SARS傳播規(guī)律的數(shù)學模型

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指導教師：張勇

參賽者：張鑫王永恒喬磊

SARS傳播規(guī)律的數(shù)學模型

摘要

本文首先分析評價了附件1中SARS傳播的數(shù)學模型，指出該模型可以對疫情走勢進行預計,但同時也存在一定缺點，第一，混淆了累計病例數(shù)與累計確診人數(shù)的概念；其次，對參數(shù)的確定缺乏根據(jù)；第三，預計時借助了其他地區(qū)的參數(shù)，偏差較大.

本文針對其缺點建立了一個比較完善的傳播模型.該傳播模型按政府開始控制的時刻分為控制前與控制后兩個模型，兩個模型均以潛伏期5天為周期，以一個周期為整體建立差分方程模型.再結合5月15日以前北京疫情的公開數(shù)據(jù)，協(xié)同不同的政府監(jiān)控力度，對整個北京的SARS疫情狀況進行了預計.預計政府的監(jiān)控力度一直保持在5月10日－5月15日的水平上時，6月10日－6月15日北京將會無新增病例，最終累積病例數(shù)為2993.對衛(wèi)生部門采取的措施進行了評價：若提前或延后5天采取嚴格的隔離措施最終累計病例數(shù)分別為1300多與5200左右.

進一步通過對人群的不同分類，建立了兩個微分方程組，可分別預計出實際發(fā)病人數(shù)、不可控/可控帶菌者人數(shù)與當天疑似病例數(shù)、累計確診人數(shù)、不可控/可控帶菌者人數(shù)及治愈、死亡人數(shù)，結合兩者的信息就可以得到足夠的信息量.但模型中的部分參數(shù)無法確定給模型求解帶來困難.可以通過搜集更多的數(shù)據(jù)和資料加以解決.

本文同時就外國來京旅游人數(shù)受SARS的影響，建立了模型，估算出4、5、6、7四個月中北京地區(qū)入境旅游人數(shù)比往年同期減少了94.8萬人，旅游經(jīng)濟損在4.74億美元至9.48億美元之間.并預計出在2023年10月上旬，旅游人數(shù)將恢復到正常水平.

最終給報紙寫了一篇短文，說明白建立傳染病數(shù)學模型的必要性與重要性.一、問題的提出

公元2023年春天，一種叫SARS的病毒從天而降，降到人類賴以生存的星球，降到中國人的頭上.SARS畢竟是什么，它為什么會代給人類這么多的傷痛與如此難以“磨滅〞的印象？

SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，嚴重急性呼吸道綜合癥,俗稱：非典型肺炎）是21世紀第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病.SARS的爆發(fā)和曼延給我國的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了大量重要的經(jīng)驗和教訓，認識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預計和控制傳染病曼延創(chuàng)造條件的重要性.現(xiàn)需對SARS的傳播建立數(shù)學模型，具體要求如下：

（1）對附件1所提供的一個早期的模型，評價其合理性和實用性.

（2）建立自己的模型，說明為什么優(yōu)于附件1中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預計以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計.附件2提供的數(shù)據(jù)供參考.

（3）收集SARS對經(jīng)濟某個方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應的數(shù)學模型并進行預計.附件3提供的數(shù)據(jù)供參考.

（4）給當?shù)貓罂瘜懸黄ㄋ锥涛?，說明建立傳染病數(shù)學模型的重要性.二、對附件1模型的評價

該模型以某種社會環(huán)境下一個病人傳染他人的平均概率K為參數(shù)，考慮了平均每個病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限L，建立了病例累積數(shù)N與時間t的函數(shù)關系.由于病毒的傳播與好多因素有關，且多不易確定，所以給定量研究SARS的傳播規(guī)律帶來了困難.因此模型也不易完善，所以該模型在存在其合理性與實用性的同時也存在不合理性與不實用性.(一)合理性

1.該模型考慮了平均每個病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限L.

鑒于SARS傳染性的強大威力，帶病毒者在外自由的時間長短對疫情會有很大影響.據(jù)中國科學院遙感應用研究所提供的調查研究數(shù)據(jù)（[1]），SARS病人在1.5天后住院與在2天后住院后相比，SARS發(fā)病總人數(shù)可能會減少1500人，SARS疫情得到控制的時間可能會提前1個月；SARS病人在1.5天后住院與在2.5天后住院后相比，SARS發(fā)病總人數(shù)可能會減少2400人，SARS疫情得到控制的時間可能會提前1.5個月.由此可見對L的描述是很關鍵的.2.對前期描述的合理性

由于前期傳染源未受控制，所以累積病例數(shù)是成指數(shù)上升的.該模型對這段時期的描述是合理的.

(二)實用性

該模型簡單，機理明白，算法簡單快捷，且對廣東香港地區(qū)的擬和效果較好.(三)不合理性

1.將累積病例數(shù)與確診病例數(shù)的概念混淆.該模型在進行參數(shù)的擬和時，一直采用的時公布的累積病例數(shù)，但它所描述的推得的結果是累積病例數(shù)，而累積病例數(shù)是包括了已知的病例數(shù)與未知的病例數(shù)的.

2.預計結果不確鑿.通過計算，我們發(fā)現(xiàn)該模型的預計結果與真實偏差太大.該模

型的主要功能就是用于預計的，預計結果與真實偏差太大則使該模型的指導意義大打折扣

(1)對附件1的模型進行重建

在疫情到達高峰期后的10天，要逐步調整參數(shù)K的值.這里，我們并不知道本

模型是如何調整K值的.為了使再現(xiàn)的北京最終非典病例累計數(shù)達到3100左右，通過對北京計算日增病例圖像地細心觀測，發(fā)現(xiàn)這10天的調整大致分了四個階段：第一階段的3天K值調整后保持不變；其次階段的三天同樣如此；第三階段的四天再調整一次K值，并保證這三次調整過程的結果不小于10天后的K值：0.0273!最終一次調整要使K值達到0.0273！通過大量的調試和人工干預，確定在北京疫情高峰期后的10天，四個階段的K值依次為：0.081160.060870.038730.02730

這樣經(jīng)過137天時間，計算出北京最終非典累計病例為3101人.重現(xiàn)北京的疫情圖如圖：

北

京疫情的重現(xiàn)圖

從圖一可以看出，在有公布的實際數(shù)據(jù)時期，擬合效果很好地重現(xiàn)了原模型的結果，但后期的預計偏差很大.

在重現(xiàn)原模型的過程中，我們發(fā)現(xiàn)K和L，以及調整K值的天數(shù)T對預計結果影響很大；正由于如此，原模型在確定K，L，T值時，會進行大量的人工干預，通過不斷調整，以達到在有公布數(shù)據(jù)時期較好的擬合效果；而后期又采用其它地區(qū)（如香港）的參數(shù)，必然使預計結果與后來的實際結果偏差很大.分析K，L，T的靈敏度，可以看到K，L，T的取值對預計結果影響很大.(2)靈敏度分析

將靈敏度分析結果羅列于表一：

表一K，L，T靈敏度檢驗

K0.13913*(1+5%)0.13913*(1-5%)19651290.0273*(1+5%)32051430.0273*(1-5%)3008132總累計病例4853終止天145數(shù)L15天25天T總累計7天5天2522總累計病1069例終止95天數(shù)4598病例2779205終止天134數(shù)131從表一的數(shù)據(jù)可以看到，K，L，T假使發(fā)生較小的變化，都會使預計結果發(fā)生顯著改變.這說明該模型對K，L，T十分敏感，假使用該模型來分析傳染病的傳播，只能近似描述累積病例的變化趨勢，而不能有效預計累積病例數(shù)量.3.參數(shù)分析的不合理性

(1)K值不易確定，但是經(jīng)過靈敏度的分析，K值改變對結果影響很大

(2)K值的改變并非從高峰開始，而使從控制力度加大后，開始顯現(xiàn)出效果的時期

開始.

(3)從高峰期逐步調整K值到比較小的穩(wěn)定值之間經(jīng)歷的時間（10天）缺少具體依據(jù).

(4)對“從高峰期逐步調整K值到比較小的穩(wěn)定值〞這一過程方法表達模糊，個人根據(jù)自己的方法會得出K不同的取值.(5)參數(shù)L的確定缺乏依據(jù)(四)不實用性

1.該模型在預計北京地區(qū)的人數(shù)時要用到香港與廣東地區(qū)的參數(shù)做近似代替.而實

際上由于當?shù)卣O(jiān)控力度、群眾警覺程度的不痛，K值是有較大區(qū)別的，所以該模型不具有通用性.從后面的實際狀況看，北京的監(jiān)控力度是要大于港粵兩地的.這便造成了該模型的預計值比實際值要大.

2.模型中的不確定參數(shù)多，更重要的是大量參數(shù)的值的靈敏度很高，結果受參數(shù)的

影響很大.這樣模型的穩(wěn)定性便不強，會造成預計結果的不夠確鑿.三、SARS的預計和控制模型(一)模型的目標

根據(jù)前文分析，可以發(fā)現(xiàn)附件1模型（以下簡稱“附模〞）其實是不完善的，因此有必要建立起有一個真正能夠起到預計、控制傳染病曼延作用的數(shù)學模型.

針對附模須改善之處有：

1.必需區(qū)別累計確診病例，處于潛伏期人數(shù)與累計患病人數(shù).

累計患病人數(shù)由累計確診人數(shù)，現(xiàn)有疑似病例中的帶菌人數(shù)相加組成，潛伏期人數(shù)不計入內(nèi)

2.要確鑿劃分傳染的幾個階段

傳染病傳播可以分為3個階段：控制前：疾病自由傳播，政府不進行控制

過渡期：公眾意識到疾病的嚴重性后，政府采取控制措施之前控制后：在政府介入控制后

除了廣州、香港之外，其他城市都是在SARS大肆傳播之前，政府就已經(jīng)采取了強有力的控制措施，可以分為控制前與控制后兩個階段.階段的劃分以政府采取措施的時間為準.

3.模型要在不借助其他地區(qū)的資料的狀況下可以預計本地區(qū)狀況.必需能夠由前期的公開數(shù)據(jù)求得模型中所需求得的各參數(shù).4.能夠衡量政府采取的各項措施的效果.

在模型中必需有表示政府控制力度的變量.并且能夠量化.5.模型中的參數(shù)必需易于求解，盡量不借助人為調控.

建立的模型中各參數(shù)由公開數(shù)據(jù)直接得到，變量不經(jīng)人為調整.(二)模型的分析

要建立能夠預計傳染病傳播的數(shù)學模型，必需對這種傳染病的傳播規(guī)律有足夠的認識.SARS（SeverAcuteRespiratorySyndrome）是一種主要通過飛沫、與患者接觸而傳染的疾病，且無特效藥可醫(yī)治.SARS的潛伏期為2—11天，一般為4—5天，潛伏者幾乎沒有傳染力.消毒可以有效的殺死SARS病毒.沒有發(fā)現(xiàn)對SARS免疫的人群