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文檔簡介
關(guān)于線性規(guī)劃問題及單純形解法第一頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三2
線性規(guī)劃及應(yīng)用簡介
線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個最基本的分支,它已成為幫助各級管理人員進(jìn)行決策的·一種十分重要的工具.是一種目前最常用而又最為成功的定性分析和定量分析相結(jié)合的管理優(yōu)化技術(shù)。其原因有三:一、應(yīng)用廣泛.管理工作中的大量優(yōu)化問題可以用線性規(guī)劃的模型來表達(dá)第二頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三3三、求解方法采用成熟的單純形法.目前,用單純形法解線性規(guī)劃的計算機(jī)程序已大量涌現(xiàn),在計算機(jī)上求解此類問題已十分容易二、模型較為簡單,容易建立,容易學(xué)習(xí)和掌握.第三頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三4
線性規(guī)劃的一種最大量、最普遍的應(yīng)用就是研究有限資源的合理利用問題,或說資源的最優(yōu)配置問題.資源分配問題有多種多樣的具體形式.例:
線性規(guī)劃解決的問題:1、生產(chǎn)的合理安排問題2、投資決策問題3、運(yùn)輸問題第四頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三51.1什么是線性規(guī)劃
(LinearProgramming)1.1.1Lp的簡單例子和模型
(1)數(shù)學(xué)模型
一個實際問題的數(shù)學(xué)模型,是依據(jù)客觀規(guī)律,對該問題中我們所關(guān)心的那些量進(jìn)行科學(xué)的分析后得出的反映這些量之間本質(zhì)聯(lián)系的數(shù)學(xué)關(guān)系式。第五頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三6
單位單位時耗資源
一
二現(xiàn)有工時攪拌機(jī)/小時3515成形機(jī)/小時215烘箱/小時2211利潤(百元/噸)54例1.2-1餅干生產(chǎn)問題第六頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三7
問題:如何制訂生產(chǎn)計劃,才能使資源利用充分并使廠方獲最大利潤。
第七頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三8解:設(shè)由x1,x2
分別表示1,2型餅干每天的生產(chǎn)量。
max
z=5x1+4x2
s.t.3x1+5x2≤15,2x1+x2≤5,2x1+2x2≤11,x1,x2≥0.max——maximize,s.t.——subjectto第八頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三9單臺運(yùn)費B1(100)B2(80)B3(90,120)A1(200)152118A2(150)162516問題:如何調(diào)運(yùn)才能即滿足用戶需要,又使總運(yùn)費最少? 例1.2-2運(yùn)輸問題
第九頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三10第十頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三111.1.2線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般表示方式第十一頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三121.1.3線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn)型第十二頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三131、標(biāo)準(zhǔn)型的幾種不同的表示方式
1)和式
第十三頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三142)向量式第十四頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三153)矩陣第十五頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三16
1)A中沒有多余方程;2)b02、對標(biāo)準(zhǔn)型問題作出的假設(shè)第十六頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三17
最優(yōu)解使z達(dá)到最優(yōu)的可行解就是最優(yōu)解(有解(給定的Lp問題有最優(yōu)解)、否則無解)可行解
滿足約束條件和非負(fù)條件的解X稱為可行解,所有可行解組成的集合稱之為可行解集(可行域)3、LP問題解的幾個基本概念第十七頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三182.第i個約束的bi
為負(fù)值,則在bi所在之方程的兩邊乘以-1。4、一般型變標(biāo)準(zhǔn)型的變換方法:1.目標(biāo)函數(shù)為min型時,價值系數(shù)一律反號。即令z(x)=-z(x)=-CX第十八頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三193.第i個約束為型,在不等式左邊增加一個非負(fù)的變量xn+i
,稱為松弛變量(原有變量為構(gòu)造變量);同時令cn+i
=0
4.第i個約束為型,在不等式左邊減去一個非負(fù)的變量xn+i
,稱為剩余變量;同時令cn+i
=0
第十九頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三206.若xj無符號限制,令
xj=xj-xj,xj
0,xj0,代入非標(biāo)準(zhǔn)型5.若xj0,令
xj=-xj
,代入非標(biāo)準(zhǔn)型,則有xj
0第二十頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三21原非標(biāo)準(zhǔn)型:maxz=5x1+4x2
s.t.3x1+5x2≤15,2x1+x2≤5,2x1+2x2≤11,x1,x2≥0.5、
變換舉例
例1.
第二十一頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三22標(biāo)準(zhǔn)型:maxz=5x1+4x2
s.t.3x1+5x2+x3=15,2x1+x2+
x4=5,2x1+2x2+x5=11,x1,x2,x3,x4,x5≥0.第二十二頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三23例2第二十三頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三24標(biāo)準(zhǔn)型:maxf(x)=-3x1+2x2-4x3′+4x3′′+0x4+0x5+0x6s.t.2x1+3x2+4x3′-4x3′′-x4=300,x1+5x2+6x3′-6x3′′+x5=400,x1+x2+x3′-x3′′+x6=200,x1,x2,x3′,x3′′,x4,x5,x6≥0.第二十四頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三25
1.2求解LP問題的基本定理
1.2.1LP的圖解法
對于只有兩個決策變量的線性規(guī)劃問題,可以在平面直角坐標(biāo)系上作圖表示線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念,并求解。
如:第二十五頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三26例1.3Maxz=50x1+100x2
s.t.x1+x2≤3002x1+x2≤400x2≤250x1、
x2≥0第二十六頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三27采用圖解法(1)分別取決策變量X1,X2
為坐標(biāo)向量建立直角坐標(biāo)系。在直角坐標(biāo)系里,圖上任意一點的坐標(biāo)代表了決策變量的一組值,例1.3的每個約束條件都代表一個半平面。x2x1X2≥0X2=0x2x1X1≥0X1=0第二十七頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三28(2)對每個不等式(約束條件),先取其等式在坐標(biāo)系中作直線,然后確定不等式所決定的半平面。100200300100200300x1+x2≤300x1+x2=3001001002002x1+x2≤4002x1+x2=400300200300400第二十八頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三29(3)把五個圖合并成一個圖,取各約束條件的公共部分,如P7圖1-2所示。100100x2≤250x2=250200300200300x1x2x2=0x1=0x2=250x1+x2=3002x1+x2=400圖1-2第二十九頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三30(4)目標(biāo)函數(shù)z=50x1+100x2,當(dāng)z取某一固定值時得到一條直線,直線上的每一點都具有相同的目標(biāo)函數(shù)值,稱之為“等值線”。平行移動等值線,當(dāng)移動到B點時,z在可行域內(nèi)實現(xiàn)了最大化。A,B,C,D,E是可行域的頂點,對有限個約束條件則其可行域的頂點也是有限的。x1x2z=20000=50x1+100x2圖1-3z=27500=50x1+100x2z=0=50x1+100x2z=10000=50x1+100x2CBADEx1+x2=300第三十頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三31得到最優(yōu)解:
x1=50,x2=250
最優(yōu)目標(biāo)值z=27500第三十一頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三32若在上例模型中中引入松弛變量s1s2s3模型化為:Maxz=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3s.t.x1+x2+s1=3002x1+x2+s2=400x2+s3=
250x1,x2,s1,s2,s3≥0
可求解得其最優(yōu)解為:
x1=50x2=250s1=0s2=50s3=0說明:生產(chǎn)50單位Ⅰ產(chǎn)品和250單位Ⅱ產(chǎn)品將消耗完所有資源1和3,但資源2還剩余50。第三十二頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三33maxz=5x1+4x21.1s.t.3x1+5x2≤15,1.22x1+x2≤5,1.32x1+2x2≤11,1.4x1,x2≥0.1.5無需化標(biāo)準(zhǔn)形
例1.2-1求解餅干生產(chǎn)問題第三十三頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三34圖中的OABC即為滿足約束條件的可行解集S,需在S中找出最優(yōu)解,若z為一常數(shù)z0則z0=5x1+4x2為目標(biāo)函數(shù)等值線(x1=10/7,x2=15/7,z*=110/7)。第三十四頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三35例1.2-2假設(shè)上例中的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>
z=3x1+5x2
此時最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)等值線與AB邊重合,AB上每一點均為最優(yōu)解(無窮個)例1.2-3可行解集為一無界集合
見P18圖1.3若是求目標(biāo)函數(shù)最小值,則有最優(yōu)解。若是求目標(biāo)函數(shù)最大值,則無最優(yōu)解。若可行解集為空集,則無解,P19圖1.4第三十五頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三36求解LP問題的重要規(guī)律:一、解的存在性問題二、解的結(jié)構(gòu)問題三、關(guān)于最優(yōu)解的獲得方法問題(在可行解集的某些“頂點”得到)第三十六頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三37關(guān)于LP問題求解的一些基本概念和特點:1、兩個基本概念凸集:實向量空間E中任意兩點連線上的一切點仍屬于E(見P20)
極點就是不能成為E中任何線段的內(nèi)點的那種點第三十七頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三38
2、Lp問題的幾個特點(相關(guān)證明請看1.7節(jié)):
最優(yōu)解只可能在凸集的極點上,而不可能發(fā)生在凸集的內(nèi)部
線性規(guī)劃問題的可行解集S是凸集
設(shè)X屬于S,若x=0,則一定為極點;若x0,則為極點的充要條件是:x的正分量所對應(yīng)的系數(shù)列向量線性無關(guān)。
只要存在可行解,就一定存在極點
極點的個數(shù)是有限的第三十八頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三392、“基”的概念在標(biāo)準(zhǔn)型中,技術(shù)系數(shù)矩陣有n+m列,即
A=(P1,P2,…,Pn,Pn+1,,Pn+2,..Pn+m)因r(A)=m,所以A的極大無關(guān)組含有m個線性無關(guān)的向量。
關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)型解的若干基本概念:1、標(biāo)準(zhǔn)型有n+m個變量,m個約束行第三十九頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三40
基、基變量、非基變量——技術(shù)系數(shù)矩陣A(標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃模型)中m個線性無關(guān)的列向量所對應(yīng)的m個變量,構(gòu)成該LP問題的一個基,這m個變量的系數(shù)列向量組成的矩陣稱為基陣,記為B?;械拿總€變量稱為基變量,記為XB。其余的變量即為非基變量,記為XN
。如:Maxz=50x1+100x2s.t.x1+x2+s1=3002x1+x2+s2=400x2+s3=250x1,x2,s1,s2,s3≥0基解:令非基變量XN=0,求得基變量XB的值稱為基解.基可行解:若基解中所有的XB
都≥0時,稱為基可行解.
第四十頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三41
若基可行解的所有基變量均取正值,則稱為非退化的基可行解,如果某些基變量取零值,則為退化的基可行解。第四十一頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三42可行解、基解和基可行解舉例第四十二頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三43可行解、基礎(chǔ)解和基礎(chǔ)可行解舉例第四十三頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三44X是極點的充分必要條件是:它是基可行解。由此,有關(guān)極點的結(jié)果可轉(zhuǎn)到基可行解上:
只要存在可行解,就一定存在基可行解;基可行解的個數(shù)是有限的;若LP問題有最優(yōu)解,則最優(yōu)解一定可以在基可行解中找到。第四十四頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三45
1.3單純型法的基本思路確定初始基可行解是否為最優(yōu)確定改善方向求新的基可行解求最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值是否第四十五頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三46(1)單純形表的組成及形式設(shè)B是初始可行基向量,則目標(biāo)函數(shù)可寫為兩部分(1)約束條件也寫為兩部分,經(jīng)整理得XB的表達(dá)式(2),注意XB中含有非基變量作參數(shù)把XB代入目標(biāo)函數(shù),整理得到(3)式若所有非基變量的檢驗數(shù)σi0,則達(dá)到最優(yōu)第四十六頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三47單純形表第四十七頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三48例1.1試列出下面線性規(guī)劃問題的初始單純形表
第四十八頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三49
找初始基礎(chǔ)可行基對于(max,),松弛變量對應(yīng)的列構(gòu)成一個單位陣若有bi<0,則單位陣也不能構(gòu)成一個可行基
檢驗當(dāng)前基礎(chǔ)可行解是否為最優(yōu)解所有檢驗數(shù)σj0,則為最優(yōu)解,否則1.3.2標(biāo)準(zhǔn)型的單純型法基本步驟
第四十九頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三504確定出基變量最小比例原則3確定入基變量從σj>0中找最大者,選中者稱為入基變量
xj*
第j*列稱為主列第五十頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三51設(shè)第i*行使最小,則第i*行對應(yīng)的基變量稱為出基變量,第i*行稱為主行5迭代過程主行i*行與主列j*相交的元素ai*j*稱為主元,迭代以主元為中心進(jìn)行迭代的實質(zhì)是線性變換,即要將主元ai*j*變?yōu)?,主列上其它元素變?yōu)?,變換步驟如下:(1)變換主行第五十一頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三52(2)變換主列除主元保留為1,其余都置0(3)變換非主行、主列元素aij(包括bi)(4)變換CB,XB(5)計算目標(biāo)函數(shù)、機(jī)會成本zj和檢驗數(shù)cjzj6、返回步驟2第五十二頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三53例1.1單純形表的迭代過程答:最優(yōu)解為x1=20,x2=20,x3=0,OBJ=1700第五十三頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三541.3.3基可行解的判別和改進(jìn)定理1.6
若所有檢驗數(shù)σj0,則為最優(yōu)解定理1.7
若存在某一個檢驗數(shù)>0,而它所對應(yīng)的列向量的全部分量0,則所給問題無最優(yōu)解
除上述兩種情況外,若每個正檢驗數(shù)所對應(yīng)的列向量中都有正分量,則為確定最優(yōu)解需要進(jìn)行基的變換(換基)第五十四頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三55請查看教材P29中單純形表的組成形式。第五十五頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三56
當(dāng)約束條件為“”型,引入剩余變量和人工變量1.4人工變量的引入及其解法第五十六頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三57
由于所添加的剩余變量的技術(shù)系數(shù)為1,不能作為初始可行基變量,為此引入一個人為的變量(注意,此時約束條件已為“=”型),以便取得初始基變量,故稱為人工變量.兩種方法:大M法兩階段法第五十七頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三58多個基礎(chǔ)可行解都是最優(yōu)解,這些解在同一個平面上,且該平面與目標(biāo)函數(shù)等值面平行最優(yōu)單純形表中有非基變量的檢驗數(shù)為01.5單純形法應(yīng)用的特例
1.5.1關(guān)于多重解問題第五十八頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三59第五十九頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三60例1.5.1的單純形表及其迭代過程第六十頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三61
在單純形法計算過程中,確定出基變量時有時存在兩個以上的相同的最小比值,即同時有多個基變量可選作出基變量,這樣在下一次迭代中就有了一個或幾個基變量等于零,這稱之為退化。1.5.2關(guān)于退化問題
第六十一頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三62例1.5.2用單純形表求解下列線性規(guī)劃問題第六十二頁,共七十頁,編輯于2023年,星期三63迭代次數(shù)基變量CBbx1x2x3s1s2s3比值203/20000s1s2s30002431-1010020101
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