淺談數(shù)列中an與Sn的關(guān)系（學(xué)生版）

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課題淺談數(shù)列中an與Sn的遞推公式的應(yīng)用對(duì)于任意一個(gè)數(shù)列，當(dāng)定義數(shù)列的前n項(xiàng)和尋常用Sn表示時(shí)，記作Sn＝a1＋a2＋…＋an，此時(shí)通項(xiàng)公

??S1，n＝1，

式an＝?．

?Sn－Sn－1，n≥2?

而對(duì)于不同的題目中的an與Sn的遞推關(guān)系，在解題時(shí)又應(yīng)當(dāng)從哪些方向去靈活應(yīng)用an＝Sn－Sn－1(n≥2)去解決不同類型的問題呢？

我們將從下面三個(gè)角度去摸索在各類考試中出現(xiàn)的an與Sn相關(guān)的問題：

歸納起來(lái)常見的角度有：

角度一：直觀運(yùn)用已知的Sn，求an；

角度二：客觀運(yùn)用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求與an，Sn有關(guān)的結(jié)論；角度三：an與Sn的延伸應(yīng)用．

角度一：直觀運(yùn)用已知的Sn，求an方法：已知Sn求an的三個(gè)步驟(此時(shí)Sn為關(guān)于n的代數(shù)式)：(1)先利用a1＝S1求出a1；

(2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；(3)對(duì)n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，假使符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；假使不符合，則應(yīng)當(dāng)分n＝1與n≥2兩段來(lái)寫．

同時(shí)，在部分題目中需要深刻理解“數(shù)列的前n項(xiàng)和〞的實(shí)際意義，對(duì)“和的式子〞有本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，這樣才能更好的運(yùn)用Sn求解．如：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n－1，其中a1＋2a2＋3a3＋…＋nan表示數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和．

1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝2n－3B．a(chǎn)n＝2n＋3

???1，n＝1?1，n＝1C．a(chǎn)n＝?D．a(chǎn)n＝?

??2n－3，n≥22n＋3，n≥2??

2．(2023·XX石家莊一中月考)數(shù)列{an}滿足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n+1＋3(n∈N*)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝．

3．(2023·天津一中月考)已知{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足log2(Sn＋1)＝n＋1，則an＝．

1

4．(2023·四川成都樹德期中)已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a5＝45，a2＋a6＝14．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

b1b2bn(2)若數(shù)列{bn}滿足：＋2＋…＋n＝an＋1(n∈N*)，求{bn}的前n項(xiàng)和．

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二：客觀運(yùn)用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求與an，Sn有關(guān)的結(jié)論此類題目中，已知條件往往是一個(gè)關(guān)于an與Sn的等式，問題則是求解與an，Sn有關(guān)聯(lián)的結(jié)論．那么我們需要通過(guò)對(duì)所求問題進(jìn)行客觀分析后，判定最終的結(jié)果中是保存an，還是Sn．那么，主要從兩個(gè)方向利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)：

方向一：若所求問題是與an相關(guān)的結(jié)論，那么用Sn－Sn－1＝an(n≥2)消去等式中所有Sn與Sn－1，保存項(xiàng)數(shù)an，在進(jìn)行整理求解；

1．(2023·廣州潮州月考)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1，n∈N*)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．

2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＋1＝－4Sn＋1，a1＝1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

2

方向二：若所求問題是與Sn相關(guān)的結(jié)論，那么用an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去等式中所有項(xiàng)數(shù)an，保存Sn

與Sn－1，在進(jìn)行整理求解．

1

1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝．

2

?1?

(1)求證：?S?是等差數(shù)列；

?n?

(2)求an的表達(dá)式．

2．(2023·江西名校聯(lián)盟調(diào)考)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2n－2Snan＋1＝0．(1)求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式；

11111(2)求證：＋＋…＋＞2(Sn+1－1)．(提醒：＞)

S1S2Snnn＋1＋n

角度三：an與Sn的延伸應(yīng)用??S1，n＝1，

解此類題目中不僅需要深刻理解“數(shù)列的前n項(xiàng)和〞的實(shí)際意義，還需要對(duì)an＝?關(guān)系

?Sn－Sn－1，n≥2?

式的形式結(jié)構(gòu)很熟練的把握，這樣才能在題目中對(duì)已知等式靈活地變換．

當(dāng)然在解決問題的時(shí)候依舊需要從求誰(shuí)的角度出發(fā)分析，確定等式的變換方向．方向一：關(guān)于雙重前n項(xiàng)和

此類題目中一般出現(xiàn)“數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn〞的條件，在解答時(shí)需要確定明白求的是與an，Sn，Tn中誰(shuí)相關(guān)的問題，確定已知等式的運(yùn)用方向．但一般是求解最底層的an．

3

1．(2023·湖北武漢質(zhì)檢)設(shè)數(shù)列{an}的前n現(xiàn)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*．

(1)求a1的值；

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

2．(2023·安徽滁州期末聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，且2Tn＝4Sn－(n2

＋n)，n∈N*．

(1)證明：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列；

n＋1(2)設(shè)bn＝，證明：b1＋b2＋…＋bn＜3．

an＋1

方向二：已知等式在整理過(guò)程中需要因式分解

此類問題大多數(shù)時(shí)候會(huì)伴隨“各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}〞這樣的條件，運(yùn)用在因式分解后對(duì)因式進(jìn)行符號(hào)的判定，對(duì)因式進(jìn)行的取舍．

1．(2023·山東青島一模)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a2n＝4Sn－2an－1(n∈N*)，其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和．

(1)求a1，a2的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

4

an?an＋1?

2．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝，n∈N*．

2(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；

1

(2)設(shè)bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn．

2Sn

方向三：需對(duì)已知等式變形后，再求解

1．(2023·江西五校聯(lián)考)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為Sn，且an＝2Sn－1．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

1(2)設(shè)bn＝，Tn=b1＋b2＋b3＋…＋bn，求Tn．

an·an+1

2．(