2019年高考數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)分類匯編

2019年高考數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)1．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8【答案】C【解析】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C．2．【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分．7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差【答案】A【解析】設(shè)9位評委評分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分后剩余，中位數(shù)仍為，A正確；②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)，平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確；③，，由②易知，C不正確；④原極差，后來極差，顯然極差變小，D不正確．故選A．3．【2019年高考浙江卷】設(shè)0＜a＜1，則隨機(jī)變量X的分布列是則當(dāng)a在（0,1）內(nèi)增大時，A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【解析】方法1：由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時，先減小后增大．故選D．方法2：則，則當(dāng)在內(nèi)增大時，先減小后增大．故選D．4．【2019年高考江蘇卷】已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是______________．【答案】【解析】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以該組數(shù)據(jù)的方差是．5．【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為______________．【答案】【分析】本題考查通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計(jì)，采取估算法，利用概率思想解題．【解析】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點(diǎn)數(shù)約為，其中高鐵個數(shù)為，所以該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為．6．【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是______________．【答案】【解析】前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊(duì)以獲勝的概率是前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊(duì)以獲勝的概率是綜上所述，甲隊(duì)以獲勝的概率是7．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70．（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值分別為4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．8．【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束．（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率．【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X=2就是10∶10平后，兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X=4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束，且這4個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．9．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立．（1）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率．【答案】（1）分布列見解析，；（2）．【分析】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力．滿分13分．【解析】（1）因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率均為，故，從而．所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．（2）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為，則，且．由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨(dú)立，從而由（1）知．10．【2019年高考北京卷理數(shù)】改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列見解析，E（X）=1；（3）見解析．【解析】（1）由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人，僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100?30?25?5=40人．所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為．（2）X的所有可能值為0，1，2．記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個月的支付金額大于1000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個月的支付金額大于1000元”．由題設(shè)知，事件C，D相互獨(dú)立，且．所以，，．所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望．（3）記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”．假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化，則由上個月的樣本數(shù)據(jù)得．答案示例1：可以認(rèn)為有變化．理由如下：P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生．一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化，所以可以認(rèn)為有變化．答案示例2：無法確定有沒有變化．理由如下：事件E是隨機(jī)事件，P（E）比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化．11．【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn)．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)