全等三角形 優(yōu)秀公開課教案

河北周建杰分類（2008年泰州市）27．在矩形ABCD中，AB=2，AD=．（1）在邊CD上找一點(diǎn)E，使EB平分∠AEC，并加以說明；（3分）（2）若P為BC邊上一點(diǎn)，且BP=2CP，連接EP并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于F．=1\*GB3①求證：點(diǎn)B平分線段AF；（3分）②△PAE能否由△PFB繞P點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到，若能，加以證明，并求出旋轉(zhuǎn)度數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由．（4分）第第27題圖（2008年南京市）（第21題）ABCDEF21．（6分）如圖，在中，為上兩點(diǎn)，且，（第21題）ABCDEF求證：（1）；（2）四邊形是矩形．以下是河南省高建國(guó)分類：（2008年巴中市）已知：如圖9，梯形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．（1）求證：和全等（2）連結(jié)，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．17．（每小題7分，滿分14分）（1）（2008福建福州）如圖，在等腰梯形中，，是的中點(diǎn)，求證：．以下是河北省柳超的分類（2008年遵義市）4．如圖，，，，，則等于（）A． B． C． D．OOEABDC（4題圖）（2008年遵義市）22．（10分）在矩形中，，是的中點(diǎn)，一塊三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．當(dāng)三角板的兩直角邊與分別交于點(diǎn)時(shí)，觀察或測(cè)量與的長(zhǎng)度，你能得到什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論．以下是江西康海芯的分類:圖81.（2008年郴州市）如圖8，ΔABC為等腰三角形，把它沿底邊BC翻折后，得到ΔDBC．請(qǐng)你判斷四邊形ABDC的形狀，并說出你的理由圖8遼寧省岳偉分類（2008年桂林市）已知：△ＡＢＣ為等邊三角形，Ｄ為ＡＣ上任意一點(diǎn)，連結(jié)ＢＤ（１）在ＢＤ左下方，以ＢＤ為一邊作等邊三角形ＢＤＥ（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（２）連結(jié)ＡＥ，求證：ＣＤ＝ＡＥ解：（１）如圖：2008年郴州市2．如圖5，D是AB邊上的中點(diǎn)，將沿過D的直線折疊，圖5使點(diǎn)A落在BC上F處，若，則__________度．圖5以下是安徽省馬鞍山市成功中學(xué)的汪宗興老師的分類1.(2008年·東莞市)（本題滿分9分）（1）如圖7，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC．求∠AEB的大??；CBCBOD圖7AEBAODCE圖8（2）如圖8，ΔOAB固定不動(dòng)，保持ΔOCD的形狀和大小不變，將ΔOCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（ΔOAB和ΔOCD不能重疊），求∠AEB的大小.答案：2．（2008年?南寧市）以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形共有：（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)，3．（2008年?南寧市）如圖8，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，BE=CF。（1）圖中有幾對(duì)全等的三角形？請(qǐng)一一列出；（2）選擇一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形進(jìn)行證明。15．(2008年雙柏縣)如圖，點(diǎn)在的平分線上，若使，則需添加的一個(gè)條件是（只寫一個(gè)即可，不添加輔助線）：以下是遼寧省高希斌的分類1．（2008年湖北省咸寧市）如圖，在Rt△ABC中，，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到△，連接，下列結(jié)論：①△≌△；②△∽△；③；④其中正確的是【】A．②④；B．①④；C．②③；D．①③．2．（2008年湖北省咸寧市）如圖，BD是⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，過點(diǎn)D作OA的平行線交⊙O于點(diǎn)C，AC與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．試探究AE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；已知EC＝a，ED＝b，AB＝c，請(qǐng)你思考后，選用以上適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)，設(shè)計(jì)出計(jì)算⊙O的半徑r的一種方案：①你選用的已知數(shù)是；②寫出求解過程（結(jié)果用字母表示）．3．（2008年荊州市）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE＝AD，DF⊥AE于F，連結(jié)DE，求證：DF＝DC．AABCDFE4．（2008年湖北省鞥仙桃市潛江市江漢油田）中，點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3），如果要使與全等，那么點(diǎn)OO（第16題圖）AUTONUM．（2008年龍巖市）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F是AD上的兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）第16題圖 A．4 B．3 C．2 D．第16題圖16（2008烏魯木齊）．在一次數(shù)學(xué)課上，王老師在黑板上畫出圖6，并寫下了四個(gè)等式：①，②，③，④．BEDABEDAC圖6已知：求證：是等腰三角形．證明：圖3如圖3，要測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離，在O點(diǎn)打樁，取OA的中點(diǎn)C，圖3OB的中點(diǎn)D，測(cè)得CD=30米，則AB=______米．答案：60考察了三角形中位線的性質(zhì)，用來測(cè)量不易測(cè)量的距離.如圖4，點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離相等，若∠POB=30°，則∠AOB=_____度．1．（2008年沈陽市）如圖所示，正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，交對(duì)角線于點(diǎn)，連接，則圖中全等三角形共有（）ADADCEFB第8題圖23．（2008年義烏市）如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷．（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡(jiǎn)要說明理由．（3）在第(2)題圖5中，連結(jié)、，且a=3，b=2，k=，求的值．23．（2008嘉興市）小麗參加數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)，提供了下面3個(gè)有聯(lián)系的問題，請(qǐng)你幫助解決：（1）如圖1，正方形中，作交于，交于，求證：；（2）如圖2，正方形中，點(diǎn)分別在上，點(diǎn)分別在上，且，求的值；（3）如圖3，矩形中，，，點(diǎn)分別在上，且，求的值．（第23題圖1）（第23題圖1）（第23題圖2）（第23題圖3）(2008年安徽省)已知：點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB＝OC。（1）如圖1，若點(diǎn)O在BC上，求證：AB＝AC；圖2圖2圖1（2）如圖2，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB＝AC；（3）若點(diǎn)O在△ABC的外部，AB＝AC成立嗎？請(qǐng)畫圖表示。證明：（1）過點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分別是垂足，由題意知，OE＝OF，OB＝（2008恩施自治州）FEDCBA圖7如圖7，在平行四邊形ABCD中,∠ABC的平分線交CD于點(diǎn)E,∠ADC的平分線交AB于點(diǎn)FEDCBA圖7（2008蘇州）如圖，四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，．求證：（1）；（2）．（2008無錫）已知一個(gè)三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是1cm和2cm，一個(gè)內(nèi)角為．（1）請(qǐng)你借助圖1畫出一個(gè)滿足題設(shè)條件的三角形；（2）你是否還能畫出既滿足題設(shè)條件，又與（1）中所畫的三角形不全等的三角形？若能，請(qǐng)你在圖1的右邊用“尺規(guī)作圖”作出所有這樣的三角形；若不能，請(qǐng)說明理由．（3）如果將題設(shè)條件改為“三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3cm和4cm，一個(gè)內(nèi)角為”，那么滿足這一條件，且彼此不全等的三角形共有 個(gè)．友情提醒：請(qǐng)?jiān)谀惝嫷膱D中標(biāo)出已知角的度數(shù)和已知邊的長(zhǎng)度，“尺規(guī)作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡．圖1圖1圖9BCA(2008年西寧市圖9BCA（1）只要從殘留的模具片中度量出哪些邊、角，就可以不帶殘留的模具片到店鋪加工一塊與原來的模具的形狀和大小完全相同的模具？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．22．（1）只要度量殘留的三角形模具片的的度數(shù)和邊的長(zhǎng)，因?yàn)閮山羌捌鋳A邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（2）按尺規(guī)作圖的要求，正確作出的圖形．圖7DBAOC（2008年廣東湛江市）23．如圖7所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC與圖7DBAOC以下是山西省王旭亮分類（2008年重慶市）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E。求證：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE2008年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題分類匯編（全等三角形）(2008年揚(yáng)州市)如圖△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ABP′重合，如果AP=3，那么線段PP′的長(zhǎng)等于____________。2.（2008鹽城）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題：（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．=1\*GB3①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為▲，數(shù)量關(guān)系為▲．第28題圖圖甲圖乙圖丙=2\*GB3②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖丙，=1\*GB3第28題圖圖甲圖乙圖丙（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）（3）若AC＝，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值．解：（1）①CF與BD位置關(guān)系是垂直、數(shù)量關(guān)系是相等；②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)=1\*GB3①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90o．∵∠BAC=90o，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90o，AB=AC，∴∠ABC=45o，∴∠ACF=45o，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o．即CF⊥BD圖丁（2）畫圖正確圖丁當(dāng)∠BCA=45o時(shí)，CF⊥BD（如圖?。碛墒牵哼^點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，∴AC=AG可證：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45o∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o．即CF⊥BD（3）當(dāng)具備∠BCA=45o時(shí)，圖戊過點(diǎn)A作AQ⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，（如圖戊）圖戊∵DE與CF交于點(diǎn)P時(shí)，∴此時(shí)點(diǎn)D位于線段CQ上，∵∠BCA=45o，可求出AQ=CQ=4．設(shè)CD=x，∴DQ=4—x，容易說明△AQD∽△DCP，∴，∴，．∵0＜x≤3∴當(dāng)x=2時(shí)，CP有最大值1．以下是湖南文得奇的分類:1.(2008年永州)下列命題是假命題的是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短．B．過不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)圓．C．一組對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)等邊三角形全等．D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形．答案:D解析:考查假命題的判定.一般判定假命題采用對(duì)比定義或舉反例.隨意可以畫出一個(gè)對(duì)角線相等但對(duì)角線不互相平分的四邊形來,所以D是假命題.2.(2008年益陽)(本題10分)22.△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個(gè)正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點(diǎn)F、G分別落在AC、AB上.ABCDEFG圖10(1)Ⅰ.證明：ABCDEFG圖10(1)Ⅱ.探究：怎樣在鐵片上準(zhǔn)確地畫出正方形.小聰和小明各給出了一種想法，請(qǐng)你在Ⅱa和Ⅱb的兩個(gè)問題中選擇一個(gè)你喜歡的問題解答.如果兩題都解，只以Ⅱa的解答記分.Ⅱa.小聰想：要畫出正方形DEFG，只要能計(jì)算出正方形的邊長(zhǎng)就能求出BD和CE的長(zhǎng)，從而確定D點(diǎn)和E點(diǎn)，再畫正方形DEFG就容易了.ABCDEFGABCDEFG圖10(2)Ⅱb.小明想：不求正方形的邊長(zhǎng)也能畫出正方形.具體作法是：①在AB邊上任取一點(diǎn)G’，如圖作正方形G’D’E’F’；②連結(jié)BF’并延長(zhǎng)交AC于F；③作FE∥F’E’交BC于E，F(xiàn)G∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，則四邊形DEFG即為所求.ABABCDEFG圖10(3)G′F′E′D′答案:Ⅰ.證明：∵DEFG為正方形，∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°∴△BDG≌△CEF(AAS)ABCDEFG解圖10(2)HⅡa.ABCDEFG解圖10(2)H求得由△AGF∽△ABC得：解之得：(或)解法二：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則在Rt△BDG中，tan∠B=，∴解之得：(或)解法三：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則由勾股定理得：解之得：Ⅱb.解：正確由已知可知，四邊形GDEF為矩形ABCDEFG解圖10(3)G’FABCDEFG解圖10(3)G’F’E’D’∴，同理，∴又∵F’E’=F’G’，∴FE=FG因此，矩形GDEF為正方形解析:證明,求值和方法探究題.幾何證明,求值題要弄清條件和結(jié)論,運(yùn)用定理,定義,公理從條件出來說明結(jié)論的正確或錯(cuò)誤或求出某一未知量.探究作圖方法是否正確,其實(shí)就是把作法當(dāng)作條件證明最后結(jié)論的正確性.3.(2008年湘潭)（本題滿分6分）BACDESF如圖，四邊形ABCD是矩形，E是ABBACDESF過C作CF⊥DE，垂足為F.（1）猜想：AD與CF的大小關(guān)系；（2）請(qǐng)證明上面的結(jié)論.解：（1）．（2）四邊形是矩形，又解析:考查矩形的性質(zhì)及直角三角形全等的判定.猜想AD與CF的關(guān)系,可以分析AD,CF所在的兩個(gè)三角形ADE與三角形FCD的關(guān)系.由條件可歸納得:∠A=∠CFD=900,∠AED=∠FDC,DE=AB=CD,可證,從而AD=CF.（以下是安徽張仕春分類）1．(2008年內(nèi)江市)如圖，在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，，與相交于點(diǎn)，試判斷的形狀，并說明理由．BBCDFAE16（2008烏魯木齊）．在一次數(shù)學(xué)課上，王老師在黑板上畫出圖6，并寫下了四個(gè)等式：①，②，③，④．BEDABEDAC圖6已知：求證：是等腰三角形．證明：18.（2008（2008年湖北省宜昌市）年湖北省宜昌市）如圖，在△ABC和△ABD中，BC=BD，設(shè)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn).（1）請(qǐng)你在圖中作出點(diǎn)E和點(diǎn)F；（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法與證明）（2）連接AE、AF.若∠ABC=∠ABD，請(qǐng)你證明△ABE≌△ABF.FEDCBA19．（本題6分）（2008年武漢市）FEDCBA求證：△ABC∽△FDE．19.略21.(2008年·東莞市)（本題滿分9分）（1）如圖7，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC．求∠AEB的大小；CBCBOD圖7AEBAODCE圖8（2）如圖8，ΔOAB固定不動(dòng)，保持ΔOCD的形狀和大小不變，將ΔOCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（ΔOAB和ΔOCD不能重疊），求∠AEB的大小.1、（2008年宜賓市）(本小題滿分7分)已知:如圖,AD=BC,AC=BD.求證:OD=OC23．（2008年義烏市）如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不