第八章多元函數(shù)的極限與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

第八章多元函數(shù)的極限與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)第一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日鏈接目錄第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章

中值定理,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章不定積分第六章定積分第七章

無(wú)窮級(jí)數(shù)(不要求)第八章多元函數(shù)第九章微分方程復(fù)習(xí)第二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日參考書[1]趙樹(shù)嫄.微積分.中國(guó)人民出版社[2]同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué).高等教育出版社第三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章多元函數(shù)空間解析幾何簡(jiǎn)介多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的極限與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)全微分復(fù)合函數(shù)的微分法隱函數(shù)的微分法二元函數(shù)的極值二重積分第四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日8-3二元函數(shù)的極限

與連續(xù)

8-4偏導(dǎo)數(shù)第五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日1、多元函數(shù)的極限用平面上(x0,y0),(x,y)的距離第六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日第七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日（1）定義中的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的.（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號(hào)性、夾逼準(zhǔn)則、無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小代換等。說(shuō)明：第八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日證當(dāng)時(shí)，原結(jié)論成立．例2求證第九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例3求極限解其中第十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例4證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．第十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日確定極限不存在的方法：第十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日2、二元函數(shù)的連續(xù)性第十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例5討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取當(dāng)時(shí)故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).第十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例6討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．第十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．第十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日（2）介值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．第十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日第十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日多元函數(shù)的定義多元函數(shù)極限的概念（注意趨近方式的任意性）多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)3、小結(jié)第十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日思考題第二十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日不能.例取原因?yàn)槿羧∷伎碱}解答第二十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)題第二十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日二.求下列各極限:第二十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日第二十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)題答案第二十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日偏導(dǎo)數(shù)我們已經(jīng)知道一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)很重要的概念，是研究函數(shù)的有力工具，它反映了該點(diǎn)處函數(shù)隨自變量變化的快慢程度。對(duì)于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率問(wèn)題。雖然多元函數(shù)的自變量不止一個(gè)，但實(shí)際問(wèn)題常常要求在其它自變量不變的條件下，只考慮函數(shù)對(duì)其中一個(gè)自變量的變化率，因此這種變化率依然是一元函數(shù)的變化率問(wèn)題，這就是偏導(dǎo)數(shù)概念，對(duì)此給出如下定義。第二十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法第二十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日第二十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)。記為：第二十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日同理可以定義函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)數(shù)記為：第三十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日偏導(dǎo)數(shù)的求法求時(shí)把y視為常數(shù)而對(duì)x求導(dǎo)求時(shí)把x視為常數(shù)而對(duì)y求導(dǎo)這仍然是一元函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題第三十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)第三十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日一般地設(shè)第三十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日解證第三十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日原結(jié)論成立．解第三十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日不存在．第三十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日證第三十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：１、２、求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求計(jì)算

f

x(x0,y0)時(shí)可先將

y=y0

代入

f(x,y)再對(duì)x求導(dǎo),然后代入x=x0

計(jì)算f

y(x0,y0)時(shí)同理解3、第三十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日4、偏導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)仍是一元函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，具體求導(dǎo)時(shí)要弄清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，其余均視為常量。5、若f(x,y)=f(y,x)則稱f(x,y)關(guān)于x,y具有輪換對(duì)稱性在求時(shí)只需將所求的中的x,y互換即可第三十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日6、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).第四十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日7、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖幾何意義:第四十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日二、高階偏導(dǎo)數(shù)純偏導(dǎo)第四十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).第四十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系：原函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形第四十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日解問(wèn)題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？第四十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日解第四十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日第四十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日三、小結(jié)偏導(dǎo)數(shù)的定義（偏增量比的極限）偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）思考題第四十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日思考題解答不能.例