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夾角，則對于兩個非零平面向量，，下列結(jié)論一定成立的有（）A．在方向上的投影向量為sin＜，＞? B．（*）2+（）2＝||2||2 C．λ（*）＝（）* D．若*＝0，則與平行【分析】選項A，在方向上的投影向量為||cos＜，＞?；選項B，根據(jù)平面向量的新運算與數(shù)量積運算，即可得解；選項C，平面向量的新運算滿足數(shù)乘結(jié)合律；選項D，易知＜，＞＝0°或180°，即與平行．【解答】解：選項A，在方向上的投影向量應(yīng)為||cos＜，＞?，即A錯誤；選項B，∵*＝||?||?sin＜，＞，?＝||?||?cos＜，＞，∴（*）2+（）2＝（||?||）2?[sin2＜，＞+cos2＜，＞]＝（||?||）2＝||2?||2，即B正確；選項C，左邊＝λ（*）＝λ||?||?sin＜，＞，當(dāng)λ＞0時，右邊＝（λ）*＝|λ|?||?sin＜，＞＝λ||?||?sin＜，＞＝左邊，當(dāng)λ＜0時，右邊＝（λ）*＝﹣|λ|?||?sin＜，＞＝λ||?||?sin＜，＞＝左邊，當(dāng)λ＝0時，顯然左邊＝右邊＝0，綜上所述，λ（*）＝（λ）*，即C正確；選項D，若*＝0，則sin＜，＞＝0，即＜，＞＝0°或180°，所以與平行，即D正確．故選：BCD．【點評】本題考查平面向量的新定義運算，平面向量的數(shù)量積運算，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．（多選）10．給出下列命題，其中錯誤的選項有（）A．非零向量，，滿足||＞||且與同向，則＞ B．已知＝（1，2），＝（1，1）且與+λ的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是（﹣，+∞） C．若單位向量，的夾角為60°，則當(dāng)|2+t|（t∈R）取最小值時，t＝1 D．在△ABC中，若（）＝0，則△ABC為等腰三角形【分析】對A選項，根據(jù)向量的概念，即可判斷；對B選項，取λ＝0，即可判斷；對C選項，由|2+t|＝，即可判斷；對D選項，根據(jù)+表示與∠A的角平分線平行的向量，即可判斷．【解答】解：對選項A，∵向量不能比較大小，∴A選項錯誤；對選項B，∵當(dāng)λ＝0時，與的夾角為0，∴B選項錯誤；對選項C，∵|2+t|＝＝＝，∴當(dāng)t＝﹣1時，取最小值，∴C選項錯誤；對選項D，∵+表示與∠A的角平分線平行的向量，又，∴∠A的角平分線與邊BC所在直線垂直，∴△ABC為等腰三角形，∴D選項正確．故選：ABC．【點評】本題考查平面向量的基本概念，平面向量的數(shù)量積的運算，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．（多選）11．已知m，n為不同的直線，α，β為不同的平面，下列命題為真命題的有（）A．m⊥α，m⊥β?α∥β B．m∥n，n?α?m∥α C．m⊥α，m?β?α⊥β D．m⊥α，n⊥α?m∥n【分析】由立體幾何中線線，線面，面面的位置關(guān)系，逐個判斷，即可得出答案．【解答】解：對于A：垂直于同一直線的兩個平面平行，故A正確；對于B：m∥n，n?α?m∥α或m?α，故B錯誤；對于C：由面面垂直的判斷定理，故C正確；對于D：垂直于同一平面的兩直線平行，故D正確．故選：ACD．【點評】本題考查立體幾何中，線線，線面的位置關(guān)系，屬于中檔題．（多選）12．已知圓錐SO的母線長為2，底面半徑為，平面SAB為軸截面，點M為底面圓周上一動點（可與點A，B重合），則（）A．三棱錐S﹣ABM體積的最大值為1 B．直線OM與SA所成角的范圍為 C．三角形SAM面積的最大值為 D．三角形SAM為直角三角形時所在平面與底面所成角的正弦值為【分析】當(dāng)△ABM為等腰直角三角形時，△ABM的面積最大，三棱錐體積最大，即可判斷選項A，分別計算點M位于點A和弧AB的中點時的線面角，即可判斷選項B，由三角形的面積公式結(jié)合∠ASM的范圍即可求出△SAM面積的最大值，從而判斷選項C，根據(jù)二面角的定義作出其平面角，求出平面角的正弦值即可判斷選項D，從而得到正確選項．【解答】解：對于A，當(dāng)OM⊥AB，即△ABM為等腰直角三角形時，△ABM的面積最大，所以△ABM面積的最大值為，又三棱錐S﹣ABM的高為SO＝1，所以三棱錐S﹣ABM的體積的最大值為，故選項A正確；對于B，當(dāng)點M位于點A或點B時，∠SAO為直線OM與SA所成的角，因為SO⊥底面ABM，且SO＝，SA＝2，此時∠SAO＝，則直線OM與SA所成的角為，當(dāng)點M位于弧AB的中點時，此時OM⊥AB，SO⊥底面ABM，所以SO⊥OM，因為SO∩AB＝O，則OM⊥平面SAB，又SA?平面SAB，所以O(shè)M⊥SA，此時直線OM與SA所成的角為，由圓錐的對稱性可知，直線OM與SA所成角的取值范圍為，故選項B正確；對于C，SA＝SB＝2，AO＝OB＝，PO＝1，此時∠ASO＝，所以∠ASB＝，當(dāng)點M從點A運動到點B時，∠ASM從0逐漸增加為，所以當(dāng)∠ASM＝時，△SAM的面積最大，所以△SAM面積的最大值為＝，故選項C錯誤；對于D，△SAM為直角三角形時，SA＝SM＝2，所以AM＝，取AM的中點E，連接OE，SE，則OE⊥AM，因為SO⊥底面ABM，AM?底面ABM，則SO⊥AM，又OE，SO?平面SOE，OE∩SO＝O，所以AM⊥平面SOE，又SE?平面SOE，故AM⊥SE，則∠SEO即為平面SAM與底面ABM所成的角，因為AE＝，所以，SO＝1，故，所以＝，即△SAM為直角三角形時所在平面與底面所成角的正弦值為，故選項D正確．故選：ABD．【點評】本題以命題的真假判斷為載體考查了空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，空間角以及空間幾何體的體積的計算等知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則實數(shù)a＝﹣3．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)以及純虛數(shù)的定義建立方程即可求解．【解答】解：因為z＝＝＝為純虛數(shù)，則，解得a＝﹣3，故答案為：﹣3．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)以及純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．14．已知向量，是兩個不共線的向量，且，，，若A，B，C三點共線，則實數(shù)m＝1．【分析】根據(jù)向量的共線性質(zhì)即可求出．【解答】解：∵，，，∴＝﹣＝+2，＝﹣＝﹣2+（m﹣5），∵A，B，C三點共線，不妨設(shè)＝λ，∴+2＝λ[﹣2+（m﹣5）]＝﹣2λ+λ（m﹣5），∴，解得λ＝﹣，m＝1，故答案為：1．【點評】本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．如圖，在棱長為1的正方體AC1中，點E、F是棱BC、CC1的中點，P是底面ABCD上（含邊界）一動點，滿足A1P⊥EF，則線段A1P長度的取值范圍是【分析】先證垂直，找出點P所在的直線，再判斷最值．【解答】解：因為CD⊥平面B1C1CB，EF?平面B1C1CB，所以CD⊥EF，又EF∥BC1，BC1⊥B1C，所以EF⊥B1C，所以EF⊥平面A1B1CD，當(dāng)點P在線段CD上時，總有A1P⊥EF，所以A1P的最大值為A1C＝，A1P的最小值為A1D＝，可知線段A1P長度的取值范圍是[]．故答案為[]．【點評】本題考查平面的基本性質(zhì)，屬于中等題．16．在三棱錐D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，∠BCA＝45°，，BD＝2，則三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為20π．【分析】根據(jù)題意首先求出△ABC的外接圓的半徑，進(jìn)一步求出三棱錐體的外接球的半徑，最后求出球的表面積．【解答】解：如圖所示：三棱錐D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，所以：BD⊥BC，故BD⊥平面ABC，故AB⊥BD，∠BCA＝45°，，BD＝2，在△ABC中，有2R＝，所以外接圓的半徑為2，由于平面BCD⊥平面ABC，且其交線為BC，所以：BD⊥BC，故BD⊥平面ABC，所以三棱錐體D﹣ABC的外接球的半徑為r＝，故外接球的表面積．故答案為：20π．【點評】本題考查的知識要點：線面垂直和面面垂直之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的外接球的半徑的求法，球的表面積公式，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．四．解答題（共6小題）17．已知向量，滿足，，．（1）求向量與向量的夾角；（2）求向量在向量方向上的投影的數(shù)量．【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)向量數(shù)量積，向量投影的定義即可求解．【解答】解：（1）∵，∴，∴，又，，∴，∴，又，∴向量與向量的夾角為；（2）向量在向量方向上的投影的數(shù)量為：．【點評】本題考查向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)，向量投影的定義，屬基礎(chǔ)題．18．如圖，已知點A，B，M，N在同一平面內(nèi)，且AM＝2，AB＝2，BN＝4，∠BAM＝30°，∠ABN＝120°．（1）求MN的長；（2）求△AMN的面積．【分析】（1）由題意首先求得BM的長度，然后結(jié)合三角形的特征利用勾股定理即可求得MN的長度；（2）利用（1）中的結(jié)論結(jié)合三角形的特征由大三角形的面積減去小三角形的面積即可求得△AMN的面積．【解答】解：（1）連結(jié)BM，在△ABM中，，從而：BM＝2＝AM，∠ABM＝∠BAM＝30°，∠MBN＝120°﹣30°＝90°，由勾股定理可得：．（2）由題意可知：，．【點評】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用等知識，屬于基礎(chǔ)題．19．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點分別為（1，﹣2），（a，1），a∈R，且為純虛數(shù)．（1）求a的值；（2）若z1的共軛復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0的一個根，求實數(shù)p，q的值．【分析】（1）根據(jù)已知條件，將＝＝，結(jié)合為純虛數(shù)，即可求解．（2）由于z1的共軛復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0的一個根，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解．【解答】解：（1）＝＝，∵為純虛數(shù)，∴a﹣2＝0，∴a＝2．（2）∵z1的共軛復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0的一個根，又∵復(fù)數(shù)z1對應(yīng)的點為（1，﹣2），∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為（1，2），∴，∴p＝﹣2，q＝5．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算，以及掌握實系數(shù)的一元二次方程的兩虛根為共軛復(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．20．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點．（1）證明：BC1∥平面A1CD；（2）若AA1＝AC＝CB＝2，，證明：平面CDE⊥平面A1CD．【分析】（1）連接AC1交A1C于點F，則F為AC1中點，連接DF，又D是AB中點，證明BC1∥DF，然后證明BC1∥平面A1CD（2）證明AA1⊥CD，CD⊥AB．推出CD⊥平面ABB1A1，得到DE⊥CD，證明DE⊥A1D，然后證明DE⊥平面A1CD，推出平面CDE⊥平面A1CD【解答】證明：（1）連接AC1交A1C于點F，則F為AC1中點，連接DF，又D是AB中點，則BC1∥DF，因為DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（2）因為ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，又CD?平面ABC，所以AA1⊥CD，由已知AC＝CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB．又AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面ABB1A1又DE?平面ABB1A1，所以DE⊥CD由AA1＝AC＝CB＝2，，得，，A1E＝3，故，即DE⊥A1D，因為A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面A1CD，因為DE?平面CDE，所以平面CDE⊥平面A1CD．【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理以及平面與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，是中檔題．21．已知＝（1，0），＝（2，1）．（1）當(dāng)k為何值時，k﹣與+2共線；（2）若＝2+3，＝+m，且A、B、C三點共線，求m的值．【分析】（1）利用向量的運算法則、共線定理即可得出；（2）利用向量共線定理、平面向量基本定理即可得出．【解答】解：（1）k﹣＝k（1，0）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣1）．+2＝（1，0）+2（2，1）＝（5，2）．∵k﹣與+2共線∴2（k﹣2）﹣（﹣1）×5＝0，即2k﹣4+5＝0，得k＝﹣．（2）∵A、B、C三點共線，∴．∴存在實數(shù)λ，使得＝，又與不共線，∴，解得．【點評】本題考查了向量的運算法則、共線定理、平面向量基本