全國通用版講義第二章 統(tǒng)計2-2-1（二）

2.2.1用樣本的頻率分布估計總體分布(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解頻率分布折線圖和總體密度曲線的定義.2.理解莖葉圖的概念，會畫莖葉圖.3.了解頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖的各自特征，學(xué)會選擇不同的方法分析樣本的分布，從而作出總體估計.知識點(diǎn)一頻率分布折線圖和總體密度曲線1.頻率分布折線圖連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖.2.總體密度曲線在樣本頻率分布直方圖中，隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線，它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比.知識點(diǎn)二莖葉圖思考莖葉圖是表示樣本數(shù)據(jù)分布情況的一種方法，那么“莖”、“葉”分別指的是哪些數(shù)？答案莖葉圖中，“葉”是數(shù)據(jù)的最后一個數(shù)字，其前面的數(shù)字作為“莖”.梳理莖葉圖(1)將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為莖，個位數(shù)字作為葉，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉可以按從大到小(或從小到大)的順序同行列出(也可以沒有大小順序).(2)莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)與不足①優(yōu)點(diǎn)：一是原始數(shù)據(jù)信息在圖中能夠保留，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示.②不足：當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時，莖葉圖就顯得不太方便.1.頻率分布折線圖就是總體密度曲線.(×)2.對于兩位數(shù)的莖葉圖，中間的數(shù)字表示十位數(shù)，旁邊的數(shù)字表示個位數(shù).(√)3.對于三位數(shù)的莖葉圖，中間的數(shù)字表示百位數(shù)，旁邊的數(shù)字表示十位和個位數(shù).(×)類型一莖葉圖及其應(yīng)用eq\x(命題角度1莖葉圖的繪制)例1某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A.將其與原有的一個優(yōu)良品種B進(jìn)行對照試驗(yàn).兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種A：451,454.品種B：422,430.(1)畫出莖葉圖；(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？(3)通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，得出統(tǒng)計結(jié)論.考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用解(1)莖葉圖如圖.(2)樣本容量不大，畫莖葉圖很方便，此時莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒有任何信息丟失，而且還可以隨時記錄新的數(shù)據(jù).(3)通過觀察莖葉圖可以看出：①品種A畝產(chǎn)量的平均數(shù)比品種B畝產(chǎn)量的平均數(shù)大；②品種A的畝產(chǎn)量波動比品種B的畝產(chǎn)量波動大，故品種A的畝產(chǎn)量穩(wěn)定性較差.反思與感悟(1)畫莖葉圖時，用中間的數(shù)表示數(shù)據(jù)的十位和百位數(shù)，兩邊的數(shù)分別表示兩組數(shù)據(jù)的個位數(shù).要先確定中間的數(shù)取數(shù)據(jù)的哪幾位，填寫數(shù)據(jù)時邊讀邊填.比較數(shù)據(jù)時從數(shù)據(jù)分布的對稱性、中位數(shù)、穩(wěn)定性等幾方面來比較.(2)繪制莖葉圖的關(guān)鍵是分清莖和葉，一般地說數(shù)據(jù)是兩位數(shù)時，十位數(shù)字為“莖”，個位數(shù)字為“葉”；如果是小數(shù)的，通常把整數(shù)部分作為“莖”，小數(shù)部分作為“葉”，解題時要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)合理選擇莖和葉.跟蹤訓(xùn)練1某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員每場比賽的得分情況如下：甲運(yùn)動員得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；乙運(yùn)動員得分：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.試制作莖葉圖來對比描述這些數(shù)據(jù).考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用解以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉，制作莖葉圖如圖：eq\x(命題角度2莖葉圖的應(yīng)用)例2某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579根據(jù)兩組數(shù)據(jù)作出兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可).考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用解兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如圖：通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.反思與感悟莖葉圖可保留原始數(shù)據(jù)，還可以通過葉的疏密情形，得到樣本數(shù)據(jù)的分布離散情形.跟蹤訓(xùn)練2某甲、乙兩名同學(xué)最近幾次的數(shù)學(xué)考試成績情況如下：甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.畫出兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖對兩人的成績進(jìn)行比較.考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用解甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖如圖所示.從這個莖葉圖上可以看出，乙同學(xué)的得分情況是大致對稱的；甲同學(xué)的得分情況除一個特殊得分外，也大致對稱，但分?jǐn)?shù)分布相對于乙來說，趨向于低分階段.因此乙同學(xué)發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比甲同學(xué)好.類型二莖葉圖與頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用例3在某市的青少年才藝表演評比活動中，參賽選手成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，可見部分如圖所示，據(jù)此回答以下問題：求參賽總?cè)藬?shù)和頻率分布直方圖中[80,90)矩形的高，并補(bǔ)全頻率分布直方圖.考點(diǎn)頻率分布直方圖題點(diǎn)頻率分布直方圖的應(yīng)用解由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在[50,60)的頻數(shù)為2.由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在[50,60)的頻率為0.008×10＝0.08，所以參賽總?cè)藬?shù)為eq\f(2,0.08)＝25.所以分?jǐn)?shù)在[80,90)的人數(shù)為25－2－7－10－2＝4，所以分?jǐn)?shù)在[80,90)的頻率為eq\f(4,25)＝0.16，故頻率分布直方圖中[80,90)矩形的高為eq\f(0.16,10)＝0.016.補(bǔ)全頻率分布直方圖，如圖所示.反思與感悟莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成，沒有損失任何樣本信息，可以在抽樣的過程中隨時記錄，但樣本容量較大，或者需要比較三組以上的數(shù)據(jù)時，使用莖葉圖就不合適；而頻率分布表和頻率分布直方圖可以處理樣本容量很大的數(shù)據(jù)，但損失了樣本的原始數(shù)據(jù)，而且必須在完成抽樣后才能制作.跟蹤訓(xùn)練3某隨機(jī)抽取20個班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]時，所作的頻率分布直方圖是()考點(diǎn)用樣本的頻率分布估計總體分布綜合應(yīng)用題點(diǎn)用頻率分布直方圖估計總體答案A解析方法一由題意知樣本容量為20，組距為5.列表如下：分組頻數(shù)頻率eq\f(頻率,組距)[0,5)1eq\f(1,20)0.01[5,10)1eq\f(1,20)0.01[10,15)4eq\f(1,5)0.04[15,20)2eq\f(1,10)0.02[20,25)4eq\f(1,5)0.04[25,30)3eq\f(3,20)0.03[30,35)3eq\f(3,20)0.03[35,40]2eq\f(1,10)0.02合計201觀察各選項的頻率分布直方圖知選A.方法二由莖葉圖知落在區(qū)間[0,5)與區(qū)間[5,10)上的頻數(shù)相等，故頻率、eq\f(頻率,組距)也分別相等，比較四個選項知A正確，故選A.1.如果想用統(tǒng)計圖來反映各數(shù)據(jù)的變化趨勢，比較合適的統(tǒng)計圖是()A.條形圖B.折線圖C.扇形圖D.其他圖形考點(diǎn)頻率分布折線圖題點(diǎn)頻率分布折線圖答案B解析能反映各數(shù)據(jù)的變化趨勢的統(tǒng)計圖是折線圖.2.如圖是總體密度曲線，下列說法正確的是()A.組距越大，頻率分布折線圖越接近于它B.樣本容量越小，頻率分布折線圖越接近于它C.陰影部分的面積代表總體在(a，b)內(nèi)取值的百分比D.陰影部分的平均高度代表總體在(a，b)內(nèi)取值的百分比考點(diǎn)頻率分布折線圖題點(diǎn)頻率分布折線圖答案C3.在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示.若將運(yùn)動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運(yùn)動員人數(shù)是()A.3B.4C.5D.6考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用答案B解析由題意知，將1～35號分成7組，每組5名運(yùn)動員，成績落在區(qū)間[139,151]的運(yùn)動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名.故選B.4.從甲、乙兩種玉米苗中各抽6株，分別測得它們的株高如圖所示(單位：cm).根據(jù)數(shù)據(jù)估計()A.甲種玉米比乙種玉米不僅長得高而且長得整齊B.乙種玉米比甲種玉米不僅長得高而且長得整齊C.甲種玉米比乙種玉米長得高但長勢沒有乙整齊D.乙種玉米比甲種玉米長得高但長勢沒有甲整齊考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用答案D解析由題中的莖葉圖可知，甲種玉米的株高集中在20cm段，乙種玉米的株高集中在30cm和40cm段，則甲種玉米的平均株高小于乙種玉米的平均株高，但乙種玉米的株高較分散，故選D.5.從甲、乙兩個城市所有的自動售貨機(jī)中隨機(jī)抽取16臺，記錄了上午8∶00～11∶00之間各自的銷售情況(單位：元)：甲：18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41；乙：22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23.試用縱坐標(biāo)為頻數(shù)的頻數(shù)分布直方圖與莖葉圖的方式分別表示上面的數(shù)據(jù)，并簡要說明各自的優(yōu)點(diǎn).考點(diǎn)用樣本的頻率分布估計總體分布綜合應(yīng)用題點(diǎn)用頻率分布直方圖估計總體解用頻數(shù)分布直方圖表示如圖：莖葉圖如圖，兩豎線中間的數(shù)字表示甲、乙銷售額的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示甲、乙銷售額的個位數(shù).可以看出頻數(shù)分布直方圖能直觀地反映數(shù)據(jù)分布的大致情況，并且能夠清晰地表示出各個區(qū)間的具體數(shù)目；而用莖葉圖表示有關(guān)數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便.1.估計總體的分布分兩種情況：當(dāng)總體中的個體取值很少時，用莖葉圖估計總體的分布；當(dāng)總體中的個體取值較多時，將樣本數(shù)據(jù)恰當(dāng)分組，用各組的頻率分布描述總體的分布，方法是用頻率分布表或頻率分布直方圖.2.莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的.莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成，沒有損失任何樣本信息，可以在抽樣的過程中隨時記錄；而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的原始信息，必須在完成抽樣后才能制作.一、選擇題1.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)增加時，下列說法正確的是()A.頻率分布表不會變化B.莖葉圖不會變化C.頻率折線圖不會變化D.頻率分布直方圖變化不太大考點(diǎn)頻率分布折線圖題點(diǎn)頻率分布折線圖答案D2.在莖葉圖中比40大的數(shù)據(jù)的個數(shù)為()A.1B.4C.3D.5考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用答案C3.如圖所示，莖葉圖表示某城市一臺自動售貨機(jī)在16天內(nèi)的銷售額情況(單位：元)，圖中的數(shù)字7表示的意義是這臺自動售貨機(jī)該天的銷售額為()A.7元B.70元C.27元D.72元考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用答案C解析莖表示的是十位數(shù)字，葉表示的是個位數(shù)字，故數(shù)字7表示27.4.某校舉行演講比賽，9位評委給選手A打出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示，統(tǒng)計員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時，發(fā)現(xiàn)有一個數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清，若統(tǒng)計員計算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是()A.5B.4C.3D.2考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用答案D解析去掉最低分87，去掉最高分94(假設(shè)x≤4)，則7×91＝80×2＋9＋8＋90×5＋2＋3＋2＋1＋x，∴x＝2，符合題意.同理可驗(yàn)證x>4不合題意.5.如圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位：臺)的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22,30)內(nèi)的頻率為()A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用答案B解析依據(jù)莖葉圖，在區(qū)間[22,30)內(nèi)頻數(shù)為4，樣本容量為10，故對應(yīng)的頻率為eq\f(4,10)＝0.4，故選B.6.甲、乙兩名同學(xué)12次考試中數(shù)學(xué)成績的莖葉圖如圖所示，則下列說法正確的是()A.甲同學(xué)比乙同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成績也比乙同學(xué)高B.甲同學(xué)比乙同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，但平均成績比乙同學(xué)低C.乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成績也比甲同學(xué)高D.乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，但平均成績比甲同學(xué)低考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用答案C解析由莖葉圖的性質(zhì)可知乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成績比甲同學(xué)高.7.如圖是甲、乙兩名運(yùn)動員某賽季一些場次得分的莖葉圖，據(jù)圖可知()A.甲運(yùn)動員的成績好于乙運(yùn)動員B.乙運(yùn)動員的成績好于甲運(yùn)動員C.甲、乙兩名運(yùn)動員的成績沒有明顯的差異D.甲運(yùn)動員的最低得分為0分考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用答案A解析從莖葉圖上看，由于甲運(yùn)動員的成績多數(shù)集中在31以上，而乙運(yùn)動員的成績集中在12到29之間，所以甲運(yùn)動員成績較好.8.給出如圖所示的三幅統(tǒng)計圖及四個命題：①從折線統(tǒng)計圖能看出世界人口的變化情況；②2050年非洲人口將達(dá)到大約15億；③2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多；④從1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢.其中命題正確的有()A.①②B.①③C.①④D.②④考點(diǎn)用樣本的頻率分布估計總體分布綜合應(yīng)用題點(diǎn)用頻率分布直方圖估計總體答案B解析①從折線統(tǒng)計圖能看出世界人口的變化情況，故①正確；②從條形統(tǒng)計圖中可得：2050年非洲人口大約將達(dá)到18億，故②錯誤；③從扇形統(tǒng)計圖中能夠明顯地得到結(jié)論：2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，故③正確；④由題中三幅統(tǒng)計圖并不能得出從1957年到2050年中哪個洲人口增長速度最慢，故④錯誤.因此正確的命題有①③.故選B.9.某舉行了一次“環(huán)保知識競賽”活動.為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(得分取正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出了頻率分布直方圖，并作出了分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出得分在[50,60)，[90,100]的數(shù)據(jù))，如圖.則樣本容量n和頻率分布直方圖中x，y的值分別為()A.50,0.030,0.004B.30,0.040,0.003C.30,0.030,0.040D.50,0.300,0.400考點(diǎn)頻率分布直方圖題點(diǎn)頻率分布直方圖的應(yīng)用答案A解析由題意可知，樣本容量n＝eq\f(8,0.016×10)＝50，y＝eq\f(2,50×10)＝0.004，x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.二、填空題10.隨機(jī)抽取某甲、乙兩班各10名同學(xué)，測量他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖.根據(jù)莖葉圖判斷________班的平均身高較高.考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用答案乙解析由莖葉圖可知：甲班身高集中于160～179之間，而乙班身高集中于170～180之間.因此乙班平均身高高于甲班.11.如圖所示是一個班的數(shù)學(xué)成績的莖葉圖，則優(yōu)秀率(90分以上)是________，最低分是________.考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用答案4%51解析∵總數(shù)為25，∴優(yōu)秀率為eq\f(1,25)×100%＝4%.最低分是91.12.從甲、乙兩個班中各隨機(jī)選出15名同學(xué)進(jìn)行隨堂測驗(yàn)，成績的莖葉圖如圖所示，則甲、乙兩班的最高成績分別是______，______.從圖中看，________班的平均成績較高.考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用答案9692乙解析由莖葉圖可知，甲班的最高分是96，乙班的最高分是92.甲班的成績集中在(60,80)內(nèi)，乙班的成績集中在(70,90)內(nèi)，故乙班的平均成績較高.三、解答題13.甲、乙兩個網(wǎng)站為了了解各自受歡迎的程度，分別隨機(jī)選取了14天記錄上午8：00～10：00間各自的點(diǎn)擊量：甲：73,24,58,72,64,38,66,70,20,41,55,67,8,25；乙：12,37,21,5,54,52,61,45,19,6,19,36,42,14.你能用哪些方法表示上面的數(shù)據(jù)？你認(rèn)為甲、乙兩個網(wǎng)站哪個更受歡迎？考點(diǎn)莖葉圖題點(diǎn)莖葉圖的應(yīng)用解方法一列頻數(shù)分布表如下：點(diǎn)擊量的范圍甲的頻數(shù)乙的頻數(shù)[0,