高考數(shù)學模擬試卷及答案

高考模擬測試數(shù)學試題

（滿分：150分考試時間：120分鐘）

一、單項選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.

1.設集合4={尤|一2<%<2},8={刀|》2一4毛,0},則A|JB=（）

A.（-2,4］B.（-2,4）C.（0,2）D.[0,2)

2.已知復數(shù)z與（z+2）2-8i均是純虛數(shù)，則z的虛部為（）

A.-2B.2C.-2/D.-2i

3.已知直線/,加和平面且/_La,貝是加〃a的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知萬,日是兩個夾角為三的單位向量，則，方的最小值為（）

11八3D.B

A.-B.—C.一

4242

5.函數(shù)y=2x（lnx+l）在x=l處的切線方程為（）

A.y=4x+2B.y=2x-4C.y=4x-2D.v=2x+4

6.我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調查，通過抽樣,

獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照［0。5）,［0.5,1）,…，［4,4.5］分成9

組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.則估計全市居民月均用水量的中位數(shù)是（）

A.2.25噸B.2.24噸C.2.06噸D.2.04噸

7.某程序框圖如圖所示，若該程序運行后輸出的值是〕,則

6

A.a=7B.。二6

C.a=5D.a=4

8.函數(shù)/（力=（總7-l}inx的部分圖象大致形狀是（）

9.《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，也是古代東方數(shù)學的代表作.書中有如下問題：“今有勾八步，股十

五步，問勾中容圓徑幾何？’‘其意思是：“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步，問其內切圓的直

徑是多少？”現(xiàn)若向此三角形內投豆子,則落在其內切圓內的概率是（）

3汽3萬712K

A.—B.—C.一D.—

201045

10.已知點M（2,%）為拋物線丁2=2〃乂（〃>0）上一點，F(xiàn)為拋物線焦點，O為坐標原點，若

S\MF\^7\MO\.則p的值為（）

A.1或一B.之或3C.3或3D.1或』

4242

11.點C,。是平面0內的兩個定點，CD=2,點A,8在平面a的同一側，且AC=4,3C=2,若AC,6c

5TTIT

與平面a所成的角分別為二，一，則下列關于四面體ABC。的說法中，不正確的是（）

124

A.點A在空間中的運動軌跡是一個圓B.AA6c面積的最小值為2

C.四面體4BC。體積的最大值為2GD.當四面體A8CD的體積達最大時，其外接球的表面

積為20兀

12.已知點A,B,C是函數(shù)y=+的圖象和函數(shù)了=行5皿"一看］,0>0圖象的

連續(xù)三個交點，若AABC是銳角三角形，則。的取值范圍為（）

A6'+8）［。闖D.陷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

（1、3

13.（X2-2X-1）-+2的展開式中的常數(shù)項是.

）

22

14.已知耳、鳥雙曲線1一2=1（4>0/>0）的左、右焦點，A、8為雙曲線上關于原點對稱的兩點，且滿

TT

足AFX±BF｝,ZABFt=—，則雙曲線的離心率為.

15.已知數(shù)列｛4｝前"項和5“=1%+〃一：，則久的最大值為.

16.如圖，等腰△P48所在平面為a,PA上PB，AB=6.G是APAB重心.平面a內經過點G的直

線/將△PAB分成兩部分，把點尸所在的部分沿直線/翻折，使點尸到達點?'（尸任平面。）.若P'在平

面a內的射影，恰好在翻折前的線段AB上，則線段P'H的長度的取值范圍是.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在ZiABC中，角A,B,C的對邊分別是b,c,且2cosBsinC=2sinA-sin5

⑴求C；

(2)若c=G(b—a),AA5c的面積為2日一3,求從

18.如圖，在四棱臺ABC?！?4GA中，底面四邊形ABC。為菱形，AA=A4=；A8=1,

ZABC=60J.平面A3CD.

D

B

⑴若點"是AO的中點，求證：C.M±\C-

(2)棱3c上是否存在一點E，使得二面角E-A〃-￡＞余弦值為:？若存在，求線段CE的長；若不存

在，請說明理由.

19.紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農作物造成嚴重傷害.每只紅鈴蟲的平均產卵數(shù)y和平均溫度》有

關.現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

平均溫度x/°c21232527293235

平均產卵數(shù)y/個711212466115325

〃/—\/—

）￡（西-;r

XyZZ（為-磯Zj—Z

i=\i=l

27.42981.2863.61240.182147.714

-17

表中Z,.=lny,Z=-^Z,.

7,=1

產卵我A

350?

300-

250-

200-

150-

100?

202224262830323436iX/f

(1)根據(jù)散點圖判斷，y=a+灰與y=ce&'(其中e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))哪一個更適宜作為平均產卵

數(shù)y關于平均溫度x的回歸方程類型？(給出判斷即可不必說明理由)并由判斷結果及表中數(shù)據(jù)，求出>關于

x的回歸方程.(計算結果精確到小數(shù)點后第三位)

(2)根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達到28℃以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均

不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到28℃以上的概率為〃(0<。<1).

(i)記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為/(.),求/(p)的最大值，并求出相應的概率P。.

(ii)當/(0)取最大值時，記該地今后5年中，需要人工防治的次數(shù)為X，求X的數(shù)學期望和方差.

附：對于一組數(shù)據(jù)(玉,4),(9*2),…,(七*7),其回歸直線1=a+的斜率和截距的最小二乘法估計分

7

.^(x,.-x)(z,.-z)

別為：b=—~~Q>a-z-bx-

￡(%-才

/=1

1丫22

20.已知離心率為-的橢圓G:*■+方=1(a>6〉0)與拋物線G：丁=4x有相同的焦點F,

尸(L2),。是坐標原點.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)已知直線/：x=〃zy+f與拋物線交于A,8兩點，與橢圓交于C,。兩點，若八鉆。的內切圓圓心始

終在直線P尸上，求AOC。面積的最大值.

21.已知函數(shù)/(x)=alnx+x-8cosx.

(1)若a=0,函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)，求實數(shù)》取值范圍;

a

(2)設0<b<l,若存在0<%使/(%)=/(々)，求證：a<0且<

b—1

夜

X=CL~\-------1

2

22.在平面直角坐標系xQy中，曲線G過點。(。，1)，其參數(shù)方程為〈:（f為參數(shù)，aeR）.以。

V=1H---1

-2

為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為夕cos2e+4cos。-2=0.

(1)求曲線G的普通方程和曲線G的直角坐標方程;

(2)已知曲線G與曲線。2交于兩點，且|PA|=2|P5|,求實數(shù)。的值.

23.已知函數(shù)/(x)=|x-a|+2a,g(x)=|x+l|.

(1)當。=1時，解不等式〃x)-g(x)W3；

(H)當xeR時，/(x)+g(x"4恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

答案與解析

一、單項選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.

1.設集合4={%|—2<x<2},3={x|爐一4三o},則AUB=()

A.(-2,4JB.(-2,4)C.(0,2)D.[0,2)

［答案］A

［解析］

［分析］先求出集合B,再根據(jù)并集定義即可求出.

［詳解］因為集合8={x|x2-4x<01={x［0<x<4},

所以Au8={x卜2<x<4}=(-2,4］.

故選：A.

2.已知復數(shù)Z與(z+2)2-8i均是純虛數(shù)，則Z的虛部為()

A.-2B.2C.-2/D.—2i

［答案］A

［解析］

［分析］利用復數(shù)的乘方運算以及復數(shù)的概念即可求解.

［詳解］設z="i(beR,且"WO),

則(z+2/—8i=(4+2)2_8i=(4—尸)+(如_8)i；

2［4—/?2=0,

若(z+2)-8是純虛數(shù)，則《,解得b=-2.

')［癡-8w0,

故選：A

3.已知直線/,〃？和平面a,且/_La,則/，機是加〃1的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［答案］B

［解析］

［分析］從充分性和必要性兩方面分別分析判斷得解.

［詳解］因為/_La,所以：

當/_1_m時，可得mu?；蚣印ü食浞中圆怀闪?；

當m〃a時:顯然/_1_機成立，故必要性成立.

所以/_L加是m//a的必要不充分條件.

故選：B.

［點睛］方法點睛：判定充要條件常用的方法有三種：

(1)定義法：直接利用充分必要條件的定義分析判斷得解；

(2)集合法：利用集合的包含關系分析判斷得解；

(3)轉化法：轉化成逆否命題分析判斷得解.

4.已知a,B是兩個夾角為g的單位向量，則|揚一@的最小值為()

11C3V3

A.-B.—C.—D.----

4242

［答案］D

［解析］

［分析］根據(jù)公式7對所求向量的模進行平方，然后結合二次函數(shù)的性質求上5-@的最小值.

［詳解］因為萬，日是兩個單位向量，所以同=i,w=i,

所以|歷一a-［kb—-k2b+a-2ka-b-k21^|+|a|cosy

=￡―左+1=(上-g)+??；，所以|歷

故選：D.

5.函數(shù)y=2x(lnx+l)在x=l處的切線方程為()

A.y-4x+2B.y=2x-4C.y=4x—2D.y=2x+4

［答案］C

［解析］

［分析］

先求出導函數(shù)，代入x=l可得切線斜率，再求出切點，進而可得切線方程.

［詳解］解：由已知/=2(lnx+l)+2x--=21nx+4,

x

則y'L=4,

又％=1時,y=2,

則切線方程為)，=4元-2.

故選：c.

［點睛］本題考查利用導數(shù)求切線方程，是基礎題.

6.我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調查，通過抽樣,

獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照［0,05),［0.5,1),…，［4,4.5］分成9

組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.則估計全市居民月均用水量的中位數(shù)是()

6

06..12

S.8

804

.0

A.2.25噸B.2.24噸C.2.06噸D.2.04噸

［答案］D

［解析］

［分析］利用中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的求解即可.

［詳解］由頻率分布直方圖可知，月用水量在［0,0.5)的頻率為0.08x0.5=0.04.

同理，在［0.5,1),［1.5,2),［2,2.5),［3,3.5),［3.5,4),［4,4.5］等組的頻率分布為0.08,0.21,0.25,

0.06,0.04.0.02.由l-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=2x0.5xa,解得a=0.30,設

中位數(shù)為x噸.因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,前4組的頻率之和

為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,所以2,x<2.5.由0.50x(%-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.

故選：D

［點睛］利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，應注意三點：①最高的小長方形底邊中點的橫坐標

即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于

頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.

7.某程序框圖如圖所示，若該程序運行后輸出的值是〕,則

6

A.a—1B.a-6

C.a=5D.a=4

［答案］C

［解析］

［分析］

分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算累加

并輸出滿足條件的S值，模擬程序的運行結果，可得a滿足的條件為5”。<6,結合選項即可得到答案.

［詳解］解：模擬程序的運行，可得：

S=1,k-\

不滿足條件A>a,執(zhí)行循環(huán)體，S=l+—匚，k=2

1x2

不滿足條件女>a,執(zhí)行循環(huán)體，S=l+」一+」一,k=3

1x22x3

不滿足條件A>a,執(zhí)行循環(huán)體，S=l+—!—+」一+—1—,k=4

1x22x33x4

不滿足條件%>a,執(zhí)行循環(huán)體，S=l+」一+」一+—'-+」一,k=5

1x22x33x44x5

不滿足條件%>a,執(zhí)行循環(huán)體，

S=l+—+—+—+—+—=1+(1--)+(---)+...+(---)=1+1--=—,k=6

1x22x33x44x55x62235666

由題意，此時應該滿足條件上〉a,退出循環(huán)，輸出S的值為

6

故可得5,,a<6,

故選：C.

［點睛］本題考查的知識點是循環(huán)結構的程序框圖的應用，其中利用模擬程序執(zhí)行過程的方法，求解程序的運

行結果是解答此類問題常用的方法，屬于基礎題.

8.函數(shù)=卜nx的部分圖象大致形狀是()

［解析］

［分析］判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質和正弦函數(shù)的性質，用特殊值法進行判斷即可.

［詳解］/(x)=fj^7-ljsinx=1^.sinx,顯然定義域為全體實數(shù)集，

因為/(-%)=-~—?sin(-x)=-——--(-sinx)=-~—sinx=f(x).

l+e~xex+11+e*

所以該函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關于縱軸對稱，因此排除B、D,

當無>()時、有e*>l，因此當xe(O,幻時，sinx>0.所以當xe(O,幻時，/(x)<0,

顯然選項A不符合，選項C符合，

故選：C

9.《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，也是古代東方數(shù)學的代表作.書中有如下問題：“今有勾八步，股十

五步，問勾中容圓徑幾何？’‘其意思是：“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步，問其內切圓的直

徑是多少？”現(xiàn)若向此三角形內投豆子，則落在其內切圓內的概率是()

3兀3兀?712n

A.—B.--C.——D.—

201045

［答案］A

［解析］

［分析］根據(jù)直角三角形的內切圓半徑二(。，〃為直角邊，。為斜邊)，求出圓的面積，再利用幾

2

何概型-面積比即可求解.

［詳解］由題意兩直角邊為。=8,6=15,斜邊c=而+15?=17'

a+b-c8+15-17

所以內切圓半徑廠=

~2—一2

所以落在其內切圓內的概率:

2

n7ix33萬

FT萬

一XoX1J

2

故選：A

［點睛］本題考查了幾何概型的概率計算公式-面積型，屬于基礎題.

10.已知點M(2,%)為拋物線丁2=2庶,(〃>0)上一點，尸為拋物線的焦點，O為坐標原點，若

8|MF|=7|MO|.則p的值為()

A.1或之B.士或3C.3或3D.I或3

4242

［答案］C

［解析］

［分析］根據(jù)拋物線的定義，表示出|〃F|,再根據(jù)平面直角坐標系上任意兩點的距離公式表示出|明，即可

得到方程，解得即可；

［詳解］解：因為點〃(2,%)為拋物線丁2=2*,(〃>0)上一點，尸為拋物線的焦點，所以|"月=2+5，

\MO\=百+%2=74+47，又81M同=7|MO|,所以8(2+=744+4p,即4(4+/?)2=49(1+/?)

解得p=3或p=*

4

故選：C

11?點C,。是平面a內的兩個定點，C￡>=2,點A,B在平面a的同一側，且AC=4,BC=2,若AC,6C

5JTTT

與平面a所成的角分別為二,一，則下列關于四面體ABC。的說法中，不正確的是（）

124

A.點A在空間中的運動軌跡是一個圓B.AABC面積的最小值為2

C.四面體4BCD體積的最大值為26D.當四面體ABC。的體積達最大時，其外接球的表面

積為2（比

［答案］C

［解析］

［分析］由題意畫出圖形，過C作平面a的垂線/,分析可知A在以/為軸線，以C4為母線的上底面圓周上,

可判斷A；寫出AABC的面積，求出NACB的最小值，可得△MC面積的最小值可判斷B；當乙4cB最

大，且平面ACB_L8時，四面體A8C。體積取得最大值，求出最大值可判斷C；求出四面體A8C。體積

取得最大值時，其外接球的半徑，進一步求出外接球的表面積可判斷D.

［詳解］如圖所示,

則A在以/為軸線，以C4為母線的上底面圓周上，故A正確；

對于B,B在以/為軸線，以CB為母線的上底面圓周上，則SVABC=（AC-sinNACB,由圖可知，

TT'JiTTTT'JI'JII

------<ZACB<-+—,即則AABC面積的最小值為S=—x4x2x—=2,故B

4124126322

正確；

對于C,當NACB最大，且平面ACB_LCD時，四面體ABC。體積取得最大值為

—X—x4x2x^^x2=4幣,故C錯誤;

3223

TT

對于D,當四面體ABC。體積取得最大值時，ZACB=-,AC=4,BC=2,利用余弦定理求得

3

AB2=16+4-2x4x2xl=12,滿足AB?+BC?=AC?,可得則AABC所在截面圓的圓

2

心為AC中點E,設四面體ABCD外接球的球心為0,則0E±平面A8C,則OE//CD,0E=工CO=1,

2

在直角△OEC中，求得OC=JOE2+EC2=5即四面體A8CO外接球的半徑為逐，其表面積為

4">=20",故D正確；

故選：C

［點睛］方法點睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法

(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓

的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解.

(2)若球面上四點P,4,B,C構成的三條線段PC兩兩互相垂直，一般把有關元素“補形”成為一個

球內接長方體，PA1+PB2+PC2=47?2

12.已知點A,B,C是函數(shù)y=J5sin［&x+?)6y>0的圖象和函數(shù)y=Csin［tyxqJ,3>0圖象的

連續(xù)三個交點，若AAHC是銳角三角形，則。的取值范圍為()

A.你+8)B.僅+8)C.［0,f］D.陷

［答案］A

［解析］

［分析］作出函數(shù)圖象，結合銳角三角形的等價條件進行轉化，求出三角形的底和高，結合三角函數(shù)的相交性

質進行求解即可.

［詳解］作出兩個函數(shù)的圖象如圖，則根據(jù)對稱性可知A8=3。，即AABC為等腰三角形，

函數(shù)的周期為T=/，且AC=T,

co

取AC中點M，連接BM,則8W_L4C,

要使AABC是銳角三角形，只需要NABM<45”即可,

即tanNABM=<1即可，即AM<BM,

BM

由0sin"x+WJ=J^sin(iyx-?J得sin"x+?)=sinsx一弋

71（九、［兀5萬

則CDX~\-71—\（0X---=------CDX,可得0）X=,

3v6J612

則y=5/2sin+yl-41sin+y=V2sin=V2x-1,

即A點的縱坐標為1,則3"=2,

由AM<BM得，AC<3M,即」T<2,則T<4，

22

即也<4,得二，即切的取值范圍為+8.

co2<2J

故選：A.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.12_2》_1)(/+2)的展開式中的常數(shù)項是.

［答案卜26

［解析］

［分析］首先原式展開，再按照生成法求展開式中的常數(shù)項.

［詳解］原式=》2(！+21-2x(-+2］-(-+2］，展開式中的常數(shù)項是：

lxJ1％JlxJ

21+(-2^)-Cff-1-22+(-l)-23=-26.

I"'^xj

故答案為：-26

22

14.己知耳、B雙曲線二一斗=1(。＞0力＞0)的左、右焦點，A、B為雙曲線上關于原點對稱的兩點，且滿

ab“

77

足AFX±BF］,ZAB^=—,則雙曲線的離心率為.

1答案］&

［解析］

［分析］可得四邊形4與期為矩形，運用三角函數(shù)的定義可得，|A制=2csina,忸制=2ccosa由雙曲線

的定義和矩形的性質，可得2c|cosa-sina|=2a,由離心率公式求解即可.

fv2

［詳解］6、5為雙曲線彳—京=1（。>0/>0）的左、右焦點，從《，86

可得四邊形AgB月為矩形，

在放△從幽中，Q用=c,.?.|AB|=2c,

在RfZSSB耳中,ZABFt-a,可得|A耳|=2csina,忸耳|=2ccosa,

.?.忸工HA引=||A￡|TA勾卜2c|cosa-sina\=2a,

_c_]_1

.??八1|cosa-sinT及cos(a+￡j，

7i/萬、7ti

a-——,7.cosa+—=cos—=—,

12I4j32

e=y/2>

故答案為：、歷.

［點睛］關鍵點點睛：得出四邊形A心8a為矩形，利用雙曲線的定義解決焦點三角形問題.

15.已知數(shù)列｛0“｝的前〃項和5.=一4+〃一一，則的最大值為.

33

7

［答案］——

［解析］

［分析］由數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列｛4-1｝是首項為-2,公比為-2的等比數(shù)列，從而可求得數(shù)列｛4｝的通

項公式，寫出縱的表達式，分"為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況求得芻出的取值范圍即可得解.

an

2424

［詳解］已知S=—?！?，令〃則百=—q+1—，解得q=-1,

3333

24

當〃N2時t，Si，

22

兩式相減，得牝=§。,,一§。,1+1，即4-1=-2(a,i-1)(〃22),

,數(shù)列｛4-1｝是首項為一2,公比為—2的等比數(shù)列，

.(-2嚴+1_213

.?.4一1=(一2)",貝必“=(一2)"+1,

a“(-2)n+l(-2)n+l

a,三3,c7,

當"為偶數(shù)時，n+=-2+2“+］e(-2,--］；

當“為奇數(shù)時，=-2+e［-5,-2).

an-2+1

e［-5,-2)u(-2,-,即也■的最大值為一二.

%5a,5

_,7

故答案為：—

5

［點睛］已知S“求/步驟：

1、先利用4=S1求出力.

2、用n-\替換S“中的〃得到一個新的關系，利用4=s“-S“T(〃>2)便可求出當〃22時a?的表達式.

3、對〃=1時的結果進行檢驗，看是否符合〃22時凡的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合

寫；如果不符合，則應該分〃=1與〃N2兩段來寫.

16.如圖，等腰△尸A3所在平面為a,PALPB,AB=6.G是△出3的重心.平面a內經過點G的直

線I將APAB分成兩部分，把點P所在的部分沿直線/翻折，使點P到達點P(P'史平面a).若尸'在平面

a內的射影”恰好在翻折前的線段AB上，則線段戶〃的長度的取值范圍是.

p

t答案］(o,5］

［解析］

［詳解］因為等腰△PAB所在平面為a-PAA.PB'AB=6.

G是"AB的重心，所以可得PA=30,PG=2>

連接P'G,〃G，在RAP0G中，P'G=2,

P'H=yJP'G2-HG2=V4-HG2-

當〃與A重合時"G最大為2,此時P'”最小，P'"=0,(P'與A重合)

作G/7LAB于H，此時G”最小1,產〃最大為JQ=G，

P'H的長度的取值范圍是(0,6］，

故答案為(0,6］.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是。，b,c,H2cosBsinC=2sinA-sinB

⑴求C；

(2)若c=&(b-a),△43。的面積為2個一3,求從

JI

［答案］(1)C=§;(2)6=G-1.

［解析］

［分析］

(1)由于sin>4=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,代入2cos3sinC=2sinA—sin5化簡得

2sinBcosC=sinB可得答案；

(2)由已知得?=3W+a2-2ab),結合余弦定理得b=2a,由面積公式S=("sinC=2^-3可得答

案.

［詳解］(1)由于sin4=sin(3+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以2cosBsinC=2sinA-sinB=2(sinBcosC+cosBsinC)-sinB,

化簡得2sinBcosC=sin8,因()<3〈乃，所以sin8>(),

1JI

所以cosC=—,C=~.

23

⑵由⑴得C=(得，由已知條件c=G僅—a)，

得c?=3伊+/一2ab),b>a,

由余弦定理得c?=/+b--lahcosC^a1+b2-ah<

且/?>a,得b=2a,

工n八ic1,.2\/3—3HUh~^32s［^>—3

由面積公式S=—absinC=-------，即一x—=-------

24424

解得力=6-1.

［點睛］本題考查了利用兩角和公式、余弦定理、面積公式解三角形，關鍵點是利用公式熟練進行邊角之間的

轉換和計算.

18.如圖，在四棱臺ABCO-AgGA中，底面四邊形ABCD為菱形，AA.==^AB=\,

ZABC=60-明,平面45。。.

M

B

(1)若點M是A￡＞的中點，求證：C,M±A,C；

(2)棱8C上是否存在一點E，使得二面角E-AR-。的余弦值為g?若存在，求線段CE的長；若不存

在，請說明理由.

［答案］(1)證明見解析；(2)存在，且。七=1—正.

2

［解析］

［分析］(1)取中點Q,連接AQ、4。、AC,以點A為坐標原點，以AQ、A。、A4所在直線分別

為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，計算出不/章:=o,進而可證得

(2)設點E的坐標為(6,40),其中利用空間向量法可得出關于實數(shù)4的方程，由題意得出點

￡在線段QC上，可求得力的值，進而可求得CE,即可得出結論.

［詳解］(1)取中點Q,連接AQ、4C、AC,

因為四邊形ABC。為菱形，則AB=BC,QNABC=60°，.1△ABC為等邊三角形，

???Q為6c的中點，則AQL6C,

由于A&_L平面ABC。，以點A為坐標原點，以AQ、A。、A4所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立

空間直角坐標系，如圖.

(出1)

則A((),(),0)、4(0,0,1)、A(0,1,1)、Q(6,o,o)、c(73,l,o),C,+，不,1、A/(0,1,0),

I22J

QM=而=M，1，T，

.?.時.而=-|+g+(—1)2=0,1A,C；

(2)假設點E存在，設點E的坐標為(G,4。)，其中一1W/IW1，

荏=便,尢0),⑼=(0,1,1),

設平面的法向量為7=(x,y,z),貝/〃,竺=°,即卜3V=

I')[n-AD,=0[y+z=0

取y=-石，則x=2，z=也,所以，〃=(%—6,月)，

平面的一個法向量為五=(1,0,0),

I--I，小〃21百

所以，COSVW〉==7，解得4=±—，

1j1jmH〃|=_V/^<+..6...32

又由于二面角E-A?！?。為銳角，由圖可知，點E在線段QC上，所以幾=正，即。七=1一走.

22

1同

因此，棱8c上存在一點E，使得二面角E-A。-。余弦值為§,此時。后=1一號.

[點睛]方法點睛：立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種：

(1)根據(jù)題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想，找出點或線的位置，然后再加以證明，得出結論；

(2)假設所求的點或線存在，并設定參數(shù)表達已知條件，根據(jù)題目進行求解，若能求出參數(shù)的值且符合已知

限定的范圍，則存在這樣的點或線，否則不存在.

19.紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農作物造成嚴重傷害.每只紅鈴蟲的平均產卵數(shù)y和平均溫度》有

關.現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

平均溫度X/°C21232527293235

平均產卵數(shù)y/個711212466115325

))2

XyZ之(西―磯Zj-Z七1j—X

/=1/=1

27.42981.2863.61240.182147.714

_]7

表中z,.=lny,z=~YjZi

'i=\

產卵較“

350■

300*,

250?

200?

150-

100-?

50-..?

0La--_i_u__?----1__i?_??-----

202224262830323436S/t

(1)根據(jù)散點圖判斷，y=a+灰與y=ce&'(其中e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))哪一個更適宜作為平均產卵

數(shù)y關于平均溫度x的回歸方程類型？(給出判斷即可不必說明理由)并由判斷結果及表中數(shù)據(jù)，求出>關于

x的回歸方程.(計算結果精確到小數(shù)點后第三位)

(2)根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達到28℃以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均

不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到28C以上的概率為

(i)記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為/(.),求/(0)的最大值，并求出相應的概率p0.

(ii)當/(p)取最大值時，記該地今后5年中，需要人工防治的次數(shù)為X，求X的數(shù)學期望和方差.

附：對于一組數(shù)據(jù)(玉,4),(9*2),…,(七*7),其回歸直線1=a+的斜率和截距的最小二乘法估計分

.^(x,.-x)(z,.-z)

別為：b=—~~Q>a-z-bx-

￡(%-才

/=1

［答案］(l)y=C*更適宜；y=薩72一849；⑵⑴=|||,此時相應的概率為^=|；(ii)E(X)-3,

D(X)咚

［解析］

［分析］

(1)根據(jù)題意，得到y(tǒng)=ce"更適宜作為平均產卵數(shù)，利用回歸方程的定義，直接求解即可：

⑵(i)由/(p)=Cp3(］_p)2,得7(p)=Cp2(］-p)(3—5p),利用導數(shù)性質求解即可；

(ii)利用期望和方差的公式進行求解即可

［詳解］(1)根據(jù)散點圖可以判斷y=ce"■'更適宜作為平均產卵數(shù)V關于平均溫度x的回歸方程類型.

對,=ce'&兩邊取自然對數(shù)得Iny=lnc+dc,令z=lny,<a=lnc.b=d,^z=a+bx.

40.182

“0.2720,所以a=1一妖=3.612-0.272x27.429?-3.8491

147.714

所以z關于x的線性回歸方程為0.272%-3.849，所以》關于8的回歸方程為g=e°-272jt-3-849.

(2)(i)由/(p)=C；p3(l—〃)2,得r(p)=Cfp2(i—p)(3—5p),因為

33

令/'(p)>o得3—5“>0,解得0<〃<二；令/'(p)<0得3—5〃<0,解得g<p<l,

所以/(〃)在(0,()上單調遞增，在(|』)上單調遞減，所以/(〃)有唯一極大值/(|),也為最大值.

所以當p=|時，/(p)nm=|||,此時響應的概率為=|.

(ii)由(i)知，當/(〃)取最大值時，p=|,所以

所以E(X)=5x|=3,