第十七章定量分析的誤差和分析結(jié)果的數(shù)據(jù)處理

第十七章定量分析的誤差和分析結(jié)果的數(shù)據(jù)處理第1頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一第十七章定量分析的誤差和分析結(jié)果的數(shù)據(jù)處理

學(xué)習(xí)要求★

掌握有效數(shù)字的意義及其運(yùn)算規(guī)則，可疑值的取舍方法?！?/p>

理解定量分析誤差產(chǎn)生的原因及表示方法。★

了解提高分析結(jié)果準(zhǔn)確度的方法?！镎莆辗治鼋Y(jié)果有限實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方法。★*

了解實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理的意義。第2頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一§17-1有效數(shù)字一、有效數(shù)字有效數(shù)字是實(shí)際能測(cè)量得到的數(shù)字。它由一個(gè)數(shù)據(jù)中所有的確定數(shù)字再加一位不確定數(shù)字組成。數(shù)字的保留位數(shù)由測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)確度決定。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)應(yīng)包含兩個(gè)內(nèi)容：

1、反映所測(cè)定的量是多少；

2、反映數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度。第3頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一例1：滴定管讀數(shù)，甲讀為23.43ml乙讀為23.42ml丙讀為23.44ml

前三位數(shù)字是準(zhǔn)確的，第四位是不確定的數(shù)值，有±0.01的誤差。有效數(shù)字中只允許保留一位不確定的數(shù)字。例2：指出下列各數(shù)字的有效位數(shù)。

1.22580.22580.00220.2200第4頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一有效數(shù)字的記位規(guī)則記錄的儀器能測(cè)定的數(shù)據(jù)都記位關(guān)于數(shù)據(jù)中“0”的規(guī)定分析化學(xué)計(jì)算中的分?jǐn)?shù)倍數(shù)關(guān)系、對(duì)數(shù)值第5頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一有效數(shù)字的保留原則：必須與所用的分析方法和使用儀器的準(zhǔn)確度相適應(yīng)。例：分析天平稱準(zhǔn)0.5g記為：0.5000g臺(tái)秤稱取0.5g記為：0.5g量筒量取20mL溶液記為：

20mL滴定管放出20mL溶液記為：20.00mL例：0.4252g1.4832g0.1005g0.0104g15.40mL0.001L4位5位4位3位4位1位第6頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

數(shù)據(jù)中的“0”有以下規(guī)定：1、有效數(shù)字中間的“0”是有效數(shù)字。2、有效數(shù)字前面的“0”不是有效數(shù)字。

（只起定位作用）3、有效數(shù)字后面的“0”是有效數(shù)字。

改變單位并不改變有效數(shù)字的位數(shù)。當(dāng)需要在數(shù)的末尾加“0”作定位時(shí)，最好采用指數(shù)形式表示，否則有效數(shù)字的位數(shù)含混不清。第7頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一如重量為25.0mg（3位），若以微克為單位，應(yīng)表示為2.50×104（3位）。若表示為25000，就易誤解為5位有效數(shù)字。改變單位并不改變有效數(shù)字的位數(shù)。第8頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一注意：pH,pM,lgK等有效數(shù)字取決于小數(shù)部分的位數(shù)，因整數(shù)部分只說明該數(shù)的方次。例如：pH=12.68[H+]=2.1×10-13mol/L還有一點(diǎn)要注意：對(duì)于整數(shù)參與運(yùn)算，如：6，它可看作為1位有效數(shù)字；又可看作為無限多個(gè)有效數(shù)字：6.000……。一般以其它數(shù)字來參考。第9頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一有效數(shù)字的修約和計(jì)算規(guī)則修約規(guī)則在運(yùn)算中除應(yīng)保留的有效數(shù)字外，如果有效數(shù)字后面的數(shù)小于5（不包括5）就舍去，如果大于5（不包括5）就進(jìn)位，若等于5：5后沒有數(shù)字（或有0），看前位數(shù)：奇進(jìn)1，偶（包括“0”）舍，不進(jìn)位；5后面有不為0的任何數(shù)，不管5前面是奇數(shù)還是偶數(shù)都進(jìn)。

“四舍六入五成雙”

（5后面沒有不為0的數(shù)字）第10頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

例如：0.24684→0.24680.57218→0.5722101.25

→101.2101.15→101.20.0550

→0.06（5后面數(shù)字為0，看前面）7.06253→7.063(5后面數(shù)字不為零時(shí)，不管5前面是奇是偶都進(jìn))總之：采用小于5舍，大于5進(jìn)，等于5則按單雙的原則來處理。第11頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

數(shù)據(jù)運(yùn)算規(guī)則1、加減法以各數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少者為準(zhǔn)。即以絕對(duì)誤差最大的數(shù)字的位數(shù)為準(zhǔn)。（向離小數(shù)點(diǎn)最近者看齊）例：

50.1+1.45+0.5812=?

原數(shù)絕對(duì)誤差

50.1±0.11.45±0.010.5812±0.0001修約為

50.11.40.6+)52.1312±0.152.1第12頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一2、乘除法是以有效數(shù)字最少的作為保留依據(jù)。即以相對(duì)誤差最大者的位數(shù)為準(zhǔn)。（向有效位數(shù)最少者看齊）。例：

0.0121×25.64×1.05782=?第13頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一0.0121×25.6×1.06=0.328實(shí)際運(yùn)算中可多保留一位“完全數(shù)字”。如

5864÷4.7=?修約后5.9×103÷4.7=1.255×103

=1.3×103

若仍以4.7為準(zhǔn)多保留一位，則為：

5.86×103÷4.7=1.246×103

=1.2×103

顯然，后者更合理。第14頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一3、對(duì)于高含量組分（如>10%）的測(cè)定，一般要求分析結(jié)果有4位有效數(shù)字；對(duì)于中含量組分（1%～10%），一般要求3位有效數(shù)字；對(duì)于微量組分（<1%），一般只要求2位有效數(shù)字。第15頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一§17-2定量分析誤差產(chǎn)生及表示方法17.2.1絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差

分析結(jié)果與真實(shí)值之間的差值稱為誤差。誤差可以分為絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。分析過程中誤差是客觀存在的。絕對(duì)誤差：測(cè)定值（x）與真實(shí)值（xT）之差，用E表示：E=x–xTE=–xT第16頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

誤差越小，準(zhǔn)確度就越高，所以誤差的大小是衡量準(zhǔn)確度高低的尺度，表示測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。例：用分析天平稱取兩物體的重量分別為2.1750克和0.2175克，假定二者的真實(shí)重量各為2.1751克和0.2176克，則兩者的絕對(duì)誤差分別為：第17頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一E1=x1–xT

=2.1750–2.1751=–0.0001（克）E2=x2–xT

=0.2175–0.2176=–0.0001（克）

分析結(jié)果的準(zhǔn)確度用相對(duì)誤差（ER）表示：相對(duì)誤差是絕對(duì)誤差占真值xT

的百分率，即ER=E/xT×100%=（x–xT）/xT×100%上述例子絕對(duì)誤差脫離了重量關(guān)系，而相對(duì)誤差可以用來比較不同情況下測(cè)定結(jié)果的準(zhǔn)確度，更具有實(shí)際意義。第18頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

上述例子兩者的相對(duì)誤差為：ER1=E1/xT1×100%=-0.0001/2.1751×100%=-0.005%ER2=E2/xT2×100%=-0.0001/0.2176×100%=-0.05%相對(duì)誤差越小，準(zhǔn)確度越高；絕對(duì)誤差相等不等于相對(duì)誤差也相等；往往用相對(duì)誤差來比較各種情況下測(cè)定結(jié)果的準(zhǔn)確度。第19頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一正誤差：x>xT

負(fù)誤差：x<xT③、絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差都有正和負(fù)之分。從上例看出：①、被測(cè)物質(zhì)越重（或被測(cè)物質(zhì)含量越大），ER

越小,準(zhǔn)確度高，越可靠；反之，準(zhǔn)確度低，不可靠。②、要求的相對(duì)誤差相同時(shí)，測(cè)量值越大，允許的絕對(duì)誤差越大第20頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一一、系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差也叫可測(cè)誤差，它是定量分析誤差的主要來源，對(duì)測(cè)定結(jié)果的準(zhǔn)確度有較大影響。它是由于分析過程中某些確定的、經(jīng)常的因素造成的，對(duì)分析結(jié)果的影響比較固定。特點(diǎn):

重現(xiàn)性、單向性、可測(cè)性?？赏ㄟ^適當(dāng)?shù)男Ｕ齺頊p小或消除。

根據(jù)誤差的性質(zhì)與產(chǎn)生的原因，可將誤差分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差（偶然誤差）兩類。17.2.2系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差第21頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

產(chǎn)生原因和消除方法：1、方法誤差：（比較嚴(yán)重）原因：分析方法本身不夠完善造成的。例：重量分析中的沉淀溶解或吸附雜質(zhì)。在滴定分析中反應(yīng)不完全，副反應(yīng)等。消除方法：作對(duì)照試驗(yàn)，用已知組分的標(biāo)準(zhǔn)試樣進(jìn)行多次測(cè)定。通過校正系數(shù)校正試樣的分析結(jié)果。標(biāo)準(zhǔn)試樣測(cè)定值標(biāo)準(zhǔn)試樣標(biāo)準(zhǔn)值校正系數(shù)=第22頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一2、儀器和試劑誤差：

原因：儀器不準(zhǔn)、試劑不純引起的誤差。如：分析天平砝碼重量不準(zhǔn)，滴定管、移液管刻度不準(zhǔn)、試劑（包括純水）純度較差，721分光光度計(jì)沒有預(yù)熱就工作等。（純度：工業(yè)純<化學(xué)純<分析純<優(yōu)級(jí)純）第23頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一消除方法：校正儀器和作空白試驗(yàn)。在不加被測(cè)試樣的情況下，按對(duì)試樣的分析步驟和測(cè)量條件進(jìn)行測(cè)定，所得結(jié)果稱為空白值。分析結(jié)果=測(cè)定值

-

空白值第24頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

3、操作(個(gè)人)誤差

原因：在正常操作條件下，由操作人員的主觀原因造成的誤差。消除方法：安排不同的分析人員互相進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，此法稱為“內(nèi)檢”。也可將部分試樣送交其他單位進(jìn)行對(duì)照分析，此法稱為“外檢”。例:習(xí)慣性的試樣分解不完全、沉淀洗滌不完全或洗滌過分;觀察終點(diǎn)顏色偏深或偏淺。

由于粗心馬虎導(dǎo)致的工作過失不能算是操作誤差，發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤結(jié)果不得使用。第25頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

二、隨機(jī)誤差（偶然誤差）定義：或稱不可測(cè)誤差或偶然誤差，由一些偶然因素引起，影響測(cè)定結(jié)果的準(zhǔn)確度和精密度。

此類誤差不能用校正的方法減小和消除，只能通過增加測(cè)定次數(shù)，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法對(duì)測(cè)定結(jié)果作出正確表達(dá)。原因：由難以控制、無法避免的因素（環(huán)境的溫度，濕度，氣壓的微小波動(dòng)，儀器性能的微小變化）所引起的。故又稱不可測(cè)誤差。第26頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一二、隨機(jī)誤差（偶然誤差）

特點(diǎn)：其大小、正負(fù)具有隨機(jī)性，所以稱為不可測(cè)誤差。但多次重復(fù)測(cè)定時(shí)，它符合正態(tài)分布規(guī)律。絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)概率相等，小誤差出現(xiàn)的次數(shù)占絕大多數(shù)，個(gè)別特大誤差出現(xiàn)的次數(shù)極少?？捎谜龖B(tài)分布曲線來表示：第27頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一縱坐標(biāo)：測(cè)定次數(shù)橫坐標(biāo)：誤差

-0+

由圖可看出其規(guī)律性：1、對(duì)稱性，正負(fù)誤差出現(xiàn)的幾率相等。2、單峰性，小誤差出現(xiàn)的機(jī)率大，大誤差出現(xiàn)的機(jī)率小。3、抵償性，平行測(cè)定次數(shù)n→∞時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值E→0。第28頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

通常平行測(cè)定3～4次。要求高時(shí)，測(cè)定10次左右。根據(jù)曲線表明：分析結(jié)果偶然誤差的大小是隨著測(cè)定次數(shù)的增加而減少。第29頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一17.2.3準(zhǔn)確度和精密度準(zhǔn)確度表示測(cè)定值與“真值T

”接近的程度。測(cè)定值越接近真實(shí)值，準(zhǔn)確度越高，誤差也就越小。反之準(zhǔn)確度越低。準(zhǔn)確度就是以誤差大小來衡量的。相對(duì)誤差Er

=絕對(duì)誤差Ea

=

-Tx以相對(duì)誤差的大小判斷測(cè)定的準(zhǔn)確度的高低。a100%ET×第30頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一精密度在相同條件下用同樣方法對(duì)同一試樣多次平行測(cè)定所得數(shù)據(jù)之間相互接近的程度，表現(xiàn)了測(cè)定結(jié)果的重現(xiàn)性。精密度用“偏差”來表示。偏差越小說明分析結(jié)果的精密度越高。所以偏差的大小是衡量精密度高低的尺度。１、算術(shù)平均值

對(duì)同一種試樣，在同樣條件下重復(fù)測(cè)定n次，結(jié)果分別為：x1,x2,xn。nxnxxxxin21?=+++=第31頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

偏差

以偏差大小衡量精密度的高低。

絕對(duì)偏差和相對(duì)偏差

單次測(cè)量值與算術(shù)平均值之差絕對(duì)偏差某次測(cè)量的絕對(duì)偏差占算術(shù)平均值的百分比相對(duì)偏差xxdii-=第32頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

平均偏差相對(duì)平均偏差(relativemeandeviation)

注意：

不計(jì)正負(fù)號(hào)，di則有正負(fù)之分。通常以單次測(cè)量偏差的絕對(duì)值的算術(shù)平均值即平均偏差以及相對(duì)平均偏差來表示精密度。

第33頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

用表示精密度比較簡(jiǎn)單。該法的不足之處是不能充分反映大偏差對(duì)精密度的影響。（比如下圖的“丁”）第34頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)偏差（standarddeviation,SD）用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法處理數(shù)據(jù)時(shí)，常用標(biāo)準(zhǔn)偏差（SD，又稱均方根偏差）來衡量測(cè)定結(jié)果的精密度。而不是用平均偏差來衡量數(shù)據(jù)的精密度。標(biāo)準(zhǔn)偏差：總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ

樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差S(標(biāo)準(zhǔn)差，均方差)第35頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

若樣本容量為n，平行測(cè)定次數(shù)分別為x1，x2，x3，…，xn，則其樣本平均值為：

當(dāng)測(cè)定次數(shù)無限增多，既n→∞時(shí)，樣本平均值即為總體平均值μ：

若沒有系統(tǒng)誤差，且測(cè)定次數(shù)無限多（或?qū)嵱蒙蟦＞30次）時(shí)，則總體平均值μ就是真實(shí)值T。此時(shí)，用σ代表總體標(biāo)準(zhǔn)偏差，其數(shù)學(xué)表示式為：

?=ixnx1m=￥?xnlimnxi?-=2)(ms第36頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

由于在定量分析的實(shí)驗(yàn)中，測(cè)定次數(shù)一般較少（n<20次），故此時(shí)的平均值并不等于真實(shí)值T

。

在實(shí)際分析工作中測(cè)定次數(shù)一般不多(n<20)，而總體平均值又不知道，故只好用樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差S來衡量該組數(shù)據(jù)的分散程度。樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

Txnxi1=?1第37頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差(standarddeviation)f=n-1，自由度：n個(gè)測(cè)定數(shù)據(jù)能相互獨(dú)立比較的是n-1個(gè)。

引入n-1是為了校正以樣本平均值代替總體平均值引起的誤差。第38頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差

(relativestandarddeviation-RSD)又稱變異系數(shù)(coefficientofvariation-CV)%100xS×=CV第39頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示精密度的優(yōu)點(diǎn)：S比更靈敏地反映出較大偏差的存在，能更確切地評(píng)價(jià)出一組數(shù)據(jù)的精密度。（見P318的舉例）第40頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

準(zhǔn)確度和精密度的關(guān)系

從以上的討論可知：

系統(tǒng)誤差是定量分析中誤差的主要來源，它影響分析結(jié)果的準(zhǔn)確度。

偶然誤差影響分析結(jié)果的精密度。獲得良好的精密度并不能說明準(zhǔn)確度就高(只有在消除了系統(tǒng)誤差之后，精密度好，準(zhǔn)確度才高)。第41頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

根據(jù)以上分折，我們可以知道：準(zhǔn)確度高一定需要精密度好，但精密度好不一定準(zhǔn)確度高。若精密度很差，說明所測(cè)結(jié)果不可靠，雖然由于測(cè)定的次數(shù)多可能使正負(fù)偏差相互抵消，但已失去衡量準(zhǔn)確度的前提。因此，我們?cè)谠u(píng)價(jià)分析結(jié)果的時(shí)候，還必須將系統(tǒng)誤差和偶然誤差的影響結(jié)合起來考慮，以提高分析結(jié)果的準(zhǔn)確度。

從圖17-1來理解，在今后的實(shí)驗(yàn)中體會(huì)！第42頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理17.3.1隨機(jī)誤差的正態(tài)分布

例：在相同條件下對(duì)某樣品中鎳的質(zhì)量分?jǐn)?shù)（%）進(jìn)行重復(fù)測(cè)定，得到90個(gè)測(cè)定值如下：

1.601.671.671.641.581.641.671.621.571.601.591.641.741.651.641.611.651.691.641.631.651.701.631.621.701.651.681.661.691.701.701.631.671.701.701.631.571.591.621.601.531.561.581.601.581.591.611.621.551.521.491.561.571.611.611.611.501.531.531.591.661.631.541.661.641.641.641.621.621.651.601.631.621.611.651.611.641.631.541.611.601.641.651.591.581.591.601.671.681.69§17-3有限實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理第43頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

分組（%）頻數(shù)頻率

1.485-1.51520.0221.515-1.54560.0671.545-1.57560.0671.575-1.605170.1891.605-1.635220.2441.635-1.665200.2221.665-1.695100.1111.695-1.72560.0671.725-1.75510.011∑901.00第44頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一圖3-3頻率分布的值方圖第45頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

測(cè)定數(shù)據(jù)的分布并非雜亂無章，而是呈現(xiàn)出某些規(guī)律性。在全部數(shù)據(jù)中，平均值1.62%所在的組（第五組）具有最大的頻率值，處于它兩側(cè)的數(shù)據(jù)組，其頻率值僅次之。統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明：測(cè)定值出現(xiàn)在平均值附近的頻率相當(dāng)高，具有明顯的集中趨勢(shì)；而與平均值相差越大的數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率越小。一、正態(tài)分布正態(tài)分布，又稱高斯分布，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式即正態(tài)分布函數(shù)式為：

第46頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一隨機(jī)誤差的出現(xiàn)符合的規(guī)律正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等；小誤差出現(xiàn)的次數(shù)占絕大多數(shù)，大誤差出現(xiàn)的次數(shù)少，特大誤差出現(xiàn)的次數(shù)極少；隨機(jī)誤差的分布符合高斯正態(tài)分布曲線。第47頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一見圖17-2測(cè)定結(jié)果落在±1范圍內(nèi)的概率是68.3%；測(cè)定結(jié)果落在±2范圍內(nèi)的概率是95.5%；測(cè)定結(jié)果落在±3范圍內(nèi)的概率是99.7%；此概率稱置信度或置信水平（P）。第48頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

由于平均值較單次測(cè)定值的精密度更高，因此常用樣本平均值來估計(jì)真值所在的范圍。

表示在一定的置信度(可信程度）時(shí)，以單次測(cè)定值x或以平均值為中心的包含真值的取值范圍，即μ的置信區(qū)間。在置信區(qū)間內(nèi)包含μ的概率稱為置信度或置信水平，它表明了人們對(duì)所作的判斷有把握的程度，用P表示。

二、平均值的置信區(qū)間第49頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

當(dāng)測(cè)定次數(shù)較少時(shí)，σ未知，故只能以S來代替σ，如按正態(tài)分布去處理實(shí)際問題，是不合理的，甚至?xí)霈F(xiàn)嚴(yán)重錯(cuò)誤，故英國(guó)化學(xué)家高賽特提出以t代替z。第50頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一

隨著自由度的增加，t值逐漸減小并與u值接近。當(dāng)f=20時(shí)，t與u已經(jīng)比較接近。當(dāng)f→∞時(shí)，t→u，S→σ。在引用t值時(shí)，一般取0.95的置信度。根據(jù)樣本的單次測(cè)定值x或平均值分別表示μ的置信區(qū)間時(shí)，根據(jù)t分布則可以得出以下的關(guān)系：

第51頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一上式表明真實(shí)值與平均值的關(guān)系，說明平均值的可靠性；平均值的置信區(qū)間取決于測(cè)定的精密度、測(cè)定的次數(shù)和置信水平；若固定置信水平，測(cè)定次數(shù)越多，測(cè)定精密度越高、置信區(qū)間越小，即平均值越準(zhǔn)確；但僅在一定測(cè)定次數(shù)范圍內(nèi)分析數(shù)據(jù)的可靠性才隨n增多而增加；置信水平高，置信區(qū)間必然大。第52頁，共58頁，2023年，2月20日，星期一