最小二乘辨識方法與仿真

最小二乘辨識方法與仿真一、最小二乘原理概念設(shè)一個隨機序列｛z(k),k ｝的均值是參數(shù)的線性函數(shù),其中h(k)是可觀測的數(shù)據(jù)向量，利用隨機序列的一個實現(xiàn)，使準則函數(shù)達到極小的參數(shù)估計值稱作模型參數(shù)的方程誤差估計，稱最小二乘估計。最小二乘辨識問題假設(shè)條件設(shè)時不變SISO動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型為：A()z(k)=B( )u(k)+v(k),其中，u(k)、z(k)為模型的輸入和輸出變量；v(k)是模型噪聲；延遲因子 多項式A、B的階次 已經(jīng)設(shè)定，通常 ?？蓪⑸鲜瞿Ｐ蛯懗勺钚《烁袷剑簔(k)= +v(k),式中，h(k)=[-z(k-1),-z(k-2),…，-z(k-),u(k-1),u(k-2),…，u(k-),噪聲模型v(k)可用一階和二階統(tǒng)計矩描述，其均值和協(xié)方差陣表示為：,其中，是v(k)的方差。最小二乘遞推辨識算法辨識算法包含批處理算法與遞推算法，下面運用遞推算法進行對模型的仿真。遞推算法：在上一次模型參數(shù)估計值的基礎(chǔ)上，根據(jù)當前的數(shù)據(jù)進行修正，以獲得當前時刻的模型參數(shù)估計值，下面為遞推形式：TOC\o"1-5"\h\z其中 為當前時刻參數(shù)估計值，h(k-d)為數(shù)據(jù)向量，K(k)為算法增益， 為模型新息。根據(jù)RLS辨識算法： ；；=[I- ] ,可將遞推形式寫成,算法初始值可?。篜(0)=I， =式中，為充分大的實數(shù)，e為充分小的實向量。模型仿真(matlab)(1)考慮如下模型，Z(k)+z(k-1)+z(k-2)=u(k-1)+u(k-2)+v(k),其中，u(k)和z(k)是模型的輸入輸出變量，v(k)為噪聲模型，= ， =-0.5， ，取v(k)為服從正態(tài)分布的白噪聲N(0，1)，加權(quán)陣取單位陣 。?仿真步驟：產(chǎn)生輸入信號(幅值為1的M序列)與噪聲序列得到輸出信號賦算法初值:P(0)=10"5*I；theta(0)二利用算法遞推計算得到結(jié)果?Matlab源程序：c_earall:L=1000:^ 列的周期yl=l：y2=Cl：y3=l：yM：^四個移位相存蓉的輸出祈、值]fori=l:L：^開管循環(huán)，戔眉為Lxl=xoz(y3jy4)』第一個科位租序器的輸A.是第3個與簫[個翔的P存器的輸出的“或”幻1;*第二個移位很存器的輸人是-L個—徉器的輸出陽=諷凸菜三個移匝很存署的喻入是簫[個移也耙存器的輸出V約2費四個移網(wǎng)存器的輸入是勒個移位剃存器的輸出曲)gW出痢個移位戒存器幅值為W利T的輸出信號,if州”=頃山2』如果呻列的值為”抵寸陶只的輸入信號取F日1睥?。?檔M序列的慎為偵時點識的輸誦號取“2”end%小循環(huán)結(jié)束y1=k1:y2=s2:y3=s3:y!^s4;洶%大浦環(huán)結(jié)束，產(chǎn)生輸人信電fiEnre(l)瞬1個圖形stem(a,grid。成以徑&]形式昱示出輸A.信號并始圖珀加上網(wǎng)格xlabelfk?)|ylabel[?u}:titled輸入信號序列。randMLl辱產(chǎn)生U糖序列a1)=。：衛(wèi)⑵=0；%5hE勺荀兩—值為零]fo工蚌3：L；務(wù)帽環(huán)變里從3到Lz(k)=-O.3^(k-l)-0.7+z(k-2)+l.l+u(k-L)+0.5+u(k-2)H-(kiH給出理慈的褲i摘出采樣信號endfigure(2)普第1個圖形Etem(z：,gridr砒以徑&]形式晶示出輸A.信呈并籍圖珀加上同格slabel；'k'LylabelD葉輸出信號序毗C0=[0.0010.00010.00001Q.。叩m]'%直接給出浦糧參數(shù)的初扯值奇一個充分小的實向重r)SL0、*evM4,4)A言搖給出?狀態(tài)丸，即一個布分?的實數(shù)單仿尚廊

E-0.000000005 000000005c-MD.cCLmmg(4?L-N)]:%袖褓詛塔教炬政e=zero3(4,L)f相對誤差的初始I直鑫大小3fork=3:L;，開洎市Khl-C-z(k-1).-z(k-2).u(k-l).u(k-2)]":x-hl'1*D0*hL+L:xL-invCk):kl=pO*hl*Kl;驗求出K的值dl=a(k)-hl?*c0;cl=c0+-kl*dl;el-cl-cO:?2=心-，可；％求夠數(shù)的相對登化eC,k>=e2；島把，前相對焚化前列向里加A,誤差矩陣cO-cl:「新弟得的亟數(shù)作為F一次遂推的舊莖教c(:,q=c【；玷巴褓識參數(shù)c列向更加入梆識華數(shù)拒&車的最后一列pL-pO-kl+kLn+Chl?*pO+lil+LZ.^TLU封田)的值pO-plI出用Lfc2<-Efoia=k+L:Lr(:, .c(:ra)1:endbreaks若季割收頜而足襄未，終止計算end%/卜?循3T姑束engA陽壬祁吉市研51?.褪擊只還數(shù)誠且示示識結(jié)果的收斂情況al=cCi.:):a2=e(2,:):bl_c(3,:);b2-c(4,:1:Eal_e(1,:):Ea2=a(2,:):Ebl=e(3figured),%S.2f園形i=lL:&性平折從1釗13plot(i,al.'!■-',i,a2,"k:',i,bl,"k―",i,b2,'k-.')%畫出亂「a2-bl，枳的各H指詛姑樂txileC旨芟教店i|百只此甘紂'否白舊杯拒，bl,B2?)bl-1.L7B?b2-0?5?);，罔標注I',i.Ebl??k一一??￡?Eb2,'k-.')胃四出己雖]??a2-ebl-eb2g光罔開孝標題□(labelCk?)rylabcl(!al?a2legendC^al-O.3?B'a2-0.7?f-iiureC4):魁第3個日形i-L：L;相犒坐標從1到IEP1d±(i,Eai,?，bl,B2?)bl-1.L7B?b2-0?5?);，罔標注I',i.Ebl??k一一??￡?Eb2,'k-.')胃四出己雖]??a2-ebl-eb2g光罔開孝標題?程序運行結(jié)果:

?辨識結(jié)果:參數(shù)a1a2b1b2真值0.30.71.10.5估計值0.30090.69651.10770.5054最終的辨識模型為:Z(k)=-0.3009z(k-1)-0.6965z(k-2)+1.1077u(k-1)+0.5054u(k-2)+v(k),從辨識結(jié)果來看，精度的要求直接影響到辨識的速度。(2)若模型噪聲信號不為白噪聲，則需利用增廣最小二乘法辨識該模型?？紤]模型：z(k)=-0.3*z(k-1)-0.7*z(k-2)+1.1*u(k-1)+0.5*u(k-2)+v(k)-0.2*v(k-1)+0.3*v(k-2)同(1)進行仿真：?Matlab源程序：EIT恥(7,□土相對?炭左艾岫目炒>：fork-3:L;%*旌Earn-1.3z〔k)=-0.3*z(k-D-0.7山-￡)+■!.1*u(k-1)+0.5*u(k-的也〔k)-d.2*v(k-1)+0.3*v(k-的：島系統(tǒng)在I序列輸入下的輸出采樣信號hl=[-ztk-l>.-i(k-2).u(k-l).u(k-Z).vik).v(k-l).v(k-2)]'為求K〔k)作宜備TFhr+pO^hlM:Jl=inv(z):kNpOb/xL：dl=s(k)-hL'xE；cl=c0+kl*dl:\褓迎.參就Kcfl=cl;%始下一次用M:心=點;F巴排識參數(shù)<=列向里加J.沸識臺數(shù)霜陣pl=pU-kl3*klF*rhl'^pQ^hl+l];%fmdp(kJpApL;l結(jié)下次用end離變星rl=：;(L):a2=ctZ.}b1-：：<3.} ).%'離出al‘心hl.bZ如=應(yīng)):ffi=cC0.:):七=0L:】：*分畜出dl、dZ、d3fiBureCZ}：%畫瞬二個囹形i=L■L;plotti.al/k-,l3a23k:\i3hlk—ai,b2,Pk-.■;l,dl/k*P,i,思'kd\U必，-出各個只參數(shù)UEeiid(-al=-l.GF,Fa2=0.Fbl=l.QF/b2=Q.GF,Fdl=l.Q\Fd2=-1.0",'d3=D.2"]:'回標住siah61(■■),yLabel(/□1■a2,b1,b2：d1,處，出。：七曲e「室煎估計恒焚化曲鑄小標題e^zercs(7,L)；%相ifl誤差的臺輅值夏土小forX:L;￥開始求Kfara=l:3M=-0.gCk-U-tkitS(k-2)+l.l*u(k-l)+0.日心42)4v0d-ll 地心；%■境掃I庠列筑入T的輸出菜樣信導(dǎo)hl=[-z(k-1),-2(k-2)ru(k-l)?u(k-2)1.u(k)1Bv(k-1)Bv(k-2)]?;板為女(k)作準&-<=hl'*pCi*hl+lzl=inu(z)k1=pt)*hl1:"dl=Hk)-hrtc0;cl=c(H-kl*dl：誦勤c叩=嘰：1，羅「_溟用c(',k>=cl：：VEHfiR^c劉石聿加a弄i」旁劫圭芷口l=R〕-kl*kl*IhL'*pO*hL+L]:樁ini]>"】訕=乂:為至「■用aidendV衛(wèi)歹菇M守艾里al=zQ,:);a2=:：(23:):垣=式3,:);b2=:(4,)—分離出aJ、a2、toil、b2dB=e(5.：)：d2=c(e3:)：d3=c(73:)：硬?蕓出dL，q2.d3figurMW〕；％亙第二??匡花i-L.L.plui(i,al,?k-',1,a2/1.1,htL,nk—3.i,b￡,nk-.1,i?dbnk*:,i3d2/l.f.i,13,nk- 卜被L識參數(shù)legendCal-:.3n：na2='：.71,1bl-1.ln：,b2=C.：\nJl-1.j/d2=-0.2\,d3=D.3n);%囹標住slabelCk')3yLabelCal：犯，bl：b2,dl?d2rd3?):七曲就參數(shù)皆計值變化曲線‘網(wǎng)標題?程序運行結(jié)果：

?辨識結(jié)果:參數(shù)Aa1Aa2BblBb2Dd1Dd2Dd3真值0.30.