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概率論與統(tǒng)計大數(shù)定律第1頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五一、問題的提出二、隨機變量序列的收斂性第一節(jié)大數(shù)定律三、常用的四種大數(shù)定律第2頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五一、問題的提出在第一章有關(guān)概率的統(tǒng)計定義中講到,隨機現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗中呈現(xiàn)明顯的統(tǒng)計規(guī)律性,即事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性.貝努里于1713年首先提出關(guān)于頻率穩(wěn)定性的定理,被稱為貝努里大數(shù)定律.第3頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率生產(chǎn)過程中的廢品率字母使用頻率在實踐中,人們認(rèn)識到大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性.大數(shù)定律就是用于研究大量隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性的理論.大數(shù)定律的客觀背景第4頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五二、隨機變量序列的收斂性
定義4.1的分布函數(shù)分別為和若在的所有連續(xù)點
上都有
則稱隨機變量序列
依分布收斂與隨機變量Y,簡記為和隨機變量Y
設(shè)隨機變量第5頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五依分布收斂表示:當(dāng)n充分大時,
的分布函數(shù)收斂于Y的分布函數(shù)
它是概率論中較弱的一種收斂性.定義4.2任意實數(shù)有或和隨機變量Y,若對設(shè)隨機變量序列第6頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五則稱隨機變量序列
依概率收斂與隨機變量Y,簡記為依概率收斂表示:
與Y的絕對誤差小于任意小大,直至趨于1.定理4.1為一隨機變量序列,且
(常數(shù)),又函數(shù)
在點C處連續(xù),則有的可能性(即概率)將隨著n增大而愈來愈的正數(shù)
設(shè)第7頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五證由
在C處連續(xù)可知,對任意實數(shù)
存在實數(shù)
使當(dāng)
時,總有
從而這就表明:
第8頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五定義4.3和隨機變量對時,有和
,若
則稱隨機變量序列階收斂于隨機變量Y,簡記為設(shè)隨機變量序列
第9頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五
特別的有1-階收斂又稱為平均收斂,2-階收斂又稱為均方收斂??梢宰C明:均方收斂則平均收斂。第10頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五
定義4.4設(shè)隨機變量序列和隨機變量,若
或簡記為以概率1(或幾乎處處)收斂于隨機變量簡記為
。則稱隨機變量序列以概率1(或幾乎處處)第11頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五下面定理揭示了四種收斂之間的關(guān)系。。(3)若,則和隨機變量定理4.2設(shè)隨機變量序列
(1)若,則(2)若,則。(4)若,則第12頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五定義4.5三、常用的四種大數(shù)定理令第13頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五定理4.3切比謝夫大數(shù)定律第14頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五證第15頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五注1
這種接近是概率意義下的!通俗地說,在定理條件下,n個隨機變量的算術(shù)平均值,當(dāng)n無限增加時,幾乎變成一個常數(shù).第16頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五2
切比謝夫大數(shù)定理的另一種敘述第17頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五解設(shè)X1,X2,,
Xn
是獨立同分布的隨機變量例1第18頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五從而對任意給定的0,由切比謝夫不等式得第19頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五解設(shè)隨機變量相互獨立,具有如下分布律:問是否滿足切比謝夫大數(shù)定理?由題意可知獨立性.可見,每個隨機變量的數(shù)學(xué)期望都存在.檢驗是否有數(shù)學(xué)期望例2第20頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五檢驗是否有有限方差故滿足切比謝夫大數(shù)定理的條件.第21頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五定理4.4定理4.5貝努里大數(shù)定理第22頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五證由定理4.3對任意的0,有第23頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五證畢.第24頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五注1
用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)頻率的穩(wěn)定性!當(dāng)n很大時,事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小.在實際應(yīng)用中,當(dāng)試驗次數(shù)很大時,便可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率.第25頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五都有定理4.6泊松大數(shù)定理證令由定理4.3可得結(jié)論.第26頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五注1
與切比謝夫大數(shù)定理相比,不要求方差存在且有界.2
貝努里大數(shù)定理是辛欽大數(shù)定理的特例.定理4.7辛欽大數(shù)定理第27頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五設(shè)隨機變量獨立同分布,證明對任意解例3由辛欽大數(shù)定理知,第28頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五設(shè)f(x)
(axb)
是連續(xù)函數(shù),試用概率論方法近似計算積分.解設(shè)|f(x)|的一個上界為M(M>0),f(x)的最小值為h,則故不妨假定0
f(x)1,引進新變量z:x
(ba)za后,可將x軸上的區(qū)間[a,b]變?yōu)閦軸上[0,1],
故不妨設(shè)a
0,b
1.例4Oyxy=f(x)A11第29頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五考慮幾何型隨機試驗E:向矩形0x1,0y1中均勻分布地擲點,將E獨立地重復(fù)做下去,以A表示此矩形中曲線y
f(x)下的區(qū)域,即A={(x,y):0yf(x);x[0,1]}并定義隨機變量序列則{Xk:k1}獨立同分布,而且E(Xk)
P(Xk
1)
|A|第30頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五|A|表示A的面積,由貝努里大數(shù)定理知這表示當(dāng)n充分大時,前n次試驗中落于A中的點數(shù)除以n后,以任意接近于1的概率與近似.這種近似計算法叫蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法.第31頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五四個大數(shù)定理內(nèi)容小結(jié)頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ),而貝努里大數(shù)定理以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)形式論證了頻率的穩(wěn)定性.第32頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五再見第33頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五設(shè)Xn為獨立同分布的隨機變量序列,其共同分布為例3-1試問Xn是否服從大數(shù)定律?即EXn存在,由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定律.解備用題第34頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五貝努里(JacobBernoulli)1654-1705提出貝努里大數(shù)定理,建立了貝努里概型.在無窮級數(shù)理論、變分法和概率論等反面都有貢獻.瑞士人,貝努里家族的三大杰出的數(shù)學(xué)家之一.首先發(fā)展無窮小分析,1960年提出懸連線問題,首創(chuàng)積分“integral”這一術(shù)語.第35頁,共37頁,2023年,2月20日,星期五切比謝夫(PafnutyChebyshev)1821-1894俄國數(shù)學(xué)家、機械學(xué)家.對數(shù)論、積分理論、概率論和力學(xué)都有很大貢獻.證明了貝爾特蘭公式,關(guān)于自然數(shù)列中素數(shù)分布的定理,大數(shù)定律的一般公式以及中心極限定理.創(chuàng)立了
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