徐州市2020屆高三下學(xué)期春季聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省徐州市2020屆高三下學(xué)期春季聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析2020屆高三春季聯(lián)考數(shù)學(xué)Ⅰ注意事項(xiàng)：考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1。本試卷共4頁，包含填空題（第1題~第14題）、解答題（第15題～第20題)兩部分.本卷滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3。作答試題必須用0。5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡的指定位置作答，在其它位置作答一律無效.如需作圖，須用2B鉛筆繪圖、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗。一、填空題：本大題共14小題，每小題5分,共計(jì)70分。請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上。1。設(shè)全集,集合，,則__．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義求解,先求，再求．【詳解】解：∵全集，集合，∴，又，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.復(fù)數(shù)的虛部是____________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以該?fù)數(shù)的虛部是,應(yīng)填答案．3.某校為了解同三同學(xué)寒假期間學(xué)習(xí)情況,抽查了100名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間，繪成頻率分布直方圖（如圖)，則這100名同學(xué)中學(xué)習(xí)時(shí)間在6到8小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為人．【答案】30【解析】【分析】本題主要考查的是頻率分布直方圖．由條件可知2（0。04+0。12+x+0.14+0。05）=1,所以x=0.15.所以這100名同學(xué)中學(xué)習(xí)時(shí)間在6到8小時(shí)內(nèi)的頻率為0。15(10—8)100=30．【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀?4.如圖是一個(gè)算法的流程圖，若輸入的的值為1，則輸出的的值為______?！敬鸢浮?3【解析】【分析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)逐步計(jì)算即可?！驹斀狻枯斎耄?。1.,判斷為“”,。2.，判斷為“”,.3.，判斷為“”。輸出。故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)輸入數(shù)據(jù)計(jì)算循環(huán)框圖的輸出結(jié)果.屬于基礎(chǔ)題.5.某校有,兩個(gè)學(xué)生食堂，若,,三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇其中的一個(gè)食堂用餐，則三人不在同一個(gè)食堂用餐的概率為______.【答案】【解析】【分析】求出所有可能的情況總數(shù)，進(jìn)而求得在同一食堂用餐的概率,再利用對(duì)立事件的概率公式求解三人不在同一個(gè)食堂用餐的概率即可.【詳解】由題意可知，所有可能的情況共有種，其中在同一食堂用餐的情況有2種.故三人不在同一個(gè)食堂用餐的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型的問題，需要根據(jù)題意求出所有可能的情況,再求出對(duì)立事件的概率進(jìn)行計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題.6.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是,側(cè)棱長(zhǎng)為5，則該正四棱錐的體積為______?！敬鸢浮?2【解析】【分析】連接底面對(duì)角線交于，再根據(jù)四棱錐的性質(zhì)求出高即可求得體積。【詳解】設(shè)正四棱錐為,連接交于，連接.易得平面.根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)有，。故該正四棱錐的體積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了正四棱錐體積的計(jì)算，需要根據(jù)其中的直角三角形進(jìn)行高的計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題.7。若將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,則的最小值為______。【答案】【解析】【分析】先根據(jù)求解平移后的函數(shù)解析式，再根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱軸的性質(zhì)求解即可?！驹斀狻繉⒑瘮?shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位后可得.由題關(guān)于軸對(duì)稱，故當(dāng)時(shí),有，即.因?yàn)?，故?dāng)時(shí)有的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖像平移以及三角函數(shù)圖像性質(zhì)的問題，需要根據(jù)題意代入對(duì)稱軸表達(dá)式進(jìn)行求解。屬于基礎(chǔ)題。8.已知為等差數(shù)列，其公差為2，且是與的等比中項(xiàng)，為前項(xiàng)和，則的值為______?！敬鸢浮?110【解析】【分析】利用基本量法以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得首項(xiàng)，再求解即可.【詳解】因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng),故,即,即，化簡(jiǎn)得。又所以.故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列中基本量的求解以及等比中項(xiàng)的運(yùn)用，同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和的公式。屬于中檔題.9。若雙曲線的一條漸近線與圓：相交于，兩點(diǎn)且,則此雙曲線的離心率為______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)圓的半徑相等以及可求得圓心到漸近線的距離為,再利用點(diǎn)到線的距離公式列式求解的關(guān)系，再求解離心率即可.【詳解】因?yàn)?,故圓心到漸近線的距離為.不妨設(shè)漸近線方程為,即.故,即.所以.故,故雙曲線的離心率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系以及建立齊次式求解雙曲線離心率的問題.屬于基礎(chǔ)題。10.函數(shù)的定義域?yàn)開_________．【答案】;【解析】,即定義域?yàn)?1.已知，且，若，則的最小值為______。【答案】25【解析】【分析】由題意,再根據(jù)換元令,代入展開利用基本不等式求最小值即可。【詳解】由題,，設(shè)則.。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法利用基本不等式求解最小值的問題。需要根據(jù)題中所給的形式換元，結(jié)合基本不等式求最小值。屬于中檔題。12。在中，若，,，，則______.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可求得,建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)求出的坐標(biāo),進(jìn)而求得即可.【詳解】由余弦定理可得，即，因?yàn)?故解得.過作垂直的延長(zhǎng)線于,再以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系。則，，.設(shè),因?yàn)?，故，故，解?即.故故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解向量數(shù)量積的問題。需要根據(jù)題意建立合適的坐標(biāo)系，再根據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行向量坐標(biāo)的運(yùn)算.屬于中檔題.13。已知圓，直線與圓交于兩點(diǎn)，，若,則弦的長(zhǎng)度的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)為M，由可得，可得M在上,當(dāng)最小時(shí)，弦的長(zhǎng)才最大.【詳解】設(shè)為中點(diǎn)，，即，即，，.設(shè)，則，得。所以，.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的思想，是一道有一定難度的題.14.函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，,若函數(shù)在上有1515個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍為___________.【答案】【解析】【分析】由已知,在上有3個(gè)根，分,，，四種情況討論的單調(diào)性、最值即可得到答案。【詳解】由已知，的周期為4，且至多在上有4個(gè)根，而含505個(gè)周期，所以在上有3個(gè)根，設(shè)，，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，又,。若時(shí)，在上無根，在必有3個(gè)根,則，即，此時(shí)；若時(shí)，在上有1個(gè)根,注意到，此時(shí)在不可能有2個(gè)根,故不滿足；若時(shí),要使在有2個(gè)根,只需，解得；若時(shí)，在上單調(diào)遞增,最多只有1個(gè)零點(diǎn),不滿足題意；綜上，實(shí)數(shù)的范圍為。故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，涉及到函數(shù)的周期性、分類討論函數(shù)的零點(diǎn)，是一道中檔題。二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15。已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期。（2)若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1)根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式以及降冪公式與輔助角公式化簡(jiǎn)可得,進(jìn)而求得最小正周期。（2）代入可得，再根據(jù)，利用三角函數(shù)和差角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可?！驹斀狻?1），∴的最小正周期為.（2）∴，∵，∴,∴，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)恒等變換。同時(shí)也考查了根據(jù)三角函數(shù)值求三角函數(shù)值的問題.屬于中檔題.16.如圖，在直三棱柱中，，是棱上的一點(diǎn)。（1）求證：；（2）若，分別是,的中點(diǎn)，求證：平面.【答案】（1)證明見解析；（2）證明見解析。【解析】【分析】（1)根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)證明平面即可.(2)取的中點(diǎn)為，連接,,再證四邊形為平行四邊形即可.【詳解】(1）在直三棱柱中，平面，平面，∴，又∵,,平面，平面，∴平面，又∵平面，∴。（2）取的中點(diǎn)為，連接，，∵在中，、分別為、中點(diǎn),∴且，在直三棱柱中，∵且，為的中點(diǎn),∴且,∴且,∴四邊形為平行四邊形，∴,又∵平面，平面,∴平面。【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直以及線面平行證明。屬于基礎(chǔ)題。17.如圖，某居民區(qū)內(nèi)有一直角梯形區(qū)域，，，百米,百米。該區(qū)域內(nèi)原有道路，現(xiàn)新修一條直道（寬度忽略不計(jì)）,點(diǎn)在道路上（異于，兩點(diǎn)）,,.（1）用表示直道的長(zhǎng)度;（2）計(jì)劃在區(qū)域內(nèi)修建健身廣場(chǎng)，在區(qū)域內(nèi)種植花草.已知修建健身廣場(chǎng)的成本為每平方百米4萬元，種植花草的成本為每平方百米2萬元，新建道路的成本為每百米4萬元，求以上三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值(單位：萬元)。【答案】（1）,.（2）萬元。【解析】【分析】(1)過點(diǎn)作垂直于線段，垂足為得到,再在中,由正弦定理求得即可.(2)在中，由正弦定理求得,進(jìn)而根據(jù)求出,再根據(jù)題意表達(dá)出總費(fèi)用,再求導(dǎo)分析的單調(diào)性與最值即可?！驹斀狻浚?）過點(diǎn)作垂直于線段，垂足為.在直角中，因?yàn)椋?所以.在直角中,因?yàn)?,所以，則，故，又，所以.在中，由正弦定理得，所以,.（2）在中，由正弦定理得，所以。所以。又.所以.設(shè)三項(xiàng)費(fèi)用總和為，則，,所以,令,則.列表：-0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以時(shí),.答：以上三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值為萬元?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形在實(shí)際中的運(yùn)用,同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際運(yùn)用中的最值問題，需要根據(jù)題意確定函數(shù)與自變量的角度間的關(guān)系，再求導(dǎo)分析單調(diào)性以及最值等.屬于難題。18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓:過點(diǎn),橢圓的離心率為。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2）如圖，設(shè)直線與圓相切與點(diǎn),與橢圓相切于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，線段長(zhǎng)度最大？并求出最大值?！敬鸢浮?1）；（2）時(shí),最大值為1?！窘馕觥俊痉治觥浚?）利用基本量的關(guān)系列式求解即可.(2)設(shè)直線的方程為，根據(jù)直線與圓相切可得,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用相切則所得的二次方程判別式為0可得,再聯(lián)立可得.再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合距離公式以及，在根據(jù)基本不等式求解最大值即可.【詳解】解：(1）由題,,故，解得。故橢圓方程為。（2）連接OA,OB，如圖所示:設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與圓：相切于，所以,即①，因?yàn)榕c橢圓：相切于點(diǎn)，由得,即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解,則,即,②由①、②可得,設(shè)，由求根公式得，∴，∴，∴在直角三角形中,,因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以,即當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓中基本量的求解，同時(shí)也考查了直線與圓和橢圓等相切時(shí)的方法.當(dāng)直線與圓相切時(shí)利用圓心到直線的距離等于半徑列式,當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)聯(lián)立方程根據(jù)判別式為0列式。屬于難題。19.已知函數(shù)和函數(shù)。（1）若曲線在處的切線過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值;（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3）若不等式對(duì)于任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）；(2)當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),單調(diào)增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為；(3)2.【解析】【分析】（1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(2)易得，再求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)分子的根的存在情況，進(jìn)而可得導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的正負(fù)以及原函數(shù)的單調(diào)性.（3)令，再求導(dǎo)分析可得在上單調(diào)遞增，可得.再分與兩種情況分析函數(shù)的單調(diào)性求解最小值即可.【詳解】解（1）∵,∴,又∵，曲線在處的切線方程為，∵切線過點(diǎn),∴,∴.（2）的定義域?yàn)椋?則,令。(Ⅰ)當(dāng)即時(shí)，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:。(Ⅱ)當(dāng)即或時(shí),有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,，當(dāng)時(shí),,，∴，函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為,當(dāng)時(shí),,，令，則或,令，則,∴單調(diào)遞增區(qū)間為,，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3)令，則,記，則,所以在上單調(diào)遞增,故，當(dāng)，,故在上單調(diào)遞增,所以,符合題意.當(dāng)時(shí)，，故,又在上單調(diào)遞增，所以存在唯一的實(shí)數(shù),使得，列表如下：-0+極小值則當(dāng)時(shí)，，這與恒成立矛盾。綜上,實(shí)數(shù)的最大值為2?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)分析含參函數(shù)的單調(diào)性問題.同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立的問題.需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)存在性以及大小關(guān)系,進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性以及最值。屬于難題.20.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù),它們的前項(xiàng)和分別為,且,.（1）求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；（2）求；(3）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)?若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.【答案】（1)；(2)；（3）存在,1.【解析】【分析】（1）利用基本量法直接計(jì)算即可；（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算；（3），令可得，，討論即可.【詳解】（1)設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，即，解得，?舍去）。所以.(2）,，所以，所以.（3）由（1）可得，，所以.因?yàn)槭菙?shù)列或中的一項(xiàng)，所以，所以,因?yàn)?所以，又,則或.當(dāng)時(shí)，有，即,令。則。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),,即。由，知無整數(shù)解.當(dāng)時(shí)，有，即存在使得是數(shù)列中的第2項(xiàng),故存在正整數(shù),使得是數(shù)列中的項(xiàng)?！军c(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用,涉及到等差、等比數(shù)列的通項(xiàng),錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列中的存在性問題，是一道較為綜合的題。2020屆高三春季聯(lián)考數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）注意事項(xiàng)：考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：1.本試卷共2頁,均為非選擇題（第21題～第23題）.本卷滿分為40分.考試時(shí)間為30分鐘.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。2。答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.作答試題必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡的指定位置作答，在其它位置作答一律無效.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗。21.【選做題】本題包括A，B，C三小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在答題卡相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。A。【選修4-2：矩陣與變換】21。已知二階矩陣的特征值是所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.（1）求矩陣；（2）設(shè)曲線在變換矩陣作用下得到的曲線的方程為，求曲線的方程.【答案】（1)；（2）【解析】【分析】（1)根據(jù)特征值與特征向量的性質(zhì)計(jì)算即可。（2)曲線上一點(diǎn)在矩陣的作用下的到點(diǎn),進(jìn)而求得，再代入化簡(jiǎn)即可?！驹斀狻拷?(1）由得,即，∴。（2)設(shè)曲線上一點(diǎn)在矩陣的作用下的到點(diǎn),則點(diǎn)在曲線上。∴，即,又∵,∴,整理得曲線的方程為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了特征值與特征向量的運(yùn)用，同時(shí)也考查了矩陣變換的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.B?！具x修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22。已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與軸的正半軸重合.若直線的極坐標(biāo)方程為.（1）把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）已知為橢圓：上一點(diǎn)，求到直線的距離的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)公式以及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化求解即可.（2)設(shè),再求出點(diǎn)到線的距離表達(dá)式，利用三角函數(shù)性質(zhì)求解最值即可?！驹斀狻拷?(1）直線的極坐標(biāo)方程，則,即,所以直線的直角坐標(biāo)方程為;（2）為橢圓：上一點(diǎn)，設(shè)，其中,則到直線的距離,∴當(dāng)時(shí)，的最小值為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化,同時(shí)也考查了利用參數(shù)方程求解點(diǎn)到線的距離最值問題。屬于中檔題。C.【選修4—5：不等式選講】23.已知實(shí)數(shù)滿足，求的最小值?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑煽挛鞑坏仁街海▁+y+z）2≤[（x）2+（y)2+z2]?[（）2+（)2+12]故2x2+3y2+z2,由此能求出2x2+3y2+z2的最小值．【詳解】由柯西不等式可知:（x+y+z）2≤[（x)2+（y）2+z2］?［（)2+（）2+12]，故2x2+3y2+z2，當(dāng)且僅當(dāng)，即：x,y，z時(shí)，2x2+3y2+z2取得最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查柯西不等式的應(yīng)用，考查了等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題．【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分。請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.24。已知，是拋物線：上不同兩點(diǎn)。（1）若拋物線的焦點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，且，求拋物線的方程；（2）若直線與軸交于點(diǎn)，與軸的正半軸交點(diǎn)，且,是否存在直線，使得?若存在，求出直線的方程;若不存在，請(qǐng)說明理由?！敬鸢浮浚?);（2）存在，:【解析】【分析】(1）根據(jù)拋物線的定義求解即可.（2）設(shè)：，聯(lián)立直線與