湖南省2022屆高三六校聯(lián)考數(shù)學模擬試題

2022年湖南省六校(湖南師大附中長沙市一中常德市一中株洲市二中湘潭市一中)聯(lián)考數(shù)學試題（理科）時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．集合 （） A．M B．N C．{0，1，2} D．{1}2．復數(shù)（a為實數(shù)）在復平面上對應的點位于第一象限，則a的取值范圍是（） A． B． C． D．3．在等差數(shù)列中，則此數(shù)列前的20項之和等于 （） A．50 B．60 C．70 D．804．若動直線與函數(shù)的圖象分別交于M、N兩點，則|MN|的最大值為 （） A． B．1 C．2 D．35．設(shè)雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點相同，離心率為2，則此雙曲線的方程為 （） A． B． C． D．6．如圖，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是邊BC上的高，則的值等于（）A．0 B．12 C．24 D．—127．已知等比數(shù)列的公比為q，且有，則首項x1的取值范圍是（）A． B．C． D．8．定義域和值域均為（常數(shù)a>0）的函數(shù)和的圖象如圖所示，給出下列四個命題 ①方程有且僅有三個解； ②方程有且僅有三個解； ③方程有且僅有九個解； ④方程有且僅有一個解；那么，其中正確命題的個數(shù)是 （）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分.將答案填在題中橫線上.9．一名高三學生希望報名參加某6所高校的3所學校的自主招生考試，由于其中兩所學校的考試時間相同，因此，該學生不能同時報考這兩所學校，則該學生不同的報名方法種數(shù)是（用數(shù)字作答）10．若，且a=669b，則n=.11．頂點在坐標原點，焦點在直線上的拋物線的標準方程是.12．已知+與0的大小關(guān)系為.13．已知函數(shù)在區(qū)間[—1，2]上是減函數(shù)，則b+c的最大值是.14．兩個腰長為1的等腰Rt△ABC1和等腰Rt△ABC2所在平面成60°的二面角，則兩點C1和C2之間的距離有種不同的值，其中一個距離為.15．定義：已知兩數(shù)a，b，按規(guī)則得到一個數(shù)c，使稱c為“湘數(shù)”，現(xiàn)有數(shù)1和4，①按上述規(guī)則操作三次后得到的最大“湘數(shù)”為61；②2022不是“湘數(shù)”；③c-1總能被2整除；④c-1總能被10整除，其中正確的說法是.（寫出所有滿足要求的序號）.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16．（本小題滿分12分）△ABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知（1）試判斷△ABC的形狀；（2）若的大小.17．（本小題滿分12分） 甲、乙兩個奧運會舉辦城市之間有7條網(wǎng)線并聯(lián)，這7條網(wǎng)線能通過的信息量分別為1，1，2，2，2，3，3（信息流量單位），現(xiàn)從中任選三條網(wǎng)線，設(shè)可通過的信息量為若可通過的信息量≥6，則可保證信息通暢（1）求線路信息通暢的概率；（2）求線路可通過的信息量的分布列和數(shù)學期望18．（本小題滿分12分） 如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，ABD和BCD均為等邊三角形，AB=2， AC=（1）求證：AO⊥平面BCD；（2）求二面角A—BC—D的大??；（3）求O點到平面ACD的距離19．（本小題滿分13分） 為了綠化某一塊荒地，3月份某單位決定在如圖的每一點（）處植一棵樹，其中（a＞1，i＞1，2，…），規(guī)定（1）在由這些樹連接而成的折線P0P1P2…Pn與坐標軸及直線l：x=Sn(n=1,2…)圍成的區(qū)域中種植綠草，設(shè)草坪面積為An，求An及An；（2）若存在正整數(shù)n，使得草坪面積超過a2，求a的取值范圍20．（本小題滿分13分）橢圓C的中心為原點O，短軸端點分別為B1、B2，右焦點為，若為正三角形.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過橢圓C內(nèi)一點作直線l交橢圓C于M、N兩點，求線段MN的中點P的軌跡方程；（3）在（2）的條件下，求面積的最大值.21．（本小題滿分13分）已知定義在上的兩個函數(shù)的圖象在點處的切線傾斜角的大小為（1）求的解析式；（2）試求實數(shù)k的最大值，使得對任意恒成立；（3）若，求證：參考答案一、DACCABDB二、9．1610．202211．12．13．14．315．②③三、16．解：（1）由余弦定理得：是以角C為直角的直角三角形.……6分（2）中………………①………………②②÷①得，則……12分17．解：（1）因為……（2分） ……………………（4分） 所以線路信息通暢的概率為………（6分）（2）的所有可能取值為4，5，6，7，8 ……………（9分） ∴的分布列為45678P …………………………（10分）∴E=4×+5×+6×+7×+8×=6……（12分）18．解：解法一：（1）證明：連結(jié)OC，∵ABD為等邊三角形，O為BD的中點，∴AO垂直BD………………（1分） ∴AO=CO=………………………（2分） 在AOC中，AC=，∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=900，即AO⊥OC ∴BDOC=O，∴AO⊥平面BCD…………………（3分）（2）過O作OE垂直BC于E，連結(jié)AE，∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影為OE∴AE⊥BC∠AEO為二面角A—BC—D的平面角………（7分） 在RtAEO中，AO=，OE=，∠， ∴∠AEO=arctan2 二面角A—BC—D的大小為arctan2 （3）設(shè)點O到面ACD的距離為∵VO-ACD=VA-OCD，∴ 在ACD中，AD=CD=2，AC=， 而AO=，，∴ ∴點O到平面ACD的距離為…（12分）解法二：（1）同解法一 （2）以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標系， 則O（0，0，0），A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（-1，0，0） ∵AO⊥平面DCD， ∴平面BCD的法向量=(0,0,)…………（5分） 設(shè)平面ABC的法向量， ， 由設(shè)與夾角為， 則 ∴二面角A—BC—D的大小為arccos…………（8分）（3）解：設(shè)平面ACD的法向量為又………………（11分）設(shè)與夾角為，則設(shè)O到平面ACD的距離為，∵,∴O到平面ACD的距離為……………………（12分）19．解：（1）.…共線，該直線過點P1（a,a），斜率為……3分當時，An是一個三角形與一個梯形面積之和（如上圖所示），梯形面積是于是故…………7分（2）結(jié)合圖象，當，……10分而當，故當1<a>2時，存在正整數(shù)n，使得……13分20．解：（1）設(shè)橢圓C的標準方程為，又為正三角形，a=2b,結(jié)合∴所求為……2分（2）設(shè)P（x,y）M（），N（），直線l的方程為得，……4分………………6分又且滿足上述方程，………………7分