福建省三明市普通高中2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

三明市普通高中2021—2022學(xué)年第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)試題本試卷共5頁(yè)，滿分150分．注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無(wú)效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A.{2，3} B.{1，2，3} C.{2，3，4} D.{1，2，3，4}【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算直接可得答案.【詳解】集合，，則,故選：A.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定形式，可得答案.【詳解】命題“”為全稱命題，其否定應(yīng)為特稱命題，即，故選：D.3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.（－∞，2） B.（－∞，2] C. D.【答案】D【解析】【分析】利用根式、分式的性質(zhì)列不等式組求定義域即可.【詳解】由題設(shè)，，可得，所以函數(shù)定義域?yàn)?故選：D4.若條件p：，q：，則p是q成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】B【解析】【分析】由條件推結(jié)論可判斷充分性，由結(jié)論推條件可判斷必要性．【詳解】由不能推出，例如，但必有，所以p是q成立的必要不充分條件.故選：B.5.已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用換元法設(shè)，則，然后利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】設(shè)，則，則，則，故選：．6.設(shè)，且，則的最小值為（）A.4 B. C. D.6【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C7.已知，則它們的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷大小關(guān)系.【詳解】由，所以.故選：B8.設(shè)．若存在，使得，則的最小值是（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)在上存在一個(gè)增區(qū)間，結(jié)合、且，有必為的一個(gè)子區(qū)間，即可求的范圍.【詳解】由題設(shè)知：，，又，所以在上存在一個(gè)增區(qū)間，又，所以，根據(jù)題設(shè)知：必為的一個(gè)子區(qū)間，即，所以，即的最小值是.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)合題設(shè)條件判斷出必為的一個(gè)子區(qū)間.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合原目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知函數(shù)，以下判斷正確的是（）A.f（x）的最小正周期為 B.f（x）的最小正周期為πC.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心 D.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求最小正周期，再應(yīng)用代入法判斷對(duì)稱中心即可.【詳解】由正切函數(shù)的性質(zhì)知：，A正確，B錯(cuò)誤；，故不是的對(duì)稱中心，C錯(cuò)誤；，故是的對(duì)稱中心，D正確.故選：AD10.若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，則以下不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)所給條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由且，則，A正確；由且，則，B正確；當(dāng)時(shí)，有，C錯(cuò)誤；由且，則，又，故，D正確.故選：ABD11.整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即，其中．以下判斷正確的是（）A. B.C. D.若，則整數(shù)a，b屬同一類【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意可知，一個(gè)類即這些整數(shù)的余數(shù)相同，進(jìn)而求出余數(shù)即可.【詳解】對(duì)A，，即余數(shù)為1，正確；對(duì)B，，即余數(shù)為3，錯(cuò)誤；對(duì)C，易知，全體整數(shù)被5除的余數(shù)只能是0,1,2,3,4，正確；對(duì)D，由題意能被5整除，則分別被5整除的余數(shù)相同，正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)，以下判斷正確的是（）A.f（x）是增函數(shù) B.f（x）有最小值C.f（x）是奇函數(shù) D.f（x）是偶函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】由題設(shè)可得，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)情況并確定是否存在最小值，應(yīng)用奇偶性定義判斷奇偶性.【詳解】由，令為增函數(shù)；而在上遞減，在上遞增；所以在上遞減，在上遞增；又在定義域上遞增，則在上遞減，在上遞增；所以在上遞減，在上遞增，故最小值為，，故為偶函數(shù).故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則__．【答案】【解析】【分析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)可得，再應(yīng)用差角正弦公式求目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，，所以.故答案為：.14.已知．若實(shí)數(shù)m滿足，則m的取值范圍是__．【答案】【解析】【分析】由題意可得，進(jìn)而解不含參數(shù)的一元二次不等式即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，即，所以，因此，故答案：.15.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___．【答案】2【解析】【分析】當(dāng)x≤0時(shí)，令函數(shù)值為零解方程即可；當(dāng)x＞0時(shí)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】當(dāng)x≤0時(shí)，，∵，故此時(shí)零點(diǎn)為；當(dāng)x＞0時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，當(dāng)x＝2時(shí)，y＞0，故在(1,2)之間有唯一零點(diǎn)；綜上，函數(shù)y在R上共有2個(gè)零點(diǎn).故答案為：2.16.設(shè)x，．若，且，則的最大值為___．【答案】##1.5【解析】【分析】由化簡(jiǎn)得，再由基本不等式可求得，從而確定最大值．【詳解】，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即取等號(hào)，，解得，故，故的最大值為，故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．17.求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)計(jì)算即可求出結(jié)果；（2）結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)計(jì)算即可求出結(jié)果；【小問1詳解】【小問2詳解】18.已知.（1）化簡(jiǎn)，并求的值；（2）若，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式將化簡(jiǎn)，將代入求值即可；（2）利用將變形為，繼而變形為，代入求值即可.小問1詳解】則【小問2詳解】由（1）知，．則19.設(shè)函數(shù)，．（1）根據(jù)定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）判斷并證明的奇偶性；（3）解關(guān)于x的不等式.【答案】（1）證明見解析（2）奇函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為，得到，即可求解．【小問1詳解】證明：，且，則，因?yàn)?，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】證明：由，即，解得，即的定義域?yàn)?，?duì)于任意，函數(shù)，則，即，所以是奇函數(shù).【小問3詳解】解：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)閤是增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)，由，可得，由，可得，因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以，所以原不等式可化為，則，解得，所以原不等式的解集為．20.國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)r來(lái)衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人民生活水平．根據(jù)恩格爾系數(shù)的大小，可將各個(gè)國(guó)家或地區(qū)的生活水平依次劃分為：貧困，溫飽，小康，富裕，最富裕等五個(gè)級(jí)別，其劃分標(biāo)準(zhǔn)如下表：級(jí)別貧困溫飽小康富裕最富裕標(biāo)準(zhǔn)r＞60%50%＜r≤60%40%＜r＝50%30%＜r≤40%r≤30%某地區(qū)每年底計(jì)算一次恩格爾系數(shù)，已知該地區(qū)2000年底的恩格爾系數(shù)為60%．統(tǒng)計(jì)資料表明：該地區(qū)食物支出金額年平均增長(zhǎng)4%，總支出金額年平均增長(zhǎng)．根據(jù)上述材料，回答以下問題.（1）該地區(qū)在2010年底是否已經(jīng)達(dá)到小康水平，說(shuō)明理由；（2）最快到哪一年底，該地區(qū)達(dá)到富裕水平？參考數(shù)據(jù)：，，，．【答案】（1）已經(jīng)達(dá)到，理由見解析（2）2022年【解析】【分析】（1）根據(jù)該地區(qū)食物支出金額年平均增長(zhǎng)4%，總支出金額年平均增長(zhǎng)的比例列式求解，判斷十年后是否達(dá)到即可.（2）假設(shè)經(jīng)過n年，該地區(qū)達(dá)到富裕水平，列式，利用指對(duì)數(shù)互化解不等式即可.【小問1詳解】該地區(qū)2000年底的恩格爾系數(shù)為%，則2010年底的思格爾系數(shù)為因?yàn)樗?，則所以．所以該地區(qū)在2010年底已經(jīng)達(dá)到小康水平．【小問2詳解】從2000年底算起，設(shè)經(jīng)過n年，該地區(qū)達(dá)到富裕水平則，故，即．化為．因?yàn)?，則In，所以．因?yàn)椋裕?，最快?022年底，該地區(qū)達(dá)到富裕水平．21.已知函數(shù)）的最大值為2．（1）求m的值；（2）求使成立的x的取值集合；（3）將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的）倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若是的一個(gè)零點(diǎn)，求t的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，然后求出最值，進(jìn)而得到，即可求出結(jié)果；（2）結(jié)合正弦型函數(shù)圖象，解三角不等式即可求出結(jié)果；（3）結(jié)合伸縮變換求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出零點(diǎn)，然后結(jié)合題意即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以的最大值為，依題意，，解得．【小問2詳解】由（1）知，由，得．所以．解得所以，使成立的x取值集合為．【小問3詳解】依題意，，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)零點(diǎn)，所以，所以所以，因?yàn)?，所以，所以t的最大值為．22.已知函數(shù)，其中m為實(shí)數(shù)．（1）求f（x）的定義域；（2）當(dāng)時(shí)，求f（x）的值域；（3）求f（x）的最小值．【答案】（1）（2）[2，2]（3）當(dāng)時(shí)，f（x）的最小值為2；當(dāng)時(shí)，f（x）的最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式列出相應(yīng)的不等式組，即可求得函數(shù)定義域；（2）令，采用兩邊平方的方法，即可求得答案；（3）仿（2），令，可得，從而將變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)，然后根據(jù)在給定區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題