延安市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)（理）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精陜西省延安市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)（理）試題含解析2019-2020學(xué)年度第二學(xué)期月考高二年級(jí)（理科）數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每小題5分，共60分)1。在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線,垂足為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A。 B. C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足的坐標(biāo)為，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作平面的垂線,垂足為，所以可得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)與豎坐標(biāo)相同,只縱坐標(biāo)不同，且在平面中所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是0，因?yàn)?，所以?故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中的點(diǎn)的坐標(biāo),屬于基礎(chǔ)題型。2.已知,,若，則等于（）A。-26 B?！?0 C.2 D.10【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于，，且有，則可知，故可知選A?？键c(diǎn):向量垂直點(diǎn)評(píng)：主要是考查了向量垂直的坐標(biāo)公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．3.如果三點(diǎn)，，在同一條直線上，則（）A。 B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由三點(diǎn)共線可知為共線向量，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果。【詳解】三點(diǎn)共線為共線向量又，，解得：，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用共線向量解決三點(diǎn)共線的問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠明確三點(diǎn)共線與共線向量之間的關(guān)系.4。小明同學(xué)喜歡籃球，假設(shè)他每一次投籃投中的概率為，則小明投籃四次，恰好兩次投中的概率是（）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】分析:利用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式：概率即可得出．詳解：：∵每次投籃命中的概率是,

∴在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率．

故在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率是．故選D.點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．5.如圖，空間四邊形OABC中,,點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，且，設(shè),則x，y，z的值為（）A. B。 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】將表示為以為基底的向量，由此求得的值。【詳解】依題意，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間中，用基底表示向量，考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。6.已知隨機(jī)變量的分布列為130。160.440.40則（）。A.1。32 B。1。71 C.2。94 D。7。64【答案】D【解析】【分析】先由隨機(jī)變量的分布列求出，再由期望的性質(zhì)，即可求出結(jié)果?！驹斀狻坑深}意可得,隨機(jī)變量的期望為，所以故選：D?！军c(diǎn)睛】本題主要考查期望性質(zhì)的應(yīng)用，熟記期望的性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型。7.某校約有1000人參加模塊考試,其數(shù)學(xué)考試成績(jī)服從正態(tài)分布N(90，a2）(a>0），統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的0.6，則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為（）A。600 B.400C.300 D.200【答案】D【解析】分析】70分到110分之間人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的0。6，根據(jù)正態(tài)分布知，90分到110分之間的約為總數(shù)的0.3，所以可知110分以上的約為總數(shù)的.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布知，其均值為90分，又70分到110分之間人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的0。6,根據(jù)對(duì)稱性知90分到110分之間的約為總數(shù)的0.3，所以可知110分以上的約為總數(shù)的，故有大約人,選D?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了正態(tài)分布,利用正態(tài)分布的對(duì)稱性解題，屬于中檔題.8。同時(shí)拋擲兩枚均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次數(shù)為ξ，則D(ξ)＝(）A。 B。C. D。5【答案】A【解析】?jī)擅锻瑫r(shí)出現(xiàn)反面的概率為，所以為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，屬于二項(xiàng)分布，方差為。9.如圖，在三棱錐中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直于底面，．若是棱上的點(diǎn)，且，則異面直線與所成角的余弦值為（)A。 B. C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】以C為原點(diǎn)，CA為x軸，在平面ABC中過(guò)作AC的垂線為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線A1E與所成角的余弦值．【詳解】以C為原點(diǎn)，CA為x軸，在平面ABC中過(guò)作AC的垂線為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面,AB＝4，AA1＝6，E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點(diǎn)，且BE＝B1E，∴A1（4，0,6），E(2,2，3），A（4，0，0），（﹣2，2，﹣3），（-4，0，6）,設(shè)異面直線與所成角所成角為θ，則cosθ．∴異面直線A1E與AF所成角的余弦值為．故選A．【點(diǎn)睛】求空間兩條異面直線所成角的大小是立體幾何中最為常見(jiàn)的基本題型之一．這類問(wèn)題的求解一般有兩條途徑：其一是平移其中的一條直線或兩條直線，將其轉(zhuǎn)化為共面直線所成角,然后再構(gòu)造三角形，通過(guò)解三角形來(lái)獲得答案；其二是建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量的數(shù)量積公式，求出兩向量的夾角的大小來(lái)獲解。10。已知0,，0,，2，，則點(diǎn)A到直線BC的距離為A。 B。1 C。 D。【答案】A【解析】【分析】首先寫出和的坐標(biāo)，再求出，最后利用公式,即可求值.【詳解】解:0，，0,，2,，0,，2，,點(diǎn)A到直線BC的距離為：．故選A．【點(diǎn)睛】運(yùn)用空間向量求點(diǎn)到直線的距離，首先寫出直線的方向向量，在直線上選取一點(diǎn)和已知點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)新的向量，運(yùn)用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求出夾角的余弦，再數(shù)形結(jié)合，結(jié)合直角三角形運(yùn)用勾股定理求出距離。11。四棱柱的底面為矩形，，,，,則的長(zhǎng)為()A。 B。46 C。 D.32【答案】C【解析】試題分析：由,。由底面為矩形得;，,另；，,考點(diǎn):空間向量的運(yùn)算及幾何意義.12。在棱長(zhǎng)為2的正方體中,，分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（)A。 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸,DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出點(diǎn)M到平面D1EF的距離，N到面的距離是M到該面距離的一半．【詳解】解:以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,則M(2，λ，2）,D1（0，0，2），E（2,0，1），F(xiàn)（2，2,1)，＝（﹣2，0，1)，＝(0，2，0），＝（0,λ，1)，設(shè)平面D1EF的法向量＝（x，y,z)，則,取x＝1，得＝(1，0，2)，∴點(diǎn)M到平面D1EF的距離為:d＝，N為EM中點(diǎn)，所以N到該面的距離為，選D．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，以及數(shù)形結(jié)合思想．二、填空題（每小題5分，共20分)13。已知隨機(jī)變量，且，則________.【答案】0。75【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，先得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋烧龖B(tài)分布的對(duì)稱性，可得：，所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查由正態(tài)分布求指定區(qū)間的概率,屬于基礎(chǔ)題型.14。已知,，若，，則的值是________.【答案】或1【解析】【分析】根據(jù)題意，由向量模的坐標(biāo)表示，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，列出方程組求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，，所以，解得：或，因此?故答案為：或1?！军c(diǎn)睛】本題主要考查由空間向量的模與數(shù)量積求參數(shù)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型.15。已知點(diǎn)，，為線段上一點(diǎn)且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________.【答案】【解析】【分析】先設(shè)，根據(jù)題意，得到,再由向量的坐標(biāo)表示，列出方程組求解，即可得出結(jié)果?！驹斀狻吭O(shè)，因?yàn)闉榫€段上一點(diǎn)且,所以，又，，所以，因此，解得：，所以。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由向量的坐標(biāo)表示求參數(shù)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型.16.將4個(gè)不同的小球任意放入3個(gè)不同的盒子中，則每個(gè)盒子中至少有1個(gè)小球的概率為________．【答案】【解析】試題分析:將個(gè)不同的小球任意放入個(gè)不同的盒子中，每個(gè)小球有種不同的放法，共有種放法，每個(gè)盒子中至少有個(gè)小球的放法有種，故所求的概率.考點(diǎn)：1、排列組合；2、隨機(jī)變量的概率.三、解答題(共70分）17。在一個(gè)袋中，裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)紅球、2個(gè)黃球.現(xiàn)從中任取2個(gè)球,設(shè)隨機(jī)變量為取得紅球的個(gè)數(shù)。（1）求的分布列；（2）求的數(shù)學(xué)期望和方差.【答案】（1)詳見(jiàn)解析（2），【解析】【分析】(1）服從超幾何分布,根據(jù)古典概型概率公式容易求出分布列;(2）利用期望和方差定義直接計(jì)算?！驹斀狻拷猓海?）的取值為0，1，2。，，，則的分布列為：012（2）,.【點(diǎn)睛】本題考查超幾何分布、期望和方差，是高考重點(diǎn)考查知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.18。現(xiàn)有個(gè)人去參加某娛樂(lè)活動(dòng),該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲,擲出點(diǎn)數(shù)為或的人去參加甲游戲,擲出點(diǎn)數(shù)大于的人去參加乙游戲．（1）求這個(gè)人中恰有個(gè)人去參加甲游戲的概率；（2）求這個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：(Ⅰ）依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的人數(shù)的概率為．設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i=0,1，2,3，4），故．由此能求出這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率．(Ⅱ)根據(jù)題意分成兩類，同第一問(wèn)分別求出即可．試題解析：(1）每個(gè)人參加甲游戲的概率為，參加乙游戲的概率為，設(shè)“個(gè)人中恰有個(gè)人去參加甲游戲”為事件，則．所以這個(gè)人中恰有個(gè)人去參加甲游戲的概率為．(2）設(shè)“個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)"為事件,其中包含事件:“人參加甲游戲，個(gè)人參加乙游戲"和事件：“個(gè)人均參加甲游戲"，和互斥．．所以個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為．19。如圖,直棱柱的底面中，，，棱，如圖,以為原點(diǎn)，分別以,，為軸建立空間直角坐標(biāo)系（1)求平面的法向量；(2）求直線與平面夾角的正弦值.【答案】（1）；（2)。【解析】【詳解】分析:（1)設(shè)處平面的法向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為，即可求解平面的一個(gè)法向量；（2）取出向量，利用向量的夾角公式，即可求解直線與平面所成角的正弦值。詳解：（1）由題意可知故設(shè)為平面的法向量，則，令,則（2）設(shè)直線與平面夾角為,點(diǎn)睛：本題考查了平面法向量的求解,以及直線與平面所成的角，著重考查了空間想象能力,以及推理與運(yùn)算能力，在高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵。20。如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的具有公共頂點(diǎn)的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，點(diǎn)P在對(duì)角線AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)P是AB的中點(diǎn),且2｜CQ｜＝|QD|時(shí)，求｜PQ｜的值；（2)當(dāng)Q是棱CD的中點(diǎn)時(shí)，試求｜PQ｜的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1)（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）,最小值為?！窘馕觥俊痉治觥浚?)根據(jù)正方體的性質(zhì)可得的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算可得結(jié)果;（2）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，得＝．由，可得＝＝，可得的坐標(biāo)為，進(jìn)而可以用表示的長(zhǎng)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得結(jié)果?！驹斀狻浚?）因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，P是AB的中點(diǎn)，所以P（)。因?yàn)?|CQ|＝｜QD｜,所以｜CQ|＝，所以Q（0,1,)。由兩點(diǎn)間的距離公式得：|PQ|＝＝。（2)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，則PE垂直于坐標(biāo)平面xOy.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則由正方體的性質(zhì)可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)也為x.由正方體的棱長(zhǎng)為1，得|AE|＝（1－x)．因?yàn)?，所以|PE｜＝＝1－x，所以P(x，x1－x)．又因?yàn)镼(0,1，),所以|PQ|＝所以當(dāng)x＝時(shí)，|PQ|min＝,即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（)，即P為AB的中點(diǎn)時(shí)，|PQ|的值最小，最小值為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查正方體的性質(zhì)、空間兩點(diǎn)間的距離公式以及最值問(wèn)題，屬于中檔題.最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決,非常巧妙；二是將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.21。如圖,在三棱錐中，，,°,平面平面，分別為中點(diǎn)。（1）求證：平面；（2)求二面的大小.【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1)由三角形的中位線定理可得,進(jìn)而由線面平行的判定定理，即可正面的結(jié)論;(2）以D為原點(diǎn)建立空間空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量,代入向量的夾角公式，即可求解二面角的大?。驹斀狻?1）在中,D、E分別為AB、AC的中點(diǎn),所以，又由平面平面,所以平面．(2)連接PD，因?yàn)镻A=PB,E為AB的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由，所以所以，設(shè)平面PBE的法向量為，則,即，令,得，因?yàn)槠矫?，所以平面PAB的法向量為，設(shè)二面角的大小為，所以,所以,即二面角的大小為．【點(diǎn)睛