NO 6分式的恒等變形

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高一數(shù)學(xué)校本課程N(yùn)O.6

分式的恒等變形

分式的恒等變形是代數(shù)式恒等變形的一種。它以整式恒等變形為基礎(chǔ)，并結(jié)合分式自身的特點(diǎn)，因此更具有獨(dú)特的繁雜性和技巧性，在數(shù)學(xué)競賽中往往出現(xiàn)有關(guān)這方面的命題。

分式的恒等變形涉及到的主要內(nèi)容有：分式性質(zhì)、概念的靈活應(yīng)用，分式的各種運(yùn)算、化簡、求值及恒等證明等等。

一．知識(shí)方法梳理：

1.分式的運(yùn)算規(guī)律

aba?b??(同分母)cccadac?bd(異分母)??bcbcacac（2）乘法：??

bdbdacad（3）除法：??

bdbc（1）加減法：

anan（4）乘方：()?n

bb2.分式的基本性質(zhì)

aamaa?m,?(m?0)（1）?bbmbb?m（2）分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變。

3.比例的重要性質(zhì)

addfaf（1）假使?,?那么?（傳遞性）

bccebead（2）假使?那么ac?bd（內(nèi)項(xiàng)積等于外項(xiàng)積）

bcaca?bc?d?(合比性質(zhì))（3）假使?那么bdbcaca?cb?d?(合分比性質(zhì))（4）假使?,(b?d?0)那么bda?cb?dacm（5）假使????,且b?d???n?0,

bdna?c???ma?(等比性質(zhì))那么

b?d???nb

4.倒數(shù)性質(zhì)

（1）假使兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的乘積為1。

（2）假使兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的同次冪仍互為倒數(shù)。（3）假使兩個(gè)正數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個(gè)正數(shù)的和不小于2。二．典型例題

1．有關(guān)分式的運(yùn)算求值問題

例1.已知1?1?32x?3xy?2yxy,求x?2xy?y的值

例2.已知三個(gè)正數(shù)a、b、c滿足abc=1,求aab?a?1?bbc?b?1?cac?c?1的值

例3.已知x?y?z?1,a?b?cabcxyz?0,

求x2y2z2a2?b2?c2的值。

例4.已知x+y+z=3a(a?0,且x、y、z不全相等)，求(x?a)(y?a)?(y?a)(z?a)?(z?a)(x?a)(x?a)2?(y?a)2?(z?a)2的值

。

例5.已知三個(gè)不全為零的數(shù)x、y、z滿足4x?3y?6z?0，

2x2?3y2?6z2x?2y?7z?0。求2的值。22x?5y?7z

例6.已知a、b、c互不相等，且滿足a+b+c=0,

a2b2c2??求2的值。

2a?bc2b2?ac2c2?ab例7.若

a?b?ca?b?c?a?b?c(a?b)(a?c)(b?c)??，求的值。cbaabc

2、有關(guān)分式的化簡問題例8.化簡

x3xnx2????x1(x1?x2)(x1?x2)(x1?x2?x3)(x1?x2???xn?1)(x1?x2???xn)

3、有關(guān)分式的證明問題

例9.已知有理數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0，abc=8.試判斷??是正數(shù)、負(fù)數(shù)、還是零。

例10.設(shè)n為正整數(shù)，求