概率論其次章 復(fù)習(xí)及習(xí)題練習(xí)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——概率論其次章復(fù)習(xí)及習(xí)題練習(xí)其次章隨機(jī)變量及其分布

1、隨機(jī)變量

設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是??{?}，假使對(duì)于每一個(gè)???，有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)X與之對(duì)應(yīng)，這樣就得到一個(gè)定義在?上的單值實(shí)值函數(shù)X?X(?)，成為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為：X

2、隨機(jī)變量的分布函數(shù)（1）分布函數(shù)

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)F(x)?P(X?x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。

（2）分布函數(shù)的性質(zhì)

①0?F(x)?1,?x?R②F(x)是單調(diào)不減函數(shù)

Fx(?)1③F(??)?limF(x)?0F(??)?limx???x???④右連續(xù)性：F(x?0)?F(x)用分布函數(shù)表示的事件的概率：

P(a?X?b)?F(b)?F(a)；P(a?x?b)?F(b)?F(a?0)P(a?X?b)?F(b?0)?F(a?0)

3、離散型隨機(jī)變量及其概率分布

（1）離散型隨機(jī)變量

若隨機(jī)變量X的所有可能的取值是有限個(gè)或可列無(wú)窮個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量。（2）離散型隨機(jī)變量的概率分布

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能的取值為xk(k?1,2,?)，X取各個(gè)可能值的概率為

P(X?xk)?pk,k?1,2,?且pk滿足：

①pk?0②

?pk?1?k?1

則稱P(X?xk)?pk,k?1,2,?為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律或用表格表示。（3）常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布

①0-1分布：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為0或1，其分布律為：

P(X?k)?pk(1?p)1?k,k?0,1(0?p?1)，

1

則稱X聽(tīng)從0-1分布，記作：X?B(1,p)

②離散型均勻分布：若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：

P(X?xk)?1,k?1,2,?,nn其中xi?xj(i?j)，則稱隨機(jī)變量X聽(tīng)從離散型均勻分布。③二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：

kkP(X?k)?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,2,?,n

則稱X聽(tīng)從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作：X?B(1,p)④Poisson分布：若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為

P(X?k)??kk!e??,k?0,1,2,?

則稱X聽(tīng)從參數(shù)為?的Poisson分布，記作：X?P(?)⑤幾何分布：若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：

P(X?k)?p(1?p)k?1,k?1,2,?

則稱X聽(tīng)從幾何分布，記作：X?G(p)⑥超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為

kn?kCMCN?MP(X?k)?,k?0,1,2,?,lnCN其中N，M，n是參數(shù)，l?min(M,n)，則稱X聽(tīng)從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，記作

X?H(n,M,N)

⑦超幾何分布，二項(xiàng)分布，Poisson分布之間的關(guān)系：

kn?kkCMCNkkn?kkk?nk????Mlim?Cp(1?p)limCp(?1p)?e，nnnn??n??CNk!MN?p（4）離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為：

F(x)??P(X?xk)

xk?x也即所有不超過(guò)x的隨機(jī)變量取值的概率之和。4、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布（1）連續(xù)型隨機(jī)變量

設(shè)對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)來(lái)說(shuō)，存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，

2

都有：F(x)??x??f(t)dt，則稱隨機(jī)變量X為連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)f(x)稱為X的概率

密度函數(shù)。也就是說(shuō)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是連續(xù)的，但函數(shù)函數(shù)卻不一定是連續(xù)的。

（2）密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)①非負(fù)性：f(x)?0②規(guī)范性：

?????f(x)dx?1③F(x)連續(xù)，且在f(x)的連續(xù)點(diǎn)x，

baF'(x)?f(x)④P(a?X?b)?F(b)?F(a)??f(x)dx

（3）幾種常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

①連續(xù)型均勻分布：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)：

?1?f(x)??b?a??0a?x?belse

則稱X聽(tīng)從區(qū)間(a,b)上的均勻分布，記作：X?U(a,b)②指數(shù)分布：若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：

??e??xf(x)???0x?0else

則稱X聽(tīng)從參數(shù)為?的指數(shù)分布，記作：X?Exp(?)③正態(tài)分布：若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：

1(x??)2f(x)?exp{?},???x???22?2??則稱X聽(tīng)從參數(shù)為?,?的正態(tài)分布，記作：X?N(?,?)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：特別的，若X?N(0,1)，則稱X為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：

221?x2?(x)?e

2?其分布函數(shù)為：

t222?(x)??x??1edt2??且滿足：?(x)??(?x)?1，P(a?X?b)??(b)??(a)

2而若X?N(?,?)，則P(a?X?b)??(b???)??(a???)

5、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

3

（1）一維隨機(jī)變量函數(shù)的概念

設(shè)X為一維隨機(jī)變量，f(x)為一元連續(xù)函數(shù)，那么Y?f(X)也是隨機(jī)變量，并稱為隨機(jī)變量X的函數(shù)。

（2）一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布①離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律

設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布為：則Y?f(X)P(X?xk)?pk,k?1,2,?，的分布律為：P(Y?f(xk))?pk,k?1,2,?，當(dāng)然，若f(xk)中有值一致的，應(yīng)將有關(guān)的

pk合并。

②連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率密度：

設(shè)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)f(x)為一元連續(xù)函數(shù)，則隨機(jī)變量Y?f(X)也為連續(xù)型隨機(jī)變量，且Y的密度函數(shù)可通過(guò)下面的步驟來(lái)求解：Step1：根據(jù)X的密度函數(shù)，求出X的分布函數(shù)FX(x)

Step2：FY(y)?P(Y?y)?P(f(X)?y)?F(X?f?1(y))?FX(f?1(y))Step3：fY(y)?

dFY(f?1(y))dy??0x?0????1、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：F(x)??Asinx0?x?，則P(|X|?)?

62???1x???22、已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：f(x)?函數(shù)F(x)。

3、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為?(x)，且?(?x)??(x)，F(xiàn)(x)為X的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，都有：（）A、F(?a)?1?1?|x|e,???x???，寫(xiě)出X的概率分布2?a0?(x)dxB、F(?a)???0?(x)dx

12aC、F(?a)?F(a)D、F(?a)?2F(a)?1

4、設(shè)F1(x)與F2(x)分布為隨機(jī)變量X1,X2的分布函數(shù)，為使得F(x)?aF1(x)?bF2(x)是

4

某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在以下給定的各組數(shù)值中應(yīng)?。?/p>

3222，b??B、a?，b??55331133C、a?，b?D、a?，b??

2222A、a?5、隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：F(x)?A?Barctanx，求常數(shù)A，B及相應(yīng)的密度函數(shù)。6、在?ABC中任取一點(diǎn)P，P到AB的距離為X，求X的分布函數(shù)。

7、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：

x??1?0?0.4?1?x?1?F(x)?P(X?x)???0.81?x?3?x?3?1則X的概率分布律為：

8、設(shè)隨機(jī)變量X在[2,5]上聽(tīng)從均勻分布，現(xiàn)在對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率。

9、設(shè)隨機(jī)變量Y聽(tīng)從(0,5)上的均勻分布，求方程4x?4Yx?Y?2?0有實(shí)根的概率。10、若隨機(jī)變量X聽(tīng)從N(2,?2)的正態(tài)分布，且P(2?X?4)?0.3，則P(X?0)?11、在電源電壓不超過(guò)200V、在200至240V和超過(guò)240V三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2，設(shè)電源電壓X聽(tīng)從正態(tài)分布N(220,252)，（1）該電子元件損壞的概率?；

（2）該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200至240V之間的概率?.

212、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：f(x)???2x0?x?1，以Y表示對(duì)X的三次獨(dú)立重else?0復(fù)觀測(cè)中事件{X?0.5}出現(xiàn)的次數(shù)，則P(Y?2)=

1)?13、設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從B(2,p)，隨機(jī)變量Y聽(tīng)從B(3,p)，若P(X?14、