圖形的位似(知識解讀)

專題4.3圖形的位似(知識解讀)

【直擊考A]

【老燈目標(biāo)】

1.了解圖形的位似，明確位似變換是特殊的相似變換；

2.能利用位似的方法，將一個圖形放大或縮小；

【知汆點梳理】

考點1位似圖形的概念

如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點，那么這樣

的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.

考點2位似圖形的性質(zhì)

(1)位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一條直線上；

(2)位似圖形的對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比；

(3)位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.

注意：

(1)位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未

必能構(gòu)成位似圖形.

(2)位似變換中對應(yīng)點的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位

似中心，相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或-k.

考點3平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)和位似四種變換的異同

圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱的變換后，雖然對應(yīng)位置改變了，但大小和形狀沒有改變,

即兩個圖形是全等的；而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的

考點4作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個關(guān)鍵點，并任取一點作為位似中心;

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點的對應(yīng)點，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接各對應(yīng)點.

注意：

位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點，下面是位似中

心不同的畫法.

【考點1位似圖形性質(zhì)】

【典例1】（2022?重慶）如圖，aABC與△￡>￡尸位似，點。是它們的位似中心，且相似比

為1：2,則△ABC與△OEF的周長之比是（）

【變式1-1]（2021秋?瑞安市期末）如圖，△ABC與是位似圖形，。為位似中心,

位似比為2：3.若A8=4,則。E的長為（）

E

A.6B.8C.9D.10

【變式1-2］（2022?重慶）如圖，△4BC與△￡）￡尸位似，點。為位似中心，相似比為2：3.若

△A8C的周長為4,則的周長是（）

【典例2】（2021?江北區(qū)校級模擬）如圖，△4BC與AA'B'C是位似圖形，O是位似

中心，若△ABC與AA'B'C的面積之比為1：4,貝l］CO：C'0的值為（）

【變式2-2］（2021春?渝中區(qū)校級期末）如圖，△ABC與△OEF是位似圖形，且位似中心

【變式2-3］（2021春?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，以點。為位似中心，將△ABC放大后得

到△A'8'C,已知08：OB'=2：3,則△ABC與△ABC的面積之比為（）

A

BfB、。

A.1：3B.1：9C.2：3D.4：9

【考點2位似圖形的點坐標(biāo)】

【典例3]（2022?長沙模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2,0）,B（4,3）,

D（5,0）,△ABC與△OE尸位似，原點。是位似中心，則E點的坐標(biāo)是（）

【變式3-1]（2022?揭陽四模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（-4,2）,B（-6,-4）,

以原點。為位似中心，相似比為工，把△ABO縮小，則點B的對應(yīng)點8'的坐標(biāo)是（）

2

A.（-3,-2）B.（72,-8）

C.（-3,-2）或（3,2）D.（-12,-8）或（12,8）

【變式3-2]（2022?嘉興二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以P（0,-1）為位似中心,

在y軸右側(cè)作△ABP放大2倍后的位似圖形若點8的坐標(biāo)為（-2,-4），則

點B的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為（）

【考點3判定位似中心】

【典例4】（2022?竦州市模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ZVIBC與△OOE是位似

圖形，則它們的位似中心的坐標(biāo)是（)

【變式4-1］（2022?路南區(qū)一模）如圖，正方形OEFG和正方形ABCO是位似圖形，且點

【變式4-2］（2020秋?江陰市校級月考）如圖，AOE尸是△4BC經(jīng)過位似變換得到的，位

似中心是點0,請確定點。的位置，如果OC=3.6c/n,OF=2Acm,求它們的相似比.

【考點4位似圖形的判定】

【典例5】（2019秋?唐山期末）如圖，BD,4c相交于點尸，連接A3,BC,CD,DA,Z

DAP=NCBP.

(1)求證：△ADPsWCP；

(2)直接回答△4OP與△BCP是不是位似圖形?

(3)若AB=8,CD=4,DP=3,求4P的長.

【變式5-1](2018秋?邵陽縣期末)如圖，如果AC〃BO,CE//DF,那么△ACE與△8DF

【變式5-2】如圖，點A,。在NXOF的邊OX上，點8,E在OY邊上，射線OZ在/XOY

內(nèi)，且點C,F在OZ上，AC//DF,BC//EF.旭=

DF7

(1)試說明aABC與AOE尸是位似圖形；

(2)求△ABC與△￡)￡尸的位似比.

【考點5畫位似圖形放大后的的位似圖形】

【典例6】(2019秋?錫山區(qū)期末)己知△48C三頂點的坐標(biāo)分別為A(0,2)、B(3,3)、

C(2,I).

(1)畫出△ABC；

(2)以B為位似中心，將AABC放大到原來的2倍，在右圖的網(wǎng)格圖中畫出放大后的圖

形△A1B。；

似比為上.

【變式6-2](2016春?威海期末)如圖△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A(1,1),B(2,3),

C(3,0).

(1)以點O為位似中心畫使它與AABC位似，且相似比為2.

(2)在(1)的條件下，若M(a,h)為△ABC邊上的任意一點，則△OEF的邊上與點

【變式6-3](2022?馬鞍山二模)如圖11義7的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位

長度，點A、B、C都在格點上(兩條網(wǎng)格線的交點叫格點)

(1)在線段8c下方用無刻度直尺作出一點O,使得OA=OC

(2)以。為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，得對應(yīng)△A5C,請在網(wǎng)格中作出

△A'8'C.

【考點6平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)和位似】

【典例7】(2022?雨山區(qū)二模)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，△ABO的頂點均在格

點上，點4,8的坐標(biāo)分別是A(2,2),8(1,3),把△ABO繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°

后得到△A181O.

(1)畫出△48i。，直接寫出點Ai，BI的坐標(biāo)；

(2)計算在旋轉(zhuǎn)過程中，△AB。所掃過的面積.

(3)以原點。為位似中心，位似比為2,在第三象限畫出△ABO放大后的△出歷。

【變式7-1](2022?安徽三模)如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的

頂點均在格點(網(wǎng)格線的交點)上.

(1)將△ABC向右平移2個單位得到△A18C1,畫出AAi81cl.

(2)將△ABC以點C為位似中心放大2倍得到282c2,在網(wǎng)格中畫出△AB2c2.

【變式7-2](2022?廣西模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(-2,-5),B(-

3,-1)、C(-5,-4).

(1)畫出將△ABC向上平移6個單位長度后對應(yīng)的△A131G；

(2)以點0為位似中心,工為位似比，在第一象限內(nèi)，畫出AABC的位似圖形△4282C2；

2

(3)點M是BC的中點，請直接寫出點"分別在△ABiCi和282c2中的對應(yīng)點M

和M2的坐標(biāo).

【變式7-3](2022?賓陽縣二模)如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知AABC三個頂點的坐標(biāo)分

別為A(3,3),8(4,0),C(0,2).

(1)請畫出與△ABC關(guān)于x軸對稱的△4B1C1.

(2)以點。為位似中心，將△A3C縮小為原來的』，得到232c2,請在y軸的右側(cè)

2

畫出Z\A282c2.

(3)在y軸上存在點P,使得△OAi尸的面積為6,請直接寫出滿足條件的點尸的坐標(biāo).

專題4.3圖形的位似(知識解讀)

【直擊考點】

【皆引目標(biāo)】

1.了解圖形的位似，明確位似變換是特殊的相似變換；

2.能利用位似的方法，將一個圖形放大或縮小；

【知但魚梳理】

考點1位似圖形的概念

如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點，那么這樣

的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.

考點2位似圖形的性質(zhì)

(2)位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一條直線上；

(2)位似圖形的對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比；

(3)位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.

注意：

(1)位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未

必能構(gòu)成位似圖形.

(2)位似變換中對應(yīng)點的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位

似中心，相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或-k.

考點3平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)和位似四種變換的異同

圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱的變換后，雖然對應(yīng)位置改變了，但大小和形狀沒有改變,

即兩個圖形是全等的；而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的

考點4作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個關(guān)鍵點，并任取一點作為位似中心;

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點的對應(yīng)點，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接各對應(yīng)點.

注意：

位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點，下面是位似中

心不同的畫法.

C

<\

日二、、、、、f、、、B1

BB

(1)(2)

：--------------------BAA，0B，BA(A,)B'B

(3)(4)(5)

LAMf】

【考點i位似圖形性質(zhì)】

【典例1】(2022?重慶)如圖，△ABC與△OEF位似,點。是它們的位似中心，且相似比

為1：2,則△ABC與△OEF的周長之比是()

A.1：2B.1：4C.1：3D.1：9

【答案】A

【解答】解：與△￡)￡：尸位似,點。是它們的位似中心，且相似比為1：2,

.?.△ABC與/XOEF的周長之比是1：2,

故選:A.

【變式1-1]（2021秋?瑞安市期末）如圖，△ABC與△￡>《/是位似圖形，O為位似中心,

位似比為2：3.若AB=4,則OE的長為（）

A.6B.8C.9D.10

【答案】A

【解答】解：??.△ABC與AOEF是位似圖形，位似比為2：3,

：.Afi：DE=2：3.

'：AB=4,

:.DE=6.

故選：A.

【變式1-2]（2022?重慶）如圖,ZXA3C與△DEF位似,點。為位似中心，相似比為2：3.若

△A8C的周長為4,則△ZJEF的周長是（）

【答案】B

【解答】解：'.,△ABC與△￡>￡：/位似，相似比為2：3.

CAABC：CADEF=2：3,

的周長為4,

二△￡>￡■/*'的周長是6,

故選：B.

【典例2】（2021?江北區(qū)校級模擬）如圖，△ABC與aA'B'C是位似圖形，O是位似

中心，若△ABC與AA'B1C的面積之比為1：4,貝ICO：CO的值為（)

B

【答案】A

【解答】解：如圖，AABC與B'C是位似圖形，。是位似中心，若△ABC與△4'

B'C'的面積之比為1：4,則△A8C與△/!'B'C'的相似比為1：2.

「△ABC與B'C是位似圖形，

:.叢BCOs叢B'CO'.

：.C0-.CO=BC：B'C'=1：2.

故選：A.

【變式2-2］（2021春?渝中區(qū)校級期末）如圖，△ABC與是位似圖形，且位似中心

為O,OB：OE=2：3,若△ABC的面積為4,則△OEF的面積為（）

A.2B.6C.8D.9

【答案】D

【解答】解：:△ABC與△￡>￡：/是位似圖形，且位似中心為O,OB：0E=2：3,

：.AB：DE=OB：0E=2：3,

,:△ABC-XDEF、

S

.AABC_(AB)2=(_2)2=生

^ADEFDE39

=

SAD￡F=_5Z\ABC=—X49.

44

故選：D.

【變式2-3](2021春?沙坪壩區(qū)校級月考)如圖，以點。為位似中心，將△48C放大后得

【答案】D

【解答】解：由位似變換的性質(zhì)可知，A'B'//AB,A'C//AC,

..0A'=0B'=3

OAOB~2

.A'C'=0A'=3

ACOA~2'

.?.△AB'C與△ABC的相似比為3：2.

.,.△ABC與△A'B'C的面積之比為4：9.

故選：D.

【考點2位似圖形的點坐標(biāo)】

【典例3](2022?長沙模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2,0),B(4,3),

D(5,0),△ABC與立似，原點O是位似中心，則E點的坐標(biāo)是()

【答案】C

【解答】解：???△A8C與AOEF位似，原點。是位似中心，

而A（2,0）,。（5,0）,

二AABC與△OEF的位似比為2,

5

,:B（4,3）,

.?.E點的坐標(biāo)是為（4x8,3x5）,即（10,7.5）.

22

故選：C.

【變式3-1］（2022?揭陽四模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點4（-4,2）,8（-6,-4）,

以原點。為位似中心，相似比為工，把△ABO縮小，則點8的對應(yīng)點）的坐標(biāo)是（）

2

A.（-3,-2）B.（-12,-8）

C.（-3,-2）或（3,2）D.（-12,-8）或（12,8）

【答案】C

【解答】解：???以原點。為位似中心，相似比為工，把AABO縮小，點B的坐標(biāo)為（-

2

6,-4）,

二點8的時應(yīng)點8'的坐標(biāo)為（-6X_1,-4X_1）或（6X工，4X_1）,即（-3,-2）

2222

或（3,2）,

故選：C

【變式3-2】（2022?嘉興二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以尸（0,-1）為位似中心,

在y軸右側(cè)作△ABP放大2倍后的位似圖形△OCP,若點B的坐標(biāo)為（-2,-4）,則

點B的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為（）

ycD

A.(4,5)(4,6)C.(2,4)D.(2,6)

【答案】A

【解答】解：以點戶為坐標(biāo)原點，原），軸為），軸建立新的平面直角坐標(biāo)系,

則點B在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（-2,-3）,

,//XABP與△DCP的位似比為1：2,

.?.點C在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(4,6),

則點C在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(4,5),

故選:A.

【考點3判定位似中心】

[典例4]（2022?竦州市模擬）如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC與△OOE是位似

()

C.(4,2)D.(3,4)

【答案】C

【解答】解：連接并延長交于點P,

則點P為位似中心,

山平面直角坐標(biāo)系可知，點P的坐標(biāo)為（4,2）,

故選：C.

【變式4-1］（2022?路南區(qū)一模）如圖，正方形OEFG和正方形A8C。是位似圖形，且點

【答案】A

【解答】解：???點/與點C是一對對應(yīng)點，可知兩個位似圖形在位似中心同旁，位似中

心就是C尸與x軸的交點，

設(shè)直線GD解析式為y=kx+b,

將。（2,2）,G（0,1）,代入，

得［2k+b=2,4

Ib=l

解得『2，

b=l___

即y=JLx+l,

,2

令y=0得工=-2,

：.0’坐標(biāo)是（-2,0）；

故選:A.

【變式4-2］（2020秋?江陰市校級月考）如圖，△￡＞四是△A8C經(jīng)過位似變換得到的，位

似中心是點。，請確定點。的位置，如果OC=3.6cm,OF=2Acm,求它們的相似比.

【解答】解：連接A，C尸交于點

則點0即為所求;

?OC=3.6。%,OF=2.4。??，

AOC：OF=3：2,

【考點4位似圖形的判定】

【典例5】(2019秋?唐山期末)如圖，BD,4c相交于點尸，連接A3,BC,CD,DA,Z

DAP=ZCBP.

(1)求證：△AOPS/^BCP；

(2)直接回答△49P與△BCP是不是位似圖形?

(3)若A8=8,C￡>=4,DP=3,求AP的長.

【解答】(1)證明：/D4P=/CBP,ZDPA^ZCPB,

二△ADPs/XBCP；

(2)解：△ADP與△8C。不是位似圖形,

因為它們的對應(yīng)點的連線不平行；

⑶解：'：^ADP^^BCP,

...星=里又NAPB=NDPC,

DPCP

/XAPBsADPC,

?AP-ABHnAP-8

PDCD34

解得，AP=6.

【變式5-1］（2018秋?邵陽縣期末）如圖，如果AC〃8。，CE//DF,那么△ACE與△8QF

是位似三角形嗎？為什么？

【解答】解：/XACE與△BO尸是位似三角形,

理由：?:AC//BD,CE//DF,

.?.毀=叟OE=OCt

"OB0D'OF0D'

A0A0E,

"OB=OF'

又,:NAOE=NBOF,

:.△OAEs/\OBF,

:.NOAE=NOBF,

J.AE//BF,

又/XACE與ABDF對應(yīng)點相交于點O,

：./\ACE與△BOF是位似三角形.

【變式5-2】如圖，點A,。在/xoy的邊ox上，點8,E在oy邊上，射線oz在/xoy

內(nèi)，且點C,尸在OZ上，AC//DF,HC//EF.里="

DF7

(1)試說明△A8C與△QEF是位似圖形；

(2)求△ABC與△OE尸的位似比.

【解答】解:(I)'.'AC//DF,HC//EF,

：.ZDFO=ZACO,NOFE=NOCB,PA=OC=AC；歿=幽,

ODOFDFOFEF

：.ZDFE=ZACB,維_=段，

DFEF

二/\ABC與ADEF是位似圖形;

(2):八鉆。與△OEF是位似圖形，柜

DF7

.?.△ABC與△OE尸的位似比為：A.

7

【考點5畫位似圖形放大后的的位似圖形】

【典例6】(2019秋?錫山區(qū)期末)已知△ABC三頂點的坐標(biāo)分別為A(0,2)、B(3,3)、

C(2,1).

(1)畫出△ABC；

(2)以B為位似中心，將△ABC放大到原來的2倍，在右圖的網(wǎng)格圖中畫出放大后的圖

形△4BCi；

（3）寫出點A的對應(yīng)點Ai的坐標(biāo)：

（2）把原三角形的三邊對應(yīng)的縮小或放大一定的比例即可得到對應(yīng)的相似圖形.

所畫圖形如下所示：

它的三個對應(yīng)頂點的坐標(biāo)分別是：（-3,1）、（3,3）、（1,-1）.

(3)利用(2)中圖象，直接得出答案.

故答案為：(-3,1).

【變式6-1](2019秋?西城區(qū)期末)如圖，△ABO三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-2,4),8

(-4,0),。(0,0)，以原點O為位似中心，畫出一個三角形，使它與△AB。的相

似比為工

【解答】解：如圖所示：B'。即為所求.

【變式6-2](2016春?威海期末)如圖△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A(1,1),B(2,3),

C(3,0).

(1)以點。為位似中心畫使它與△ABC位似，且相似比為2.

(2)在(1)的條件下，若M(a,b)為aABC邊上的任意一點，則△OE尸的邊上與點

M對應(yīng)的點M'的坐標(biāo)為.

【解答】解：(1)如圖，和△￡>'E'F'為所作;

(2)點M對應(yīng)的點M'的坐標(biāo)為(2°,2b)或(-2a,-2/?).

故答案為(2a,2%)或(-2a,-2b).

【變式6-3](2022?馬鞍山二模)如圖11X7的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位

長度，點A、B、C都在格點上(兩條網(wǎng)格線的交點叫格點)

(1)在線段8c下方用無刻度直尺作出一點。，使得OA=OC

(2)以。為位似中心，將aABC放大為原來的2倍，得對應(yīng)△AEC,請在網(wǎng)格中作出

△A'B'C.

【解答】解：(1)如圖，點。為所作;

【考點6平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)和位似】

【典例7】(2022?雨山區(qū)二模)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，△A80的頂點均在格

點上，點A,B的坐標(biāo)分別是A(2,2),8(1,3),把△ABO繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°

后得到△AiBiO.

(1)畫出△A1B1O,直接寫出點4，Bi的坐標(biāo)；

(2)計算在旋轉(zhuǎn)過程中，△ABO所掃過的面積.

(3)以原點。為位似中心，位似比為2,在第三象限畫出△AB。放大后的△A2&O.

【解答】解：(1)如圖所示，△AiB。，即為所求；4,B\的坐標(biāo)分別為(-2,2),

(-3,1)；

(2)05=(12+32=倔，AB=?,0A=2五,

.\OB2=OA2+AB2,

是直角三角形，

/?ZOAB=90°