立體幾何之三垂線定理

立體幾何之三垂線定理第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一寫在前面的話高三同學在對立體幾何的基本知識進行了系統(tǒng)的復習之后，對于比較重要的定理、概念以及在學習過程中感到難于掌握的問題進行綜合性的專題復習是很必要的。在專題復習中應(yīng)通過分類、總結(jié)，提高對所學內(nèi)容的認識和理解。今天我和大家共同探討高中立體幾何中的三垂線問題。第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一寫在前面的話學習三垂線定理中，感到困難的是分辨直線與直線之間的位置關(guān)系，加上往往題目中線條較多，加大了判斷難度。另外，許多同學對定理內(nèi)容不清楚，導致做題時思路混亂。我們首先來說明以下幾點，以澄清定理內(nèi)容：第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三垂線定理說明（1）對于平面α的斜線OP，在平面α內(nèi)必存在射影OA第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三垂線定理說明（2）如果平面α內(nèi)的直線a垂直于斜線OP的射影OA，那么α必垂直于斜線OP；反之也成立第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三垂線定理說明（3）滿足條件（2）的直線a必垂直于斜線及射影所確定的平面第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三垂線定理說明（4）運用三垂線定理及逆定理的規(guī)律：確定平面、找到斜線、找到（做出）垂線、連成射影、查面內(nèi)線第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三垂線定理說明（5）關(guān)于三垂線定理及逆定理的圖形，有以下三種情況：①直線a可能過O點；②直線a可能與OA相交；③直線a可能與AO或OA的延長線相交第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一舉兩個例子①直線a可能過O點第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一舉兩個例子第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一舉兩個例子③直線a可能與AO或OA的延長線相交第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一舉兩個例子第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三垂線定理說明（6）平行于平面α的直線a，如果垂直于斜線OP在平面α內(nèi)的射影OA，那么直線a也垂至于斜線OP，它在解某些較復雜的問題時可能化難為易第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一舉一個例子第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一舉一個例子第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三垂線定理說明（7）大家往往習慣于在水平放置地平面上運用三垂線定理，而在豎直或傾斜放置的平面上需用三垂線定理解題時，即使是很明顯的問題，有時也會感到力不從心。應(yīng)明確的是，三垂線定理及其逆定理的適用與平面所在的位置無關(guān)?？勺鲆恍┚毩暭由钸@種印象。第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一舉一個例子第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一舉一個例子第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三垂線定理說明（8）應(yīng)用這兩個定理時，首先要明確是針對哪個平面應(yīng)用定理，尤其是應(yīng)注意此平面非水平面放置的情況，然后再明確斜線、垂線、斜線的射影及面內(nèi)直線的位置，有時需要添加其中某些線，這樣可以確保正確應(yīng)用定理第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三垂線定理應(yīng)用歸類判定空間中兩條直線相互垂直求平面外一點到平面內(nèi)一條定直線的距離求二面角的平面角第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一些例子判定空間中兩條直線相互垂直第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一些例子判定空間中兩條直線相互垂直第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一些例子判定空間中兩條直線相互垂直第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一些例子求平面外一點到平面內(nèi)一條定直線的距離第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一些例子求平面外一點到平面內(nèi)一條定直線的距離第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一些例子求平面外一點到平面內(nèi)一條定直線的距離說明：這種求平面外一定點到平面內(nèi)一條定直線的距離的問題，一般方法是過定點做平面的垂線，再過垂足作定直線的垂線，找到這條垂線與定直線的交點，則定點和交點的距離就是所求的距離。這種運用三垂線定理的練習十分多，