《微積分》課程教學大綱

《微積分》課程教學大綱學時數：126學分數：7適用專業(yè)：經濟類本科執(zhí)筆：吳贛昌編寫日期：2006年6月課程的性質、目的和任務本課程是高等學校經濟類本科各專業(yè)學生的一門必修的重要基礎理論課，它是為培養(yǎng)我國社會主義現代化建設所需要的高質量建設人才服務的。通過本課程的學習，要使學生獲得一元函數微積分學、多元函數微積分學、無窮級數、常微分方程與差分方程等方面的基本概念、基本理論和基本運算技能，為后續(xù)課程的學習奠定必要的數學基礎。在課程的教學過程中，要通過各個教學環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數學運算能力、綜合解題能力、數學建模與實踐能力以及自學能力。課程教學的主要內容與基本要求一、函數、極限與連續(xù)主要內容：

函數的概念及其表示法，函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；反函數、復合函數和隱函數，基本初等函數的性質及其圖形特征，初等函數，簡單應用問題的函數關系的建立；常用經濟函數；數列極限與函數極限的定義和性質，函數的左、右極限，無窮小與無窮大；無窮小的比較；極限的四則運算；極限存在的兩個準則和兩個重要極限；

連續(xù)函數的概念，函數間斷點的分類；初等函數的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質(最大值最小值定理和介值定理)?；疽螅?、理解函數的概念，掌握函數的表示法；2、了解函數的有界性、單調性、周期性與奇偶性；3、理解復合函數、反函數、隱函數和分段函數的概念；4、掌握基本初等函數的性質及其圖形，理解初等函數的概念；5、會建立簡單應用問題的函數關系，熟悉幾種常用經濟函數；6、了解數列極限和函數極限（包括左、右極限）的概念；7、了解無窮小的概念和基本性質，掌握無窮小的階的比較方法。了解無窮大的概念及其與無窮小的關系；8、了解極限的性質與極限存在的兩個準則，熟練掌握極限的四則運算法則，熟練掌握兩個重要極限的應用；9、理解函數連續(xù)性的概念（包括左、右連續(xù)）與函數間斷的概念，掌握間斷點的分類；10、了解連續(xù)函數的性質和初等函數的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（有界性定理、最大值與最小值定理和介值定理）及其簡單應用。二、導數與微分主要內容：

導數的概念，導數的幾何意義和經濟意義，函數的可導性與連續(xù)性之間的關系；平面曲線的切線和法線；基本初等函數的導數，導數的四則運算，反函數的導數，復合函數的求導法則；高階導數的概念，某些簡單函數的n階導數；隱函數及參數方程所確定的函數的導數；微分的概念，微分的四則運算，一階微分形式的不變性，利用微分進行近似計算。一階微分形式的不變性微分在近似計算中的應用基本要求：1、理解導數的概念，了解導數的幾何意義與經濟意義，理解函數的可導性與連續(xù)性之間的關系；2、熟練掌握基本初等函數的導數公式；3、熟練掌握導數的四則運算法則；4、熟練掌握反函數求導法則；5、熟練掌握復合函數求導法則；6、掌握隱函數求導法則與對數求導法則；7、了解高階導數的概念，會求二階、三階導數及一些簡單的n階導數；8、了解微分的概念，可導與可微，導數與微分的關系，以及一階微分形式的不變性，熟練掌握求微分的方法。三、中值定理與導數的應用

常數項級數收斂與發(fā)散的概念，收斂級數的和的概念，收斂級數的基本性質，級數收斂的必要條件，幾何級數與p—級數；正項級數的比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法；交錯級數的萊布尼茨定理，絕對收斂與條件收斂的概念；函數項級數的收斂域與和函數的概念，冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域，冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質；簡單冪級數的和函數的求法，函數可展開為泰勒級數的充分必要條件，麥克勞林展開式，函數的冪級數展開式的應用?；疽螅?、了解級數的收斂、發(fā)散以及收斂級數的和等概念；2、掌握幾何級數，p-級數的收斂與發(fā)散的條件，知道調和級數的斂散性；3、掌握收斂級數的必要條件及收斂級數的基本性質；4、熟練掌握正項級數的比較判別法、達朗貝爾（比值）判別法與柯西（根值）判別法；5、掌握交錯級數的萊布尼茨判別法；6、了解任意項級數的絕對收斂與條件收斂的概念，掌握絕對收斂與條件收斂的判別法；7、了解冪級數及其收斂半徑、收斂區(qū)域、和函數等概念，會求收斂半徑和收斂域；8、了解冪級數在收斂區(qū)間內的基本性質（和函數的連續(xù)性，逐項微分和逐項積分），會求一些簡單冪級數的和函數；9、掌握及的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單的函數間接展開成冪級數；八、微分方程主要內容：

常微分方程的概念，微分方程的解、通解、初始條件和特解；變量可分離的方程，齊次方程；一階線性方程；可降階的高階微分方程；二階線性微分方程解的結構；二階常系數齊次線性微分方程及其通解，自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與乘積的二階常系數非齊次線性微分方程的解法；差分方程；微分方程的簡單應用。基本要求：1、了解微分方程的階、通解、初始條件和特解等概念；2、掌握變量可分離的方程，齊次方程和一階線性方程的求解方法；3、掌握二階常系數齊次線性方程和自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數，以及它們的和與乘積的二階常系數非齊次線性微分的解法；4、了解差分與差分方程及其通解與特解等概念；5、掌握一階常系數線性差分方程的求解方法；6、會應用微分方程和差分方程求解一些簡單的經濟應用問題。各教學環(huán)節(jié)的學時分配章節(jié)主要內容各教學環(huán)節(jié)學時分配備注講授實驗討論習題課外其它小計一函數、連續(xù)與極限20222二導數與微分10212三中值定理與導數的應用142218四不定積分88五定積分及其應用14216六多元函數微積分及其應用164222七無窮級數8210八微分方程與差分方程142218合計1048122126注：教學環(huán)節(jié)中的實驗環(huán)節(jié)共安排8學時，安排數學實踐訓練的教學內容：四個數學實驗項目。該環(huán)節(jié)的考核成績占課程總成績的10％。實驗大綱內容如下：項目一一元函數微分學一、目的要求：參見下列分項實驗內容。二、主要內容：參見下列分項實驗內容。三、方式和時間安排：本項目的實踐訓練共安排2學時，時間安排在一元函數微分學的教學內容將近結束時。四、場所安排：數學建模與仿真實驗室。五、考核方式：根據提交的實驗報告按百分制評定成績。實驗1.1一元函數的圖形（基礎實驗）目的要求通過圖形加深對函數及其性質的認識與理解，掌握運用函數的圖形來觀察和分析函數的有關特性與變化趨勢，建立數形結合的思想；掌握用Mathematica作平面曲線圖形的方法與技巧。主要內容初等函數的圖形；二維參數方程作圖；用極坐標命令作圖；隱函數作圖；分段函數作圖；函數性質的研究。實驗1.2極限與連續(xù)（基礎實驗）目的要求通過計算與作圖，從直觀上揭示極限的本質，加深對極限概念的理解。掌握用Mathematica畫散點圖，以及計算極限的方法。深入理解函數連續(xù)的概念，熟悉幾種間斷點的圖形特征，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的幾個重要性質。主要內容作散點圖；數列極限的概念；遞歸數列；函數的極限；兩個重要極限；無窮大；連續(xù)與間斷。實驗1.3導數（基礎實驗）目的要求深入理解導數與微分的概念，導數的幾何意義。掌握利用Mathematica求導數與高階導數的方法。深入理解和掌握求隱函數的導數，以及求由參數方程定義的函數的導數的方法。主要內容導數概念；導數的幾何意義；求函數的導數與微分；拉格朗日中值定理。實驗1.4導數的應用（基礎實驗）目的要求理解并掌握用函數的導數確定函數的單調區(qū)間、凹凸區(qū)間和函數的極值的方法。理解曲線的曲率圓和曲率的概念。進一步熟悉和掌握用Mathematica作平面圖形的方法和技巧。掌握用Mathematica求方程的根（包括近似根）和求函數極值（包括近似極值）)的方法。主要內容求函數的單調區(qū)間；求函數的極值；求函數的凹凸區(qū)間和拐點；求極值的近似值；泰勒公式與函數逼近；求曲線的曲率與曲率圓。實驗1.5拋射體的運動（綜合實驗）目的要求Mathematica可以被用來探索各種各樣的可能性，從而能在給定的各種各樣的假設條件下模擬出所求問題的解，通過本實驗的解決，力求讓學生初步掌握利用數學實驗方方法探求所給問題的解的方法，同時初步熟悉科學報告的寫作方法。主要內容在不考慮空氣阻力的情況下，研究拋射體的運動。項目二一元函數積分學與空間圖形的畫法一、目的要求：參見下列分項實驗內容。二、主要內容：參見下列分項實驗內容。三、方式和時間安排：本項目的實踐訓練共安排2學時，時間安排在一元函數積分學的教學內容將近結束時。四、場所安排：數學建模與仿真實驗室。五、考核方式：根據提交的實驗報告按百分制評定成績。實驗2.1一元函數積分（基礎實驗）目的要求掌握用Mathematica計算不定積分與定積分的方法。通過作圖和觀察，深入理解定積分的概念和思想方法。初步了解定積分的近似計算方法。理解變上限積分的概念。提高應用定積分解決各種問題的能力。主要內容用定義計算定積分；不定積分計算；定積分計算；變上限積分；定積分應用。實驗2.2空間圖形的畫法（基礎實驗）目的要求掌握用Mathematica繪制空間曲面和曲線的方法。熟悉常用空間曲線和空間曲面的圖形特征，通過作圖和觀察，提高空間想像能力。深入理解二次曲面方程及其圖形。主要內容一般二元函數作圖；二次曲面；曲面相交；*默比烏斯帶；空間曲線。項目三多元函數微積分學一、目的要求：參見下列分項實驗內容。二、主要內容：參見下列分項實驗內容。三、方式和時間安排：本項目的實踐訓練共安排2學時，時間安排在多元函數積分學的教學內容將近結束時。四、場所安排：數學建模與仿真實驗室。五、考核方式：根據提交的實驗報告按百分制評定成績。實驗3.1多元函數微分（基礎實驗）目的要求掌握用Mathematica計算多元函數偏導數和全微分的方法，并掌握計算二元函數極值和條件極值的方法。理解和掌握曲面的切平面的作法。通過作圖和觀察，理解二元函數的性質、方向導數、梯度和等高線的概念。主要內容求多元函數的偏導數與全微分；微分學的幾何應用；多元函數的極值；梯度場。實驗3.2多元函數積分（基礎實驗）目的要求掌握用Mathematica計算二重積分與三重積分的方法；深入理解曲線積分、曲面積分的概念和計算方法。提高應用重積分和曲線、曲面積分解決各種問題的能力。主要內容計算重積分；重積分的應用；計算曲線積分；計算曲面積分。實驗3.3水箱的流量問題（綜合實驗）目的要求了解曲線擬合問題與最小二乘擬合原理。學會觀察給定數表的散點圖，選擇恰當的曲線擬合該數表。掌握分析實際問題的思想和方法，建立恰當的數學模型。并利用Mathematica解決本問題。主要內容利用最小二乘法對觀察數據進行曲線擬合，在此基礎上利用多元函數微積分學的理論建立水箱流量問題的數學模型，并利用Mathematica軟件對該模型進行計算與分析研究。實驗3.4線性規(guī)劃問題（綜合實驗）目的要求對投資的收益和風險等實際問題建立數學模型，準確理解數學建模中的有關概念。掌握將雙目標優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題的思想和方法。掌握用Mathematica求解線性規(guī)劃問題的基本命令。主要內容投資的收益和風險；生產計劃中的線性規(guī)劃模型。項目四無窮級數與微分方程一、目的要求：參見下列分項實驗內容。二、主要內容：參見下列分項實驗內容。三、方式和時間安排：本項目的實踐訓練共安排2學時，時間安排在微分方程的教學內容開始后。四、場所安排：數學建模與仿真實驗室?？己朔绞剑焊鶕峤坏膶嶒瀳蟾姘窗俜种圃u定成績。實驗4.1無窮級數（基礎實驗）目的要求體會無窮級數部分和的變化趨勢，進一步理解級數的審斂法以及冪級數部分和對函數的逼近。掌握用Mathematica求無窮級數的和，求冪級數的收斂域，展開函數為冪級數以及展開周期函數為傅里葉級數的方法。主要內容數項級數；求冪級函數的收斂域；函數的冪級數展開；傅里葉級數。實驗4.2微分方程（基礎實驗）目的要求理解常微分方程解的概念以及積分曲線等概念，掌握利用Mathematica求微分方程及方程組解的常用命令和方法。主要內容用Dsolve命令解微分方程；用NDSolve命令求微積分方程的近似解。實驗4.3拋射體的運動（綜合實驗）目的要求通過微分方程建模和Mathematica軟件，進一步研究在考慮空氣阻力的情況下拋射體的運動。主要內容在實驗1.5的基礎上，進一步考慮有空氣阻力的情況下，研究拋射體的運動。實驗4.4蹦極跳運動（綜合實驗）目的要求通過微分方程建模和Mathematica軟件，研究蹦極跳運動。主要內容在不考慮空氣阻力和考慮空氣阻力等多種情況下，研究蹦極跳運動中，蹦極者與蹦極繩設計之間的各種關系。實驗4.5傳染病傳播問題（綜合實驗）目的要求根據傳染病的實際問題建立傳染病傳播的數學模型，體會數學建模的重要意義。掌握微分方程的理論方法在數學建模中的應用。掌握Mathematica軟件在微分方程建模中的應用，以此掌握數學模型的分析方法和技巧。主要內容利用微分方程的理論方法建立傳染病傳播問題的數學模型，并利用Mathematica軟件對其進行計算與分析研究。課程與其它課程的聯(lián)系高等數學是理工科各專業(yè)重要的必修基礎課，通過這門課程的學習，將為理工科各專業(yè)的學習打下堅實的基礎。這門課程的學習也將為今后各專業(yè)課程的學習建立必要的知識儲備，開闊學生的眼界、豐富知識的結構、培養(yǎng)學生的分析問題與解決問題的能力。沒有高等數學課程的學習，將無法進行其它后續(xù)課程的學習。教材