高中 1.4空間向量與立體幾何小結課2課時

空間向量與立體幾何小結課（2課時，單元教學設計）安徽省蕪湖縣第一中學張恒麗單元學習基本信息學科數(shù)學實施年級高二使用教材版本人民教育出版社A版2019年選擇性必修第一冊單元主題名稱空間向量與立體幾何小結課單元課時2課時一、單元內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容空間向量的概念及其運算、空間向量基本定理、空間向量及其運算的坐標表示、空間向量的應用.知識結構圖如下：空間向量的概念及其運算空間向量的概念及其運算空間向量的定義及其表示空間向量的線性運算和數(shù)量積運算空間向量運算的定義及其幾何意義空間向量運算的運算律用空間向量解決立體幾何問題用空間向量表示點、直線、平面等要素用空間向量研究立體幾何中的直線、平面的位置關系、距離和夾角問題把向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何結論空間向量基本定理與空間向量運算的坐標表示空間向量基本定理空間直角坐標系空間向量運算的坐標表示2.內(nèi)容解析本章屬于“幾何與代數(shù)”主線的內(nèi)容，學生已在必修（第二冊）“平面向量”和“立體幾何初步”的基礎上，利用類比方法，將平面向量推廣到空間，學習空間向量及其運算、空間向量基本定理、并利用空間向量解決立體幾何問題，對于用空間向量解決立體幾何問題，教科書“先分散、后集中”，即在學習空間向量及其運算、空間向量基本定理時“隨學隨用，學以致用”，同時在解決立體幾何問題中鞏固空間向量的知識，最后再利用空間向量描述空間直線、平面間的平行、垂直關系，用空間向量解決空間距離、夾角問題，讓學生進一步體會用空間向量解決立體幾何問題的思想和方法.本章的研究對象是幾何圖形，所用的研究方法是向量方法.通過本章學習，空間向量既是代數(shù)研究的對象，也是幾何研究的對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.本章的內(nèi)容安排充分考慮空間向量的這種聯(lián)系性，突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，通過形與數(shù)的結合，感悟數(shù)學知識之間的關聯(lián)，加強對數(shù)學整體性的理解.側(cè)重提升學生的直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)學抽象等數(shù)學學科核心素養(yǎng).基于以上分析，確定本單元的教學重點：以空間向量的運算為依托，用“基底法”和“坐標法”解決立體幾何問題中的空間角和距離的問題.以問題為導向引導學生回顧復習本章重點知識、思想方法，加深學生對數(shù)學思想方法的理解，做到知其然，并知其所以然．（3）把本章局部知識串成一個整體網(wǎng)絡，弄清楚知識發(fā)展的邏輯脈絡，塑造學生的整體認知結構.二、單元目標及其解析1.目標（1）利用類比的方法理解空間向量的概念、運算、基本定理及其坐標表示，在此過程中體會平面向量與空間向量的共性和差異.（2）在運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關系和度量關系的過程中，體會向量方法與綜合幾何方法的共性和差異.（3）通過用向量方法解決數(shù)學問題和實際問題，感悟向量在研究幾何問題中的作用.2.目標解析達成上述目標的標志是:（1）借助平行六面體模型，掌握空間向量的線性運算、數(shù)量積運算及空間向量基本定理的簡單應用并學會根據(jù)問題的條件選擇合適的基底.（2）借助平行六面體模型，培養(yǎng)學生應用基底法、坐標法解決問題的能力，能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關系的想象力.（3）運用空間向量解決一些簡單的實際問題，體會用向量解決一類問題的思路，從而在直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)學抽象的數(shù)學學科核心素養(yǎng)上得到提升.（4）通過用向量法、綜合幾何法從不同角度解決立體幾何問題，體會向量方法的優(yōu)勢以及向量及其運算在解決立體幾何問題中的作用.（5）學生能夠在教師的引導下梳理出本章的知識結構圖，建立完整的知識網(wǎng)絡，在梳理的過程提升數(shù)學知識方法和歸納概括的能力．三、教學問題診斷分析1.問題診斷本節(jié)是章末小結課，學生已經(jīng)學完本章知識，但學生掌握的知識點是分散的，沒有形成一個完整的知識網(wǎng)絡，對知識之間的內(nèi)在聯(lián)系以及本章所蘊含的思想方法理解不深，同時對運用所學知識解決問題的能力有待提高．因此本單元的重點是引導學生回顧所學知識，在解決問題的過程中加深對思想方法的理解，并能夠梳理出本章的知識結構圖，形成一個完整的體系.很多學生學完本章，存在著把向量方法等同于坐標法的現(xiàn)象，主要是沒有體會向量方法的特點，加強向量方法應該強調(diào)綜合應用向量及其運算，解決幾何問題.這里，一方面要注意加強數(shù)乘、數(shù)量積、空間向量基本定理等解決問題（平行、垂直、長度、角度等問題），另一方面要強調(diào)空間向量基本定理的核心地位，還要加強利用“基底法”解決立體幾何問題.教學難點：用向量方法解決立體幾何中的問題，需要綜合運用向量知識和其他數(shù)學知識，通過建立立體圖形與空間向量之間的聯(lián)系，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，這對學生的直觀想象，數(shù)學運算，邏輯推理等數(shù)學學科核心素養(yǎng)要求較高是教學的難點.四、單元教學支持條件分析利用動態(tài)幾何軟件展示空間直角坐標系的不同建立方法，利用現(xiàn)代教學技術如希沃白板的傳屏功能實時展示學生的解題過程.五、課時教學設計引導語：學完本章內(nèi)容，大家都能感受到“向量是軀體，運算是靈魂”，借助平行六面體模型，請大家回憶，通過向量運算都解決了立體幾何中的哪些問題呢？【設計意圖】通過引導語讓學生明晰結合幾何問題關注向量運算在分析和解決問題中的作用，借助平行六面體模型，幫助學生回憶向量及其運算不僅能表示空間中點、直線和平面等基本元素，而且能使空間基本元素的位置關系、大小度量得到表達.（一）進階水平一：厘清概念，提升數(shù)學運算素養(yǎng)ABCD1CABCD1C1B1A1D.求：（1）；（2）；（3）；（4）.師生活動：學生獨立思考并解答題目.歸納1：請同學們歸納出本章部分知識結構圖1．立體幾何模型立體幾何模型空間向量線性、數(shù)量積運算共線、共面定理平行和垂直的證明空間向量的運算向量法坐標法【設計意圖】問題1幫助學生回憶本章學習的向量概念和運算，（1）考查向量的數(shù)量積運算，（2）考查向量的模長運算及空間向量基本定理，（3）考查向量運算求異面直線所成的角，借助基底法解決角度問題，（4）考查了借助空間向量判斷直線、平面的位置關系.在此過程中體會平面向量與空間向量的共性和差異.通過復習，順水推舟引導學生一起歸納出本章的部分知識結構圖．極少學生可能會用建立坐標系的坐標法來做題，教師肯定學生的想法并展示解題過程，學生自己對比分析基底法和坐標法，哪種更適合此題，提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)，感悟向量是軀體，運算是靈魂.ABCD1C1BABCD1C1B1A1D.（1）求到平面的距離；（2）求直線與平面所成角的正弦值.師生活動：學生獨立思考并解答題目.預設建系一預設建系二ABABCD1C1B1A1ODABCD1C1B1A1OD歸納2：請同學們歸納出本章知識結構圖2．線性、數(shù)量積運算線性、數(shù)量積運算共線、共面定理平行和垂直的證明異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角點到直線、平面的距離平行直線、平面間的距離空間向量的運算空間向量立體幾何模型空間角空間距離向量法向量法坐標法【設計意圖】問題2在問題1的基礎上采用坐標法解決立體幾何中距離與夾角的問題.向量與向量的坐標相同，體現(xiàn)空間向量是自由的,同時體現(xiàn)坐標系的選擇是不唯一的.引導學生自己對比發(fā)現(xiàn)坐標系的選擇很重要，有利于寫坐標點及運算才是最佳建系方法.同時繼續(xù)完善構建出本章節(jié)的知識框圖，讓知識系統(tǒng)化，提升直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).進階水平二：溯本求源，提升邏輯推理素養(yǎng)問題3：如圖，在平行六面體中，ABCD1C1B1A1PABCD1C1B1A1PD師生活動：學生思考并解答題目，教師展示學生答題情況.預設答案一：坐標法：利用共線定理求點P預設答案二：向量法：共面向量法預設答案三：綜合法：利用線面平行性質(zhì)定理得到變式：如圖，在平行六面體中，線段上是否存在點，使得平面？師生活動：學生思考并解答題目，教師引導學生對比分析追問與問題3的區(qū)別.歸納3：請同學們完善本章知識結構圖3．立體幾何模型立體幾何模型空間向量空間向量的運算空間角空間距離向量法坐標法綜合法【設計意圖】借助熟悉模型解決動態(tài)點問題，也是學生學習過程中比較棘手的問題.學生不習慣借助共線定理通過線性運算得到，這里體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.展示學生可能出現(xiàn)的典型答題方法.通過交流對比引導學生自主發(fā)現(xiàn)綜合幾何法、向量法、坐標法沒有好壞之分，合適的才是最好的.通過追問把平行六面體追溯到最初的模型，沒有給出長度和角度，基底法仍然可以解決問題，引導學生溯本求源，發(fā)現(xiàn)基底法比坐標法更具有一般性.培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，提升邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng).（三）進階水平三：橫縱聯(lián)系，提升數(shù)學建模素養(yǎng)問題4：在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架，的邊長都是1，且他們所在的平面互相垂直.活動彈子，分別在正方形對角線和上移動，且和的長度保持相等，記求的長為何值時，的長最??？當?shù)拈L最小時，求平面與平面夾角的余弦值.師生活動：學生思考并解答題目，教師引導學生用“三部曲”來解決問題.【設計意圖】這是一道實際問題，抽象成幾何問題，也是學生熟悉的正方體模型分割得到，提升學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模的素養(yǎng)，引導學生用向量法解決這個問題.最終實現(xiàn)用向量方法解決數(shù)學問題和實際問題，感悟向量在研究幾何問題中的作用，引導學生用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界.歸納4：請同學們完善本章知識結構圖．師生活動：師生一起歸納出本章知識結構圖4．立體幾何模型立體幾何模型空間向量空間向量的運算空間距離空間角實際應用數(shù)學抽象、數(shù)學建模向量法坐標法綜合法（四）課堂小結，感悟提升通過本節(jié)課的學習，你收獲了什么？知識知識方法思想感悟師生活動：請學生回答本節(jié)課的收獲，教師借助知識框圖給予及時的引導和點評．【設計意圖】借助師生共同歸納的知識框圖，學生回顧本節(jié)課所學，升華對本單元的理解，重點是本章所蘊含的數(shù)學思想以及學生自己的感悟．形成知識網(wǎng)絡和方法網(wǎng)絡，培養(yǎng)學生的抽象概括能力.（五）布置作業(yè)，應用遷移1.教科書第47頁鞏固習題第2、3、9題.2.教科書第49頁綜合運用第12、13題.（六）目標檢測設計鞏固性作業(yè)：已知是不共面的三個向量，則能構成一個基底的一組向量是（）A． B．C． D．2.空間四邊形各邊及對角線長均為，，，分別是，，的中點，則（）A． B． C． D．拓展性作業(yè)：如圖,已知三棱柱平面平面，，分別是的中點.(1)證明:；(2)求直線與平面所成角的余弦值.【設計意圖】鞏固本節(jié)課所學知識，掌握向量法解決立體幾何問題.學生是學習和發(fā)展的主體，通過分層作業(yè)，促進每一位學生得到發(fā)展.拓展問題的設置是對本節(jié)內(nèi)容的延伸拓展，讓學習不止于課堂，為后續(xù)內(nèi)容進行鋪墊.六、教學設計說明本單元是“空間向量與立體幾何”的小結課，教學目標是運用“向量法”解決立體幾何問題.由空間向量基本定理得到單位正交基底，進而得到空間向量及其運算的坐標表示，體現(xiàn)一般與特殊的思想，將幾何問題“代數(shù)化”，用“坐標法”解決立體幾何問題.單元教學設計主要關注了以下幾個問題：如何根據(jù)問題的條件選擇合適的空間基底和合適的坐標系.從學生認知出發(fā)，遵循學生最近發(fā)展區(qū)原則，先給出平行六面體模型，學生在解決問題1的過程中回顧向量法是利用向量的概念及其運算解決問題，讓學生充分感受向量二維進階到三維.第（4）小問通過展示學生的坐標法引出問題2，由此實現(xiàn)將幾何問題代數(shù)化，讓學生體會坐標法是利用數(shù)及其運算來解決問題，坐標法經(jīng)常與向量法結合起來使用，同時引導學生感悟如何找到合適的建系方法.由前兩個問題，學生自主構建出本章節(jié)知識鏈，成功實現(xiàn)從“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸及數(shù)形結合思想，同時也提升了學生的直觀想象與數(shù)學運算素養(yǎng).（二）自由、靈活選擇綜合法、向量法、坐標法解決立體幾何中的位置關系及距離、角度問題.向量法不等同于坐標法.問題1和2幫助學生厘清了概念，掌握向量法與坐標法.問題2講解時展示學生答題的幾何法：等體積法，為問題3的三種解法做好充足的鋪墊，問題3是個動態(tài)點問題，展示學生的不同做法：向量法、坐標法與綜合法，學生自己講解對比分析，教師引導學生