空間角 空間距離

本文格式為Word版，下載可任意編輯——空間角，空間距離

第8課時空間的角

基礎(chǔ)過關(guān)1．兩異面直線所成的角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間一點O分別引直線a'a，b'b，把直線a'和b'所成的或叫做兩條異面直線a、b所成的角，其范圍是．

2．直線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的所成的角，叫做這條斜線和平面所成的角．

規(guī)定：①一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是角；②一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是角．其范圍是．

公式：cosθ＝cosθ1cosθ2，其中，θ1是，θ2是，θ是．

3．二面角：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角．

4．二面角的平面角：以二面角的棱上一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，其范圍

P是

1.點與它在平面上的射影間的距離叫做該點到這個平面的距離.2.直線與平面平行，那么直線上任一點到平面的距離叫做這條直FA線與平面的距離.DE3.兩個平面平行，它們的公垂線段的長度叫做這兩個平面的距離.BC4.兩條異面直線的公垂線段的長度叫做這兩條異面直線的距離.

5.借助向量求距離

（1）點面距離的向量公式

平面α的法向量為n，點P是平面α外一點，點M為平面α內(nèi)任意一點，則點P到平面α的距離d就是MP在向量n方向射影的絕對值，即d=（2）線面、面面距離的向量公式

平面α∥直線l，平面α的法向量為n，點M∈α、P∈l，平面α與直線l間的距離d就是MP|n?MP|.|n|在向量n方向射影的絕對值，即d=

|n?MP|.|n|平面α∥β，平面α的法向量為n，點M∈α、P∈β，平面α與平面β的距離d就是MP在

向量n方向射影的絕對值，即d=

|n?MP|.|n|（3）異面直線的距離的向量公式

設(shè)向量n與兩異面直線a、b都垂直，M∈a、P∈b，則兩異面直線a、b間的距離d就是MP在向量n方向射影的絕對值，即d=

|n?MP|.|n|●點擊雙基

1.ABCD是邊長為2的正方形，以BD為棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中點，則異面直線AE、BC的距離為

3D.12解析：易證CE是異面直線AE與BC的公垂線段，其長為所求.易證CE=1.∴選D.答案：D

2.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一點P到A、B、C的距離都是14，則P到α的距離是

A.13B.11C.9D.7解析：作PO⊥α于點O，連結(jié)OA、OB、OC，∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC.

∴O是△ABC的外心.

15AB∴OA===53.

2sin?BCA2sin120A.2

B.3

C.

∴PO=PA2?OA2=11為所求.∴選B.

答案：B

3.在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A1到平面MBD的距離是

633aB.aC.a364解析：A到面MBD的距離由等積變形可得.

A.

VA—MBD=VB—AMD.易求d=

D.

6a66a.6D1A1MAB1C1DBC

答案：D

4.A、B是直線l上的兩點，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC與BD成60°的角，則C、D兩點間的距離是_______.

解析：CD=32?32?42?32.答案：5或43

5.設(shè)PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分別與α成45°和30°角，PA=2，則PA與BC的距離是_____________；點P到BC的距離是_____________.

解析：作AD⊥BC于點D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD.∴AD是PA與BC的公垂線.易得AB=2，AC=23，BC=4，AD=3，連結(jié)PD，則PD⊥BC，P到BC的距離PD=7.

答案：3典型例題

例1.如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點．

（1）求EF與平面PAD所成角的大小；（2）求EF與CD所成角的大??；

（3）若∠PDA＝45°，求：二面角F—AB—D的大?。猓?1)易知EF∥平面PAD，故EF與平面PAD成角為0°；(2)易知EF⊥CD，故EF與CD成角為90°；

A(3)取AC中點為0，則∠FEO為所求二面角的平面角，易求得∠FEO＝45°．變式訓(xùn)練1：如圖，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，若二面角C1—BD—C的大小為60°，求異面直線BC1與AC所成的角的大小．答案：arccos

557

D1A1B1DB

C1

C

例2.在等腰梯形ABCD中，AB＝20，CD＝12，它的高為215，以底邊的中垂線MN為折痕，將梯形MBCN折至MB1C1N位置，使折疊后的圖形成120°的二面角，求：

DNC⑴AC1的長；

C⑵AC1與MN所成的角；⑶AC1與平面ADMN所成的角．答案：(1)16(2)arcsin(3)arcsin378A316MBB

變式訓(xùn)練2：已知四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為R的⊙O，AC為⊙O的直徑，點S為平面SABCD外一點，且SA⊥平面ABCD，若∠DAC＝∠ACB＝∠SCA＝30°，求：D⑴二面角S－CB－A的大?。?/p>

ACO⑵直線SC與AB所成角的大?。?/p>

[來源:Z,xx,k.Com]答案：(1)arctan233(2)arccos

34

B例3.△ABC和△DBC所在平面相互垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°．求：⑴AD與平面DBC所成的角；

⑵二面角A－BD－C的正切值．解：(1)作AE⊥BC交BC的延長線于E，

由面ABC⊥面BCD知AE⊥向BCD，∠ADE即為所求，求得∠ADE＝45°

D(2)作EF⊥BO于F，∠AFE即為所求，求得tan∠AFE＝2變式訓(xùn)練3：正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC中點．⑴求證：平面BEC1⊥平面ACC1A1；⑵求證：AB1∥平面BEC1；

⑶若A1A?2，求二面角E－BC1－C的大?。?/p>

AB2ABCBAE

CAB

答案：(1)略(2)略(3)45°

C

例4:已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，AA1＝2AB，M為CC1上的點.(1)當(dāng)M在C1C上的什么位置時，B1M與平面AA1C1C所成的角為30°；(2)在(1)的條件下，求AM與A1B所成的角.解(1)取A1C1的中點N1，連結(jié)B1N1，N1M，由已知易知B1N1⊥平面A1C1CA.

∴∠B1MN1為B1M與平面A1C1CA所成的角，設(shè)C1M＝x，B1N1＝sin

在Rt△BMC1中，C1M=∴sin∠C1BM=

3a，BC1=2a，2C1M6=.4BC1（2）證明：取A1C1的中點D1，AC1的中點F，連結(jié)B1D1、EF、D1F.則有D1FB1E

1AA1，21AA1.2A1MFEABCD1B1C1

∴D1FB1E.

則四邊形D1FEB1是平行四邊形，∴EF

B1D1.

由于三棱柱ABC—A1B1C1是正三棱柱，

∴B1D1⊥A1C1.

又平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1，且B1D1?平面A1B1C1，∴B1D1⊥平面ACC1A1.∴EF⊥平面ACC1A1.

∵EF?平面AEC1，則平面AEC1⊥平面ACC1A1.

（3）由（2）知，EF⊥平面AC1，則EF是三棱錐E—ACC1的高.由三棱柱各棱長都等于a，則EC=AE=EC1=∴EF=AE2?AF2=

5a，AC1=2a.23a.2∵VC1?AEC=VE?ACC1，設(shè)三棱錐VC1?AEC的高為h，則h為點C1到平面AEC的距離.

11S?AEC·h=S?ACC1·EF，3331111即×a2h=×a2·a.

2323233∴h=a，即點C1到平面AEC的距離是a.

22則

探究創(chuàng)新

9.如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a，點M在邊BC上，△AMC1是以點M為直角頂點的等腰直角三角形.

A1C1B1AMBC

（1）求證：點M為邊BC的中點；（2）求點C到平面AMC1的距離.

（1）證明：∵△AMC1為以點M為直角頂點的等腰直角三角形，∴AM⊥C1M且AM=C1M.

∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，∴CC1⊥底面ABC.

∴C1M在底面內(nèi)的射影為CM，AM⊥CM.∵底面ABC為邊長為a的正三角形，∴點M為BC邊的中點.

（2）解：過點C作CH⊥MC1，

A1B1C1ABHMC

由（1）知AM⊥C1M且AM⊥CM，

∴AM⊥平面C1CM.

∵CH⊥AM，∴CH⊥平面C1AM，由（1）知，AM=C1M=

3232121a?a=a，CM=a且CC1⊥BC.∴CC1=a.

2244221a?aCC?CM2=6a.∴CH=1=26C1M3a26∴點C到平面AMC1的距離為a.

6●思悟小結(jié)

求空間距離的方法可分為直接法、轉(zhuǎn)化法、向量法.1.直接法是直接作出垂線，再通過解三角形求出距離.

2.轉(zhuǎn)化法則是把點面距離轉(zhuǎn)化為線面距離，或把線面距離轉(zhuǎn)化為面面距離，再轉(zhuǎn)化為點面距離.

3.向量法是把距離求解轉(zhuǎn)化為向量運算.教學(xué)點睛

首先要讓學(xué)生理解點到平面的距離、異面直線的距離以及線面距離及面面距離，而后結(jié)合題目向?qū)W生總結(jié)求距離的常用方法，如：直接法、轉(zhuǎn)化法、向量法.對異面直線的距離只

要求學(xué)生把握作出公垂線段或用向量表示的狀況.

拓展題例線段AB與平面α平行，α的斜線A1A、B1B與α所成的角分別為30°和60°，且∠A1AB=∠B1BA=90°，AB=6，A1B1=10，求AB與平面α的距離.

ABGCA1B1?H解：如圖，作AG⊥α于點G，BH⊥α于點H，連結(jié)A1G、B1H、GH，由于A1A⊥AB，A1G⊥GH.同理，B1H⊥GH.作B1C⊥A1G于點C，則B1C=GH=AB=6，∠AA1G=30°，∠BB1H=60°.設(shè)B1H=x，則CG=B1H=x，AG=BH=3x，A1G=3x=x+A1C=x+8.

所以x=4，AG=BH=43.當(dāng)A1、B1分居平面AH兩側(cè)時，類似可得AG=BH=23.如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分別是AB、PD的中點.

PFAEBCD

（1）求證：AF∥平面PCE；

（2）若二面角P—CD—B為45°，求證：平面PCE⊥平面PCD；（3）在（2）的條件下，若AD=2，CD=22，求F到平面PCE的距離.（1）證明：如下圖，取PC的中點為M，連結(jié)EM、FM.由

PFHAEBCMD

1CD2?FMAE?四邊形AFME為平行四邊形

1