中學數(shù)學 導數(shù)處理技巧

第一講函數(shù)的切線問題導數(shù)幾何意義用導數(shù)研究曲線的切線,是高考的一個熱點,內容主要涉及求曲線的斜率與方程、曲線的條數(shù)、公切線問題,由切線滿足條件求參數(shù)或參數(shù)范圍等,高考中既有基礎客觀題,也有壓軸客觀題,時而也會以解答題形式考查.1.【2019全國卷Ⅲ】已知曲線在點處的切線方程為y=2x+b,則A． B．a(chǎn)=e,b=1 C． D．,2．【2018全國卷Ⅰ】設函數(shù),若為奇函數(shù),則曲線在點處的切線方程為A． B． C． D．3．【2016年全國卷Ⅱ】若直線是曲線的切線,也是曲線的切線,則．4.【2019全國卷Ⅱ】已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；（2）設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.一、利用導數(shù)研究曲線的斜率或傾斜角導數(shù)的幾何意義是研究曲線的切線的基石,函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義,就是曲線y＝f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率．也就是說,曲線y＝f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.【例1】已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù),如果f′(x)是二次函數(shù),f′(x)的圖象開口向上,頂點坐標為(1,eq\r(3)),那么曲線y＝f(x)上任一點處的切線的傾斜角α的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))【對點訓練】【安徽省淮南市2019屆高三第一次模擬】已知函數(shù),若直線過點,且與曲線相切,則直線的斜率為A． B．2 C． D．二、求曲線在某點處的切線求以曲線上的點(x0,f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化簡．【例2】【云南師范大學附屬中學2019屆高三月考】設是上的偶函數(shù),當時,,則在處的切線方程為（）A． B．C． D．【對點訓練】【江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考】若對恒成立,則曲線在點處的切線方程為（）A． B．C． D．三、求曲線過某點的切線求曲線過某點的切線,一般是設出切點(x0,y0),解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(x0,y0),進而確定切線方程．【例3】已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.直線l為曲線y＝f(x)的切線,且經(jīng)過原點,求直線l的方程及切點坐標.四、求曲線的切線條數(shù)求曲線切線的條數(shù)一般是設出切點,由已知條件整理出關于t的方程,把切線條數(shù)問題轉化為關于t的方程的實根個數(shù)問題.【例4】【江西省吉安市2019屆高三下學期第一次模擬】已知過點且與曲線相切的直線的條數(shù)有（）．A．0 B．1 C．2 D．3五、曲線的公切線研究曲線的公切線,一般是分別設出兩切點,寫出兩切線方程,然后再使這兩個方程表示同一條直線.【例5】【四川省成都市2019屆高三畢業(yè)班第二次診斷性檢測】已知直線即是曲線的切線,又是曲線的切線,則直線在軸上的截距為A．2 B．1 C． D．.【對點訓練】若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切,則a等于()－1或－eq\f(25,64)B．－1或eq\f(21,4)C．－eq\f(7,4)或－eq\f(25,64)D．－eq\f(7,4)或71．【江西省臨川一中2019屆高三年級考前模擬】已知曲線在點處的切線與拋物線相切,則的值為（）A． B．或 C． D．2．【山西省2019屆高三高考考前適應性訓練】函數(shù)為偶函數(shù),當時,,則曲線在處的切線方程為（）A． B． C． D．3．【福建省南平市2019屆5月綜合質量檢查】若直線與曲線相切于點,則（）．A．0 B． C． D．5．【甘肅省白銀市靖遠縣2019屆高三第四次聯(lián)考】若是函數(shù)的極值點,則曲線在點處的切線的斜率為（）A． B． C． D．6．【2019年甘肅省蘭州市高考數(shù)學一診】若點P是函數(shù)y=圖象上任意一點,直線l為點P處的切線,則直線l斜率的范圍是（）A． B． C． D．7．【湖北省武漢市2019屆高三4月調研】設曲線,在曲線上一點處的切線記為,則切線與曲線的公共點個數(shù)為A． B． C． D．8．【湖南省衡陽市2019屆高三第二次聯(lián)考】若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線,則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．【四川省棠湖中學2019屆高三上學期開學考試】已知函數(shù),若函數(shù)的圖象上存在點,使得在點處的切線與的圖象也相切,則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．【河南省洛陽市2019屆高三第三次統(tǒng)一考試】若是函數(shù)的極值點,則函數(shù)在點處的切線方程是______．11．【內蒙古2019屆高三高考一?！咳艉瘮?shù)與函數(shù),在公共點處有共同的切線,則實數(shù)的值為______．12．【北京市豐臺區(qū)2019屆高三年級第二學期綜合練習】已知函數(shù)．（1）當時,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）當時,求證：過點恰有2條直線與曲線相切．導數(shù)與不等式都是高考中的重點與難點,以導數(shù)為背景的抽象函數(shù)與不等式交匯問題是高考中的熱點,求解此類問題的關鍵是根據(jù)導數(shù)的運算法則構造合適的函數(shù),再利用導數(shù)的運算法則確定所構造函數(shù)的單調性,最后由單調性研究不等式問題.1.【2015全國Ⅱ】設函數(shù)是奇函數(shù)（）的導函數(shù),,當時,,則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．一、根據(jù)構造函數(shù)【例1】【山東省威海市2019屆高三二?！恳阎瘮?shù)的定義域為,,對任意的滿足.當時,不等式的解集為()A． B． C． D．【對點訓練】【2019年山西省忻州市靜樂縣高三下學期6月月考】定義在上的可導函數(shù)滿足,且,當時,不等式的解集為()A． B． C． D．二、根據(jù)(或)構造函數(shù)【例2】【黑龍江大慶市2019屆高三第四次模擬】已知奇函數(shù)是定義在上的可導函數(shù),其導函數(shù)為,當時,有,則不等式的解集為()A． B． C． D．【對點訓練】【海南省?？谑?019屆高三高考調研測試】已知函數(shù)的導函數(shù)滿足對恒成立,則下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．三、根據(jù)(或)構造函數(shù)【例3】【四川省名校聯(lián)盟2019屆高考模擬信息卷】設定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為,若,,則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B．C． D．【對點訓練】【山東師范大學附屬中學2019屆高三第四次模擬】定義在R上的奇函數(shù)的導函數(shù)滿足,且,若,則不等式的解集為______．四、根據(jù)(或)構造函數(shù)【例4】【云南省玉溪市2019屆第二次調研】已知定義在上的函數(shù)f(x),f’(x)是它的導函數(shù),且對任意的,都有恒成立,則（）A． B．C． D．【對點訓練】【福建省三明市2019屆高三質量檢查測試】已知函數(shù)的定義域為,其導函數(shù)為.若,且,則下列結論正確的是（）A．是增函數(shù) B．是減函數(shù) C．有極大值 D．有極小值五、根據(jù)構造函數(shù)【例5】【河南省鄭州市2019屆高三第三次質量檢測】設函數(shù)在上存在導函數(shù),,有,在上有,若,則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【對點訓練】.已知定義在R上的函數(shù)的導數(shù)為,且滿足,當時,則不等式的解集為A.B.C.D.1.【甘肅省蘭州市2019屆高三6月高考沖刺模擬】定義在上的函數(shù)滿足,,則關于的不等式的解集為()A． B． C． D．2.【安徽省1號卷A10聯(lián)盟2019年高考最后一卷】已知函數(shù)的導函數(shù)為,為自然對數(shù)的底數(shù),對均有成立,且,則不等式的解集是（）A． B． C． D．3．【云南省昆明市2019屆高三第四次統(tǒng)測】己知奇函數(shù)的導函數(shù)為,．當時,．若,則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．4.【山東省棗莊市2019屆高三月考】已知定義在R上的可導函數(shù)的導函數(shù)為,滿足,且為偶函數(shù),,則不等式的解集為（）A． B． C． D．5.【山西省太原市2019屆高三模擬試題】已知定義在上的函數(shù)滿足,且,則的解集是（）A． B． C． D．6.已知定義在上的函數(shù)滿足,且,則的解集是（）A． B． C． D．7.【新疆烏魯木齊2019屆高三第二次質量檢測】的定義域是,其導函數(shù)為,若,且（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）,則A． B．C．當時,取得極大值 D．當時,8.【安徽省黃山市2019屆高三畢業(yè)班第二次質量檢測】已知函數(shù)在上都存在導函數(shù),對于任意的實數(shù)都有,當時,,若,則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．9.【寧夏六盤山2019屆高三下學期第二次模擬】定義域為的奇函數(shù),當時,恒成立,若,,則（）A． B．C． D．10．【2019屆湘贛十四校高三聯(lián)考第二次考試】已知函數(shù)為上的偶函數(shù),且當時函數(shù)滿足,,則的解集是（）A． B．C． D．11．【河南省六市2019屆高三第一次聯(lián)考】函數(shù)是定義在上的可導函數(shù),為其導函數(shù),若,且,則不等式的解集為A． B． C． D．12．【晉冀魯豫中原名校2019屆高三第三次聯(lián)考】已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為,滿足,且為偶函數(shù),,則不等式的解集為______.13．【山東省煙臺市2019屆高三3月診斷】若定義域為的函數(shù)滿足,則不等式的解集為______（結果用區(qū)間表示）．14．【黑龍江省大慶市2019屆高三下學期二模】已知定義在上的偶函數(shù)的導函數(shù)為,對定義域內的任意,都有成立,則使得成立的的取值范圍為_____．15．【四川省攀枝花市2019屆高三下學期第三次統(tǒng)考】已知函數(shù)．若存在,使得,則實數(shù)的取值范圍是_________．用導數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)單調性,是高考的熱點與難點,難點在于如何確定分類標準,特別是含有的函數(shù),還要注意定義域問題,在討論過程中有時需要兩次或三次劃分.本專題總結一些常見的類型及分類原則,供教師或高三學生參考.1.【2019全國卷Ⅲ】已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）是否存在,使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在,求出的所有值；若不存在,說明理由.2.【2017全國卷Ⅰ】已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)若QUOTE有兩個零點,求的取值范圍．3.【2019新課標Ⅲ】已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）是否存在,使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在,求出的所有值；若不存在,說明理由.一、把研究函數(shù)的單調性轉化為解不等式此類問題,若a為參數(shù),要注意分進行討論,還要注意這一條件.【例1】【天津市耀華中學2019屆高三二?！恳阎瘮?shù),（為自然對數(shù)的底）.（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若存在均屬于區(qū)間的,,且,使,證明：；（3）對于函數(shù)與定義域內的任意實數(shù),若存在常數(shù),,使得和都成立,則稱直線為函數(shù)與的分界線.試探究當時,函數(shù)與是否存在“分界線”？若存在,請給予證明,并求出,的值；若不存在,請說明理由.【對點訓練】【遼寧省葫蘆島市2019屆高三二模】已知函數(shù).(1)討論的單調性；(2)令,當,時,證明：..故原不等式成立.二、把研究函數(shù)的單調性轉化為解不等式求解此類問題,要注意,若,則恒成立,若,則恒成立.【例2】【江蘇省揚州中學2019屆高三4月考試】設定義在上的函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍；（3）定義:如果實數(shù)滿足,那么稱比更接近.對于（2）中的及,問:和哪個更接近？并說明理由.【對點訓練】【湖南長沙第一中學2019屆高三下學期模擬】已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調性（2）函數(shù),且．若在區(qū)間（0,2）內有零點,求實數(shù)m的取值范圍.三、把研究函數(shù)的單調性轉化為一元二次不等式在R上的解集此類問題一般為三次函數(shù)或形如的函數(shù)【例3】【天津市紅橋區(qū)2019屆高三一?！恳阎瘮?shù),.（1）若,求函數(shù)的單調減區(qū)間；（2）若關于x的不等式恒成立,求實數(shù)a的范圍.【對點訓練】已知,設函數(shù).（1）討論單調性；（2）若當時,,求的取值范圍.四、把研究函數(shù)的單調性轉化為解不等式求解此類問題,首先根據(jù)a的符號進行討論,當a的符號確定后,再根據(jù)是否在定義域內討論,當都在定義域內時在根據(jù)的大小進行討論.【例4】【山西省晉城市2019屆高三第三次模擬】已知函數(shù).（1）若,討論函數(shù)的單調性；（2）若,證明：.【對點訓練】【晉冀魯豫中原名校2019屆高三第三次聯(lián)考】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若對,,求實數(shù)的取值范圍.五、把研究函數(shù)的單調性轉化為解不等式,然后根據(jù)判別式的符號進行討論求解此類問題既要考慮判別式的符號,又要注意二次項系數(shù)的符號,還要注意定義域.【例5】【廣東省2019屆高三適應性考試】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當時,討論函數(shù)的零點個數(shù).【對點訓練】【湖北部分重點中學2020屆高三年級新起點考試】已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若為的兩個極值點,證明：.1.設,,其中實數(shù)（1）若,求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)與的圖象只有一個公共點,且存在最小值時,記的最小值為,求的值域；（3）若與均在區(qū)間內為增函數(shù),求的取值范圍.2.【天津市部分區(qū)2019屆高三聯(lián)考一模】設函數(shù).（1）求的單調區(qū)間；（2）當時,試判斷零點的個數(shù)；（3）當時,若對,都有（）成立,求的最大值.3.已知函數(shù),.（1）若,求的值；（2）討論函數(shù)的單調性.4.【安徽省泗縣2019屆高三高考最后一?！恳阎?（1）討論的單調性；（2）當,時,證明：（i）在點處的切線與的圖像至少有兩個不同的公共點；（ii）若另有公共點為,其中,則.5.【山東省煙臺市、菏澤市2019屆高三5月高考適應性練習】已知函數(shù).(1)求的單調區(qū)間；(2)若,,求實數(shù)的取值范圍．6.【湖北省黃岡中學2019屆高三第三次模擬】已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）比較與的大小且,并證明你的結論.7.【山東省濰坊市2019屆高三高考模擬（5月三模)】已知函數(shù).（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點且恒成立,求實數(shù)的取值范圍.8.【山東省威海市2019屆高三二?！恳阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)證明：當時,函數(shù)有最大值.設的最大值為,求函數(shù)的值域.近幾年高考試卷及各地模擬試卷中常出現(xiàn)在函數(shù)背景下處理含有兩個變量的等式與不等式問題,這類問題由于變量多,不少同學不知如何下手,其實如能以函數(shù)思想為指導,把雙變量問題轉化為一個或兩個一元函數(shù)問題,再利用導數(shù)就可有效地加以解決.1.【2018全國卷Ⅰ】已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)若存在兩個極值點,證明：．一、與函數(shù)單調性有關的雙變量問題此類問題一般是給出含有的不等式,若能通過變形,把不等式兩邊轉化為同源函數(shù),可利用函數(shù)單調性定義構造單調函數(shù),再利用導數(shù)求解.【例1】【湖南省師范大學附屬中學2019屆高三下學期模擬】已知函數(shù),,當時,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為A．B．C．D．【對點訓練】【安徽省淮南市2019屆高三第一次模擬】已知函數(shù),其中為實常數(shù).（1）若當時,在區(qū)間上的最大值為,求的值；（2）對任意不同兩點,,設直線的斜率為,若恒成立,求的取值范圍.二、與極值點有關的雙變量問題與極值點有關的雙變量問題,一般是根據(jù)是方程的兩個根,確定的關系,再通過消元轉化為只含有或的關系式,再構造函數(shù)解題,有時也可以把所給條件轉化為的齊次式,然后轉化為關于的函數(shù).【例2】【山東省濰坊市2019屆高三5月三?！恳阎瘮?shù).（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點且恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【對點訓練】【遼寧省沈陽市東北育才學校2019屆高三第八次模擬】已知函數(shù)兩個極值點.（1）當時,求；（2）當時,求的最大值.三、與零點有關的雙變量問題與函數(shù)零點有關的雙變量問題,一般是根據(jù)是方程的兩個根,確定的關系,再通過消元轉化為只含有或的關系式,再構造函數(shù)解題,有時也可以把所給條件轉化為的齊次式,然后轉化為關于的函數(shù),有時也可轉化為關于的函數(shù),若函數(shù)中含有參數(shù),可考慮把參數(shù)消去,或轉化為以參數(shù)為自變量的函數(shù).【例3】【黑龍江省哈爾濱市2019屆高三二模】已知函數(shù),其中.（1）設是函數(shù)的極值點,討論函數(shù)的單調性；（2）若有兩個不同的零點和,且,（i）求參數(shù)的取值范圍；（ii）求證：.【對點訓練】【云南省玉溪市第一中學2019屆高三上學期第二次調研】設,函數(shù),（1）討論的單調性；（2）若有兩個相異零點,求證.四、獨立雙變量,各自構造一元函數(shù)此類問題一般是給出兩個獨立變量,通過變形,構造兩個函數(shù),再利用導數(shù)知識求解.【例4】【江西省上饒市2019屆高三第二次模擬】已知實數(shù),滿足,則的值為（）A． B． C． D．【對點訓練】【四川省綿陽市2018屆高三第三次診斷】對于任意的實數(shù),總存在三個不同的實數(shù),使得成立,則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．五、獨立雙變量,換元構造一元函數(shù)【例5】【河南省名校鶴壁高中2019屆高三壓軸第二次考試】若存在正實數(shù),使得關于的方程有兩個不等的實根（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）,則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．1.【2019年山西省太原市高三模擬】已知,函數(shù).（1）證明：有兩個極值點；（2）若是函數(shù)的兩個極值點,證明：.2．【天津市實驗中學2019屆高三第六次階段考】已知函數(shù),其中.（1）當時,求曲線在點處切線的方程；（2）當時,求函數(shù)的單調區(qū)間；（3）若,證明對任意,恒成立.3．【內蒙古2019屆高三高考一模】已知函數(shù)．(1)當時,討論函數(shù)的單調區(qū)間；(2)當時,求證：．4．設函數(shù),其中.（1）若,討論的單調性；（2）若,（i）證明恰有兩個零點（ii）設為的極值點,為的零點,且,證明.5．【安徽省1號卷A10聯(lián)盟2019屆高考最后一卷】已知函數(shù),（1）若函數(shù)有個零點,求的取值范圍；（2）若有兩個極值點,且,求證：6．【黑龍江省哈爾濱市第三中學2019屆高三第二次模擬】已知函數(shù),其中.（1）設是函數(shù)的極值點,討論函數(shù)的單調性；（2）若有兩個不同的零點和,且,（i）求參數(shù)的取值范圍；（ii）求證：.7．【四川省綿陽市2019屆高三下學期第三次診斷】已知函數(shù)有兩個不同的極值點x1,x2,且x1＜x2．（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）求證：x1x2＜a2．8．【云南省師范大學附屬中學2019屆高三第八次月考】已知函數(shù),其中.（1）討論的單調性；（2）若有兩個極值點,,證明：.利用導數(shù)證明不等式是近幾年高考命題的一種熱點題型．求解此類問題關鍵是要找出與待證不等式緊密聯(lián)系的函數(shù),然后以導數(shù)為工具來研究該函數(shù)的單調性、極值、最值(值域),從而達到證明不等式的目的．1.【2018全國卷Ⅱ】已知函數(shù)．(1)若,證明：當時,；(2)若在只有一個零點,求．一、把證明轉化為證明【例1】【廣東省2019年汕頭市普通高考第一次模擬】已知．（1）設是的極值點,求實數(shù)的值,并求的單調區(qū)間：（2）時,求證：．【對點訓練】【黑龍江省哈爾濱市第三中學2019屆高三第二次模擬】已知函數(shù),其中.（1）設是函數(shù)的極值點,討論函數(shù)的單調性；（2）若有兩個不同的零點和,且,（i）求參數(shù)的取值范圍；（ii）求證：.二、把證明轉化為證明【例2】【黑龍江省哈爾濱市2019屆高三上學期期中】已知（1）列表求在的所有極值；（2）當時,（i）求證：；（ii）若恒成立,求的取值范圍【對點訓練】【天津市耀華中學2019屆高三第二次月考】已知函數(shù).（1）（ⅰ）求證：；（ⅱ）設,當時,求實數(shù)的取值范圍；（2）當時,過原點分別作曲線與的切線,已知兩切線的斜率互為倒數(shù),證明：.三、把證明轉化為證明【例3】【河北省衡水2019屆高三四月大聯(lián)考】已知曲線在點處的切線與直線垂直.（1）求函數(shù)的最小值；（2）若,證明：.【對點訓練】【遼寧省師范大學附屬中學2019屆高三上學期期中】已知．（1）求函數(shù)在定義域上的最小值；（2）求函數(shù)在上的最小值；（3）證明：對一切,都有成立．四、把證明轉化為證明【例4】【河南省八市重點高中聯(lián)盟“領軍考試”2019屆高三第五次測評】已知函數(shù),且曲線在點處的切線與直線垂直.（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）求證：時,.【對點訓練】【安徽省定遠中學2019屆高三全國高考猜題預測卷】已知函數(shù).（1）當時,求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）證明：當時,.五、改編不等式結構,重新構造函數(shù)證明不等式【例5】【東北三省三校2019屆高三第三次模擬】已知函數(shù),（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若在上單調遞減,求的最大值；（2）當時,證明：.【對點訓練】【山西省晉城市2019屆高三第三次模擬】已知函數(shù).（1）若,討論函數(shù)的單調性；（2）若,證明：.1．【廣東省潮州市2019屆高三第二次模擬】已知函數(shù)（1）當時,關于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：對于任意的正整數(shù),不等式恒成立．2．【山東省棲霞市2019屆高三高考模擬】設函數(shù),其中,是自然對數(shù)的底數(shù).（1）若在上存在兩個極值點,求的取值范圍；（2）若,證明：.3．【湖南省師范大學附屬中學2019屆高三下學期模擬（三)】已知函數(shù).（1）當時,求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設,當時,對任意,存在,使,證明：.4．【廣東省深圳市高級中學2019屆高三適應性考試】已知函數(shù),.（1）設,討論函數(shù)的單調性；（2）若,證明：在恒成立.5．【廣東省韶關市2019屆高考模擬測試（4月)】已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設,求證：（參考數(shù)據(jù)：）．6．【山東省實驗中學等四校2019屆高三聯(lián)合考試】已知函數(shù),（1）當時,證明；（2）已知點,點,設函數(shù),當時,試判斷的零點個數(shù)．7．【山東省濰坊市2019屆高三高考模擬（4月二模)】已知函數(shù)（無理數(shù)…）．（1）若在單調遞增,求實數(shù)的取值范圍：（2）當時,設,證明：當時,．8．【江西省名校（臨川一中、南昌二中)2019屆高三5月聯(lián)合考】已知函數(shù)（1）若對于任意的x恒成立,求a的取值范圍（2）證明：對任意的恒成立9．【安徽省江淮十校2019屆高三年級5月考前最后一卷】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若函數(shù)的圖像與軸相切,求證：對于任意互不相等的正實數(shù),,都有.10．【江西省名校（臨川一中、南昌二中)2019屆高三5月聯(lián)合考試】已知函數(shù)（1）若,求證：（2）若,恒有,求實數(shù)的取值范圍.函數(shù)零點問題是高考中的熱點,內容主要包括函數(shù)零點個數(shù)的確定、根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍、隱零點問題及零點存在性賦值理論.1.【2019全國Ⅰ理20】已知函數(shù),為的導數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點．一、函數(shù)零點個數(shù)問題用導數(shù)研究函數(shù)的零點,一方面用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性,借助零點存在性定理判斷；另一方面,也可將零點問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題,利用數(shù)形結合來解決．對于函數(shù)零點個數(shù)問題,可利用函數(shù)的值域或最值,結合函數(shù)的單調性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點、最低點,分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性,分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢,分析函數(shù)的單調性、周期性等．但需注意探求與論證之間區(qū)別,論證是充要關系,要充分利用零點存在定理及函數(shù)單調性嚴格說明函數(shù)零點個數(shù)．【例1】若函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有三個不同的零點,則實數(shù)a的取值范圍是________．【對點訓練】【天津市河北區(qū)2019屆高三一模】已知函數(shù),其中.（1）當a=1時,求函數(shù)的單調區(qū)間：（2）求函數(shù)的極值；（3）若函數(shù)有兩個不同的零點,求a的取值范圍.二、零點存在性賦值理論確定零點是否存在或函數(shù)有幾個零點,作為客觀題常轉化為圖象交點問題,作為解答題一般不提倡利用圖象求解,而是利用函數(shù)單調性及零點賦值理論.函數(shù)賦值是近年高考的一個熱點,賦值之所以“熱”,是因為它涉及到函數(shù)領域的方方面面：討論函數(shù)零點的個數(shù)(包括零點的存在性,唯一性)；求含參函數(shù)的極值或最值；證明一類超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各種題型中的參數(shù)取值范圍等,零點賦值基本模式是已知f(a)的符號,探求賦值點m(假定ma)使得f(m)與f(a)異號,則在(m,a)上存在零點．賦值點遴選要領：遴選賦值點須做到三個確保：確保參數(shù)能取到它的一切值；（2）確保賦值點x0落在規(guī)定區(qū)間內；（3）確保運算可行（1）確保參數(shù)能取到它的一切值；（2）確保賦值點x0落在規(guī)定區(qū)間內；（3）確保運算可行．三個優(yōu)先：（1）優(yōu)先常數(shù)賦值點；（2）優(yōu)先借助已有極值求賦值點；（3）優(yōu)先簡單運算.【例2】【天津市部分區(qū)2019屆高三聯(lián)考一?！吭O函數(shù).（1）求的單調區(qū)間；（2）當時,試判斷零點的個數(shù)；（3）當時,若對,都有（）成立,求的最大值.【對點訓練】【湖南省衡陽市2019屆高三三?！恳阎瘮?shù)存在極大值與極小值,且在處取得極小值.（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.三、隱零點問題利用導數(shù)求函數(shù)的最值,常常會把最值問題轉化為求導函數(shù)的零點問題,若導數(shù)零點存在,但無法求出,我們可以設其為,再利用導函數(shù)的單調性確定所在區(qū)間,最后根據(jù),研究,我們把這類問題稱為隱零點問題.【例3】【廣東省2019年汕頭市普通高考第一次模擬】已知．（1）設是的極值點,求實數(shù)的值,并求的單調區(qū)間：（2）時,求證：．【對點訓練】【河南省八市重點高中聯(lián)盟“領軍考試”2019屆高三第五次測評】已知函數(shù),曲線在點處的切線為.（1）求,的值；（2）若對任意的,恒成立,求正整數(shù)的最大值.1．【天津市紅橋區(qū)2019屆高三一?！恳阎瘮?shù)（k為常數(shù)）是實數(shù)集R上的奇函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求k的值；（2）討論關于x的方程如的根的個數(shù).2．【廣東省2019屆高三適應性考試】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當時,討論函數(shù)的零點個數(shù).3．【湖南省雅禮中學2019屆高考模擬卷（二)】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）若曲線在點（處的切線與曲線在點處的切線互相垂直,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）設函數(shù),試討論函數(shù)零點的個數(shù)．4．【天津市第一中學2019屆高三一月月考】已知函數(shù),函數(shù)的導函數(shù),且,其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求的極值；（2）若存在,使得不等式成立,試求實數(shù)的取值范圍；（3）當時,對于,求證：.5．【江西省臨川一中2019屆高三年級考前模擬】已知函數(shù).（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若恒成立,求的最大值；（2）設,若存在唯一的零點,且對滿足條件的不等式恒成立,求實數(shù)的取值集合.6．【江蘇省徐州市2019高三考前模擬】已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線的斜率為3,求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極小值,求實數(shù)的取值范圍；（3）如果的解集中只有一個整數(shù),求實數(shù)的取值范圍.7．【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三考前模擬】已知函數(shù)（,是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若函數(shù)在點處的切線方程為,試確定函數(shù)的單調區(qū)間；（2）①當,時,若對于任意,都有恒成立,求實數(shù)的最小值；②當時,設函數(shù),是否存在實數(shù),使得？若存在,求出的取值范圍；若不存在,說明理由.8．【重慶市巴蜀中學2019屆高三適應性月考】已知函數(shù),.（1）當時,求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點,求的取值范圍．9．【北京市朝陽區(qū)2019屆二模】已知函數(shù).（1）當時,求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間；（3）若函數(shù)在區(qū)間內有且只有一個極值點,求的取值范圍.第一講函數(shù)的切線問題導數(shù)幾何意義用導數(shù)研究曲線的切線,是高考的一個熱點,內容主要涉及求曲線的斜率與方程、曲線的條數(shù)、公切線問題,由切線滿足條件求參數(shù)或參數(shù)范圍等,高考中既有基礎客觀題,也有壓軸客觀題,時而也會以解答題形式考查.1.【2019全國卷Ⅲ】已知曲線在點處的切線方程為y=2x+b,則A． B．a(chǎn)=e,b=1 C． D．,【答案】D【解析】的導數(shù)為,

又函數(shù)在點處的切線方程為,

可得,解得,

又切點為,可得,即．故選D．2．【2018全國卷Ⅰ】設函數(shù),若為奇函數(shù),則曲線在點處的切線方程為A． B． C． D．【答案】D【解析】通解因為函數(shù)為奇函數(shù),所以,所以,所以,因為,所以,所以,所以,所以,所以曲線在點處的切線方程為．故選D．優(yōu)解因為函數(shù)為奇函數(shù),所以,所以,解得,所以,所以,所以,所以曲線在點處的切線方程為．故選D．3．【2016年全國卷Ⅱ】若直線是曲線的切線,也是曲線的切線,則．【答案】【解析】設與和的切點分別為和．則切線分別為,,化簡得,依題意,,解得,從而．4.【2019全國卷Ⅱ】已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；（2）設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.【解析】（1）f（x）的定義域為（0，1）（1，+∞）．因為，所以在（0，1），（1，+∞）單調遞增．因為f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零點x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零點．綜上，f（x）有且僅有兩個零點．（2）因為，故點B（–lnx0，）在曲線y=ex上．由題設知，即，故直線AB的斜率．曲線y=ex在點處切線的斜率是，曲線在點處切線的斜率也是，所以曲線在點處的切線也是曲線y=ex的切線．一、利用導數(shù)研究曲線的斜率或傾斜角導數(shù)的幾何意義是研究曲線的切線的基石,函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義,就是曲線y＝f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率．也就是說,曲線y＝f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.【例1】已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù),如果f′(x)是二次函數(shù),f′(x)的圖象開口向上,頂點坐標為(1,eq\r(3)),那么曲線y＝f(x)上任一點處的切線的傾斜角α的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))【答案】B【分析】把傾斜角范圍轉化為求斜率范圍【解析】依題意得f′(x)≥eq\r(3),即曲線y＝f(x)在任意一點處的切線斜率不小于eq\r(3),故其傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).故選B.【點評】無論是求斜率或傾斜角,最終都可轉化為導數(shù)值問題.【對點訓練】【安徽省淮南市2019屆高三第一次模擬】已知函數(shù),若直線過點,且與曲線相切,則直線的斜率為A． B．2 C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的導數(shù)為,設切點為,則,可得切線的斜率為,所以,解得,,故選B．二、求曲線在某點處的切線求以曲線上的點(x0,f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化簡．【例2】【云南師范大學附屬中學2019屆高三月考】設是上的偶函數(shù),當時,,則在處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得在時的導函數(shù),根據(jù)偶函數(shù)的定義可求得在處的導函數(shù)；根據(jù)點斜式即可求得切線方程.【解析】當時,,則,由是偶函數(shù)可得,結合圖象特征可知,所以在處的切線方程為,即,故選D.【點評】求曲線在某點的切線關鍵是確定切點坐標及切線斜率.【對點訓練】【江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考】若對恒成立,則曲線在點處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】……①……②聯(lián)立①②,解得：,則,切線方程為：,即,故選三、求曲線過某點的切線求曲線過某點的切線,一般是設出切點(x0,y0),解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(x0,y0),進而確定切線方程．【例3】已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.直線l為曲線y＝f(x)的切線,且經(jīng)過原點,求直線l的方程及切點坐標.【分析】設切點為(x0,y0),整理出關于的方程,解方程求出切點(x0,y0),再用點斜式寫出方程.【解析】法一：設切點為(x0,y0),則直線l的斜率為f′(x0)＝3＋1,∴直線l的方程為y＝(3＋1)(x－x0)＋＋x0－16,又∵直線l過點(0,0),∴0＝(3＋1)(－x0)＋＋x0－16,整理得,＝－8,∴x0＝－2,∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26,k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x,切點坐標為(－2,－26)．法二：設直線l的方程為y＝kx,切點為(x0,y0),則k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝,又∵k＝f′(x0)＝3＋1,∴＝3＋1,解之得x0＝－2,∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26,k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x,切點坐標為(－2,－26)．【點評】求解本題的關鍵是利用切線斜率建立方程（其中為切線經(jīng)過的點）.【對點訓練】曲線y＝eq\f(1,4)x2過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4)))的切線方程為________．【答案】14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.【解析】設所求切線與曲線相切于點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,4)xeq\o\al(2,0))).易知y′＝eq\f(1,2)x,則y′|x＝x0＝eq\f(1,2)x0.故eq\f(\f(7,4)－\f(1,4)xeq\o\al(2,0),4－x0)＝eq\f(1,2)x0,整理得xeq\o\al(2,0)－8x0＋7＝0,解得x0＝7或x0＝1,所以點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(49,4)))或Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4))),由兩點式切線方程為14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.故填14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.四、求曲線的切線條數(shù)求曲線切線的條數(shù)一般是設出切點,由已知條件整理出關于t的方程,把切線條數(shù)問題轉化為關于t的方程的實根個數(shù)問題.【例4】【江西省吉安市2019屆高三下學期第一次模擬】已知過點且與曲線相切的直線的條數(shù)有（）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】設切點為,則,由于直線l經(jīng)過點（2,1）,可得切線的斜率,再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率,建立關于的方程,通過解方程確定切點個數(shù)．【解析】若直線與曲線切于點,則,又∵,∴,∴,解得,,∴過點與曲線相切的直線方程為或,故選C．【點評】求解此類問題的關鍵是把切線條數(shù)轉化為切點個數(shù),進一步轉化為方程實根個數(shù).五、曲線的公切線研究曲線的公切線,一般是分別設出兩切點,寫出兩切線方程,然后再使這兩個方程表示同一條直線.【例5】【四川省成都市2019屆高三畢業(yè)班第二次診斷性檢測】已知直線即是曲線的切線,又是曲線的切線,則直線在軸上的截距為A．2 B．1 C． D．.【答案】B【分析】設出直線l與兩曲線的切點,分別求出兩曲線在切點處的切線方程,由斜率與截距相等列式求得切點的橫坐標,代入切線方程,則答案可求．【解析】設直線l與曲線C1：y＝ex的切點為（）,與曲線C2：ye2x2的切點為（）,由y＝ex,得,由ye2x2,得,∴直線l的方程為,或,則,解得x1＝x2＝2．∴直線l的方程為：y﹣e2＝e2（x﹣2）,取y＝0,可得x＝1．∴直線l在x軸上的截距為1．故選B．【點評】寫出兩方程后一般利用斜率與截距分別相等求解,若其中一條曲線為二次函數(shù)圖象也可利用判別式.【對點訓練】若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切,則a等于()－1或－eq\f(25,64)B．－1或eq\f(21,4)C．－eq\f(7,4)或－eq\f(25,64)D．－eq\f(7,4)或7【答案】A【解析】設過點(1,0)的直線與曲線y＝x3相切于點(x0,xeq\o\al(3,0)),所以切線方程為y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0),即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0),又點(1,0)在切線上,則x0＝0或x0＝eq\f(3,2).當x0＝0時,由y＝0與y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得a＝－eq\f(25,64)；當x0＝eq\f(3,2)時,由y＝eq\f(27,4)x－eq\f(27,4)與y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得a＝－1.故選A1．【江西省臨川一中2019屆高三年級考前模擬】已知曲線在點處的切線與拋物線相切,則的值為（）A． B．或 C． D．【答案】C【解析】,當時,切線的斜率,切線方程為,因為它與拋物線相切,有唯一解即故,解得,故選C.2．【山西省2019屆高三高考考前適應性訓練】函數(shù)為偶函數(shù),當時,,則曲線在處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時,,故.,由函數(shù)為偶函數(shù),所以的圖像關于y軸對稱,故,所求切線方程為：,即.故選A.3．【福建省南平市2019屆5月綜合質量檢查】若直線與曲線相切于點,則（）．A．0 B． C． D．【答案】D【解析】由,得因為直線與曲線相切于點所以,解得,故選D.4．【山西省太原市2019屆高三模擬試題（一)】已知函數(shù)在點處的切線經(jīng)過原點,則實數(shù)（）A．1 B．0 C． D．-1【答案】A【解析】切線方程為,故0=0-1+a,解a=1故選A5．【甘肅省白銀市靖遠縣2019屆高三第四次聯(lián)考】若是函數(shù)的極值點,則曲線在點處的切線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：,則,解得所以,故選C6．【2019年甘肅省蘭州市高考數(shù)學一診】若點P是函數(shù)y=圖象上任意一點,直線l為點P處的切線,則直線l斜率的范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵．∵1＜sin2x≤1,∴0＜1+sin2x≤2,∴,則．∴直線l斜率的范圍是[1,+∞）．故選C．7．【湖北省武漢市2019屆高三4月調研】設曲線,在曲線上一點處的切線記為,則切線與曲線的公共點個數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【解析】方程為：,即由得：即：,,,曲線C與l的公共點個數(shù)為：3個,故選C。8．【湖南省衡陽市2019屆高三第二次聯(lián)考】若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線,則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設公切線與函數(shù),分別切于點,,則過A，B的切線分別為：、,兩切線重合,則有：代入得：,構造函數(shù)：,,.,,.,,,,∴,.欲合題意,只須.9．【四川省棠湖中學2019屆高三上學期開學考試】已知函數(shù),若函數(shù)的圖象上存在點,使得在點處的切線與的圖象也相切,則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】的公共切點為,設切線與的圖象相切與點,由題意可得,解得所以,令則令,解得,當時,當時,,函數(shù)在上單調遞增當時,,函數(shù)在上單調遞減當t從右側趨近于0時,趨近于0,當t趨近于時,趨近于0所以,故選B10．【河南省洛陽市2019屆高三第三次統(tǒng)一考試】若是函數(shù)的極值點,則函數(shù)在點處的切線方程是______．【答案】【解析】由題得.所以.所以切點為（1,-e）,所以切線方程為.故答案為：11．【內蒙古2019屆高三高考一模】若函數(shù)與函數(shù),在公共點處有共同的切線,則實數(shù)的值為______．【答案】【解析】函數(shù)的定義域為,,,設曲線與曲線公共點為,由于在公共點處有共同的切線,∴,解得,．由,可得．聯(lián)立,解得．故答案為．12．【北京市豐臺區(qū)2019屆高三年級第二學期綜合練習】已知函數(shù)．（1）當時,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）當時,求證：過點恰有2條直線與曲線相切．【解析】（1）當a＝3時,f（x）＝x3﹣3x2,f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）．當x∈[0,2]時,f'（x）≤0,所以f（x）在區(qū)間[0,2]上單調遞減．所以f（x）在區(qū)間[0,2]上的最小值為f（2）＝﹣4．（2）設過點P（1,f（1））的曲線y＝f（x）的切線切點為（x0,y0）,f'（x）＝3x2﹣2ax,f（1）＝1﹣a,所以所以．令g（x）＝2x3﹣（a+3）x2+2ax+1﹣a,則g'（x）＝6x2﹣2（a+3）x+2a＝（x﹣1）（6x﹣2a）,令g'（x）＝0得x＝1或,因為a＞3,所以．x（﹣∞,1）1g′（x）+0﹣0+g（x）↗極大值↘極小值↗∴g（x）的極大值為g（1）＝0,g（x）的極小值為,所以g（x）在上有且只有一個零點x＝1．因為g（a）＝2a3﹣（a+3）a2+2a2+1﹣a＝（a﹣1）2（a+1）＞0,所以g（x）在上有且只有一個零點．所以g（x）在R上有且只有兩個零點．即方程有且只有兩個不相等實根,所以過點P（1,f（1））恰有2條直線與曲線y＝f（x）相切．第二講導數(shù)中的構造問題導數(shù)與不等式都是高考中的重點與難點,以導數(shù)為背景的抽象函數(shù)與不等式交匯問題是高考中的熱點,求解此類問題的關鍵是根據(jù)導數(shù)的運算法則構造合適的函數(shù),再利用導數(shù)的運算法則確定所構造函數(shù)的單調性,最后由單調性研究不等式問題.1.【2015全國Ⅱ】設函數(shù)是奇函數(shù)（）的導函數(shù),,當時,,則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】構造新函數(shù),,當時.所以在上單減,又,即.所以可得,此時,又為奇函數(shù),所以在上的解集為：.故選A.一、根據(jù)構造函數(shù)【例1】【山東省威海市2019屆高三二?！恳阎瘮?shù)的定義域為,,對任意的滿足.當時,不等式的解集為()A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意構造函數(shù),則,所以得到在上為增函數(shù),又．然后根據(jù)可得,于是,解三角不等式可得解集．【解析】由題意構造函數(shù),則,∴函數(shù)在上為增函數(shù)．∵,∴．又,∴,∴,∵,∴,∴不等式的解集為．故選D．【點評】解答此類問題時一般要根據(jù)題意構造輔助函數(shù)求解,構造時要結合所求的結論進行分析、選擇,然后根據(jù)所構造的函數(shù)的單調性求解．一般地,若給出條件,可構造函數(shù)若給出條件,可構造函數(shù)【對點訓練】【2019年山西省忻州市靜樂縣高三下學期6月月考】定義在上的可導函數(shù)滿足,且,當時,不等式的解集為()A． B． C． D．【答案】D【解析】令,則,在定義域上是增函數(shù),且,,可轉化成,得到,又,可以得到,故選D二、根據(jù)(或)構造函數(shù)【例2】【黑龍江大慶市2019屆高三第四次模擬】已知奇函數(shù)是定義在上的可導函數(shù),其導函數(shù)為,當時,有,則不等式的解集為()A． B． C． D．【答案】A【分析】構造新函數(shù),根據(jù)條件可得是奇函數(shù),且單調增,將所求不等式化為,即,解得,即【解析】設,因為為上奇函數(shù),所以,即為上奇函數(shù)對求導,得,而當時,有故時,,即單調遞增,所以在上單調遞增不等式,,,即所以,解得,故選A.【點評】一般地,若給出條件,可構造函數(shù).【對點訓練】【海南省?？谑?019屆高三高考調研測試】已知函數(shù)的導函數(shù)滿足對恒成立,則下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意設,則,所以函數(shù)在上單調遞增,所以,即．故選B．三、根據(jù)(或)構造函數(shù)【例3】【四川省名校聯(lián)盟2019屆高考模擬信息卷】設定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為,若,,則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】構造函數(shù),則可判斷,故是上的增函數(shù),結合即可得出答案.【解析】設,則,∵,,∴,∴是上的增函數(shù),又,∴的解集為,即不等式的解集為.故選A.【點評】若,可構造.【對點訓練】【山東師范大學附屬中學2019屆高三第四次模擬】定義在R上的奇函數(shù)的導函數(shù)滿足,且,若,則不等式的解集為______．【答案】【解析】,的周期為,,,定義在上的奇函數(shù),,時,令,則,,,即單調遞減,又,,,不等式的解集為,時,,時,不等式成立,綜上所述,.四、根據(jù)(或)構造函數(shù)【例4】【云南省玉溪市2019屆第二次調研】已知定義在上的函數(shù)f(x),f’(x)是它的導函數(shù),且對任意的,都有恒成立,則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】構造函數(shù),求函數(shù)導數(shù),利用函數(shù)單調性即可得大小關系.【解析】由題得,即,令,導函數(shù),因此g(x)在定義域上為增函數(shù).則有,代入函數(shù)得,由該不等式可得,故選D.【點評】若給出條件,可構造函數(shù),若給出條件,可構造函數(shù).【對點訓練】【福建省三明市2019屆高三質量檢查測試】已知函數(shù)的定義域為,其導函數(shù)為.若,且,則下列結論正確的是（）A．是增函數(shù) B．是減函數(shù) C．有極大值 D．有極小值【答案】A【解析】設函數(shù)因為化簡可得,即為,故,因為所以恒成立,所以在上單調遞增,又因為,所以,所以當時,,當時,,,當時,,,,,故恒成立；當時,,,,,故恒成立；所以在上恒成立,故在上單調遞增,故函數(shù)沒有極值,不可能單調遞減,故選A.五、根據(jù)構造函數(shù)【例5】【河南省鄭州市2019屆高三第三次質量檢測】設函數(shù)在上存在導函數(shù),,有,在上有,若,則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題,構造新函數(shù),再由題判斷出新函數(shù)的奇偶性和單調性,再利用可得出,即可求得m的取值.【解析】因為,所以令即函數(shù)為偶函數(shù),因為上有,所以即函數(shù)在單調遞增；又因為所以即,所以,解得,故選B.【點評】求解本題的關鍵是根據(jù),構造偶函數(shù),一般地,若給出可構造偶函數(shù)或奇函數(shù).【對點訓練】.已知定義在R上的函數(shù)的導數(shù)為,且滿足,當時,則不等式的解集為A.B.C.D.【答案】C【解析】設,則,所以=,所以是偶函數(shù),設,則,所以,即,所以時,所以時,在上是增函數(shù),所以,故選C.1.【甘肅省蘭州市2019屆高三6月高考沖刺模擬】定義在上的函數(shù)滿足,,則關于的不等式的解集為()A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意,令,,則其導數(shù),函數(shù)在為增函數(shù),又由（2）,則（2）,,則有,解可得；即不等式的解集為.故選．2.【安徽省1號卷A10聯(lián)盟2019年高考最后一卷】已知函數(shù)的導函數(shù)為,為自然對數(shù)的底數(shù),對均有成立,且,則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】原不等式等價于,令,則恒成立,在上是增函數(shù),又,,原不等式為,解得,故選.3．【云南省昆明市2019屆高三第四次統(tǒng)測】己知奇函數(shù)的導函數(shù)為,．當時,．若,則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設所以當時,是增函數(shù),因為是奇函數(shù),所以有,因此有,所以是偶函數(shù),而,可以化為,是偶函數(shù),所以有,當時,是增函數(shù),所以有,故選D.4.【山東省棗莊市2019屆高三月考】已知定義在R上的可導函數(shù)的導函數(shù)為,滿足,且為偶函數(shù),,則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設則∵,∴．所以函數(shù)是R上的減函數(shù),∵函數(shù)是偶函數(shù),∴函數(shù),∴函數(shù)關于對稱,∴,原不等式等價為,∴不等式等價,．∵在R上單調遞減,∴．故選B．5.【山西省太原市2019屆高三模擬試題】已知定義在上的函數(shù)滿足,且,則的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令=在上單調遞減,且故等價為即,故,解x<故解集為,故選A6.已知定義在上的函數(shù)滿足,且,則的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令,構造函數(shù),由已知可知：,所以是上的減函數(shù),當時,,,所以當時,成立,也就是當時,成立,故本題選A.7.【新疆烏魯木齊2019屆高三第二次質量檢測】的定義域是,其導函數(shù)為,若,且（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）,則A． B．C．當時,取得極大值 D．當時,【答案】C【解析】設,則則又得即,所以即,由得,得,此時函數(shù)為增函數(shù)由得,得,此時函數(shù)為減函數(shù)則,即,則,故錯誤,即,則,故錯誤當時,取得極小值即當,,即,即,故錯誤當時,取得極小值此時,則取得極大值本題正確選項：8.【安徽省黃山市2019屆高三畢業(yè)班第二次質量檢測】已知函數(shù)在上都存在導函數(shù),對于任意的實數(shù)都有,當時,,若,則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】令,則當時,,又,所以為偶函數(shù),從而等價于,因此選B.9.【寧夏六盤山2019屆高三下學期第二次模擬】定義域為的奇函數(shù),當時,恒成立,若,,則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】構造函數(shù),因為是奇函數(shù),所以為偶函數(shù)當時,恒成立,即,所以在時為單調遞減函數(shù)在時為單調遞增函數(shù)根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知,所以,所以選D10．【2019屆湘贛十四校高三聯(lián)考第二次考試】已知函數(shù)為上的偶函數(shù),且當時函數(shù)滿足,,則的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設,則,∴,化簡可得.設,∴,∴時,,因此為減函數(shù),∴時,,因此為增函數(shù),∴,∴,∴在上為增函數(shù).∵函數(shù)是偶函數(shù),∴函數(shù),∴函數(shù)關于對稱,又∵,即,又在上為增函數(shù),∴,由函數(shù)關于對稱可得,,故選A.11．【河南省六市2019屆高三第一次聯(lián)考】函數(shù)是定義在上的可導函數(shù),為其導函數(shù),若,且,則不等式的解集為A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)是定義在上的可導函數(shù),為其導函數(shù),令,則,可知當時,是單調減函數(shù),并且,即,則,時,函數(shù)是單調增函數(shù),,則,則不等式的解集就是的解集,即又x>1,所以,故不等式的解集為：．故選C．12．【晉冀魯豫中原名校2019屆高三第三次聯(lián)考】已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為,滿足,且為偶函數(shù),,則不等式的解集為______.【答案】【解析】∵為偶函數(shù),∴的圖象關于對稱,∴的圖像關于對稱,∴.又,∴.設,則.又∵,∴,∴,∴在上單調遞減.∵,∴,即.又∵,∴,∴.13．【山東省煙臺市2019屆高三3月診斷】若定義域為的函數(shù)滿足,則不等式的解集為______（結果用區(qū)間表示）．【答案】【解析】令,則,因為,所以,所以,函數(shù)為上的增函數(shù),由,得：,即,因為函數(shù)為上的增函數(shù),所以．所以不等式的解集是．故答案為．14．【黑龍江省大慶市2019屆高三下學期二?！恳阎x在上的偶函數(shù)的導函數(shù)為,對定義域內的任意,都有成立,則使得成立的的取值范圍為_____．【答案】【解析】由是偶函數(shù),所以當時,由得,設,則,即當時,函數(shù)為減函數(shù),由得,即,因為是偶函數(shù),所以也是偶函數(shù),則,等價為,即,得或,即的取值范圍是,故答案為：．15．【四川省攀枝花市2019屆高三下學期第三次統(tǒng)考】已知函數(shù)．若存在,使得,則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】∵,∴,∴,∵存在,使得即,∴在上有解,設,∴,在上為增函數(shù),∴．∴．實數(shù)的取值范圍是．第三講含參的單調性討論問題用導數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)單調性,是高考的熱點與難點,難點在于如何確定分類標準,特別是含有的函數(shù),還要注意定義域問題,在討論過程中有時需要兩次或三次劃分.本專題總結一些常見的類型及分類原則,供教師或高三學生參考.1.【2019全國卷Ⅲ】已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）是否存在,使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在,求出的所有值；若不存在,說明理由.【解析】（1）．令,得x=0或.若a>0,則當時,；當時,．故在單調遞增,在單調遞減；若a=0,在單調遞增；若a<0,則當時,；當時,．故在單調遞增,在單調遞減.（2）滿足題設條件的a,b存在.（i）當a≤0時,由（1）知,在[0,1]單調遞增,所以在區(qū)間[0,l]的最小值為,最大值為.此時a,b滿足題設條件當且僅當,,即a=0,．（ii）當a≥3時,由（1）知,在[0,1]單調遞減,所以在區(qū)間[0,1]的最大值為,最小值為．此時a,b滿足題設條件當且僅當,b=1,即a=4,b=1．（iii）當0<a<3時,由（1）知,在[0,1]的最小值為,最大值為b或．若,b=1,則,與0<a<3矛盾.若,,則或或a=0,與0<a<3矛盾．綜上,當且僅當a=0,或a=4,b=1時,在[0,1]的最小值為–1,最大值為1．2.【2017全國卷Ⅰ】已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)若QUOTE有兩個零點,求的取值范圍．【解析】（1）定義域為,,（?。┤?則,所以在單調遞減．（ⅱ）若,則由得．當時,；當時,,所以在單調遞減,在單調遞增．（2）（?。┤?由（1）知,至多有一個零點．（ⅱ）若,由（1）知,當時,取得最小值,最小值為．①當時,由于,故只有一個零點；②當時,由于,即,故沒有零點；③當時,,即．又,故在有一個零點．設正整數(shù)滿足,則．由于,因此在有一個零點．綜上,的取值范圍為．3.【2019新課標Ⅲ】已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）是否存在,使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在,求出的所有值；若不存在,說明理由.【解析】(1)對求導得.所以有當時,區(qū)間上單調遞增,區(qū)間上單調遞減,區(qū)間上單調遞增；當時,區(qū)間上單調遞增；當時,區(qū)間上單調遞增,區(qū)間上單調遞減,區(qū)間上單調遞增.(2)若在區(qū)間有最大值1和最小值-1,所以若,區(qū)間上單調遞增,區(qū)間上單調遞減,區(qū)間上單調遞增；此時在區(qū)間上單調遞增,所以,代入解得,,與矛盾,所以不成立.若,區(qū)間上單調遞增；在區(qū)間.所以,代入解得.若,區(qū)間上單調遞增,區(qū)間上單調遞減,區(qū)間上單調遞增.即在區(qū)間單調遞減,在區(qū)間單調遞增,所以區(qū)間上最小值為而,故所以區(qū)間上最大值為.即相減得,即,又因為,所以無解.若,區(qū)間上單調遞增,區(qū)間上單調遞減,區(qū)間上單調遞增.即在區(qū)間單調遞減,在區(qū)間單調遞增,所以區(qū)間上最小值為而,故所以區(qū)間上最大值為.即相減得,解得,又因為,所以無解.若,區(qū)間上單調遞增,區(qū)間上單調遞減,區(qū)間上單調遞增.所以有區(qū)間上單調遞減,所以區(qū)間上最大值為,最小值為即解得.綜上得或.一、把研究函數(shù)的單調性轉化為解不等式此類問題,若a為參數(shù),要注意分進行討論,還要注意這一條件.【例1】【天津市耀華中學2019屆高三二模】已知函數(shù),（為自然對數(shù)的底）.（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若存在均屬于區(qū)間的,,且,使,證明：；（3）對于函數(shù)與定義域內的任意實數(shù),若存在常數(shù),,使得和都成立,則稱直線為函數(shù)與的分界線.試探究當時,函數(shù)與是否存在“分界線”？若存在,請給予證明,并求出,的值；若不存在,請說明理由.【分析】(1)由題意首先求得導函數(shù)的解析式,然后分類討論確定函數(shù)的單調性即可；(2)結合(1)中的結論首先確定的范圍,然后結合函數(shù)的解析式和函數(shù)的單調性即可證得題中的不等式；(3)首先求得函數(shù)的最小值,然后結合題意猜出k,e的值并進行證明即可.【解析】（1）函數(shù)的定義域為,且當時,,則函數(shù)在上單調遞增；當時,,,∴在上單調遞增,在上單調遞減．（2）,由（1）知,又,,所以,∴,即,所以．（3）設,則則當時,,函數(shù)單調遞減；當時,,函數(shù)單調遞增．∴是函數(shù)的極小值點,也是最小值點,∴．∴函數(shù)與的圖象在處有公共點．設與存在“分界線”且方程為,令函數(shù)①由,得在上恒成立,即在上恒成立,∴,即,∴,故．②下面說明：,即恒成立．設,則∵當時,,函數(shù)單調遞增,當時,,函數(shù)單調遞減,∴當時,取得最大值0,．∴成立．綜合①②知,且,故函數(shù)與存在“分界線”,此時,．【點評】本題第一問研究的單調性,可轉化為解不等式.【對點訓練】【遼寧省葫蘆島市2019屆高三二?！恳阎瘮?shù).(1)討論的單調性；(2)令,當,時,證明：.【分析】（1）先求得函數(shù)的定義域,然后對函數(shù)求導,對分成兩種情況,討論函數(shù)的單調區(qū)間.（2）用分析法,將所要證明的不等式轉化為①,利用構造函數(shù)的方法結合導數(shù),證得,以及,由此證得①成立,進而證得題目所給不等式成立.【解析】(1)的定義域,當時,,則在上單調遞減；當時,令,可得；令可得；則在上單調遞增,在上單調遞減.(2)當時,要證明成立,即證：令,令所以,在單調遞增；在遞減.又由已知,可知在上為減函數(shù)故,即令,當單調遞減；當單調遞增.故,即.故原不等式成立.二、把研究函數(shù)的單調性轉化為解不等式求解此類問題,要注意,若,則恒成立,若,則恒成立.【例2】【江蘇省揚州中學2019屆高三4月考試】設定義在上的函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍；（3）定義:如果實數(shù)滿足,那么稱比更接近.對于（2）中的及,問:和哪個更接近？并說明理由.【分析】（1）對函數(shù)求導,根據(jù)的取值范圍,分類討論函數(shù)的單調性；（2）存在,使得成立,即成立.根據(jù)（1）的分類情況進行討論分析,最后求出實數(shù)的取值范圍；（3）構造函數(shù)：,,分別求導,求出函數(shù)的單調區(qū)間,根據(jù)單調區(qū)間進行分類討論：,判斷函數(shù)的正負性,從而判斷出和哪個更接近.【解析】（1）當時,,在R上為增函數(shù)；當時,由,得,即,由,得.∴函數(shù)的單調增區(qū)間為,減區(qū)間為；（2）存在,使得成立,即成立.由（1）知,當時,在上為增函數(shù),則,不滿足成立,當時,若,則在上為增函數(shù),則,不滿足成立,若,即,則在上單調遞減,在上單調遞增,.∴實數(shù)a的取值范圍是；（3）令,,在上單調遞減,故當時,,當時,；,在上單調遞增,故,則在上單調遞增,.①當,令.,故在上單調遞減,,即,∴比更接近；②當時,令,,故在上單調遞減,,即,∴比更接近.綜上,當及時,比更接近.【對點訓練】【湖南長沙第一中學2019屆高三下學期模擬】已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調性（2）函數(shù),且．若在區(qū)間（0,2）內有零點,求實數(shù)m的取值范圍【解析】（1）f′（x）ex﹣m,①當時,成立,在上單調遞增；②當時,令,得,則在區(qū)間單調遞減,在單調遞增.（2）,設是在區(qū)間內的一個零點,因為,,可知在區(qū)間上不單調,故在區(qū)間存在零點；同理：由,可知在區(qū)間上存在零點,即在區(qū)間內至少有兩個不同零點及.由（1）知,,得,此時在區(qū)間單調遞減,在單調遞增.由,知,所以,則；故只需：,解得：.所以實數(shù)的取值范圍是.三、把研究函數(shù)的單調性轉化為一元二次不等式在R上的解集此類問題一般為三次函數(shù)或形如的函數(shù)【例3】【天津市紅橋區(qū)2019屆高三一模】已知函數(shù),.（1）若,求函數(shù)的單調減區(qū)間；（2）若關于x的不等式恒成立,求實數(shù)a的范圍.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函的遞減區(qū)間即可；（2）問題等價于在x∈（0,+∞）上恒成立,令,根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可．【解析】（1）f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a）由f'（x）＜0且a＜0得：∴函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為（2）依題意x∈（0,+∞）時,不等式2xlnx≤f'（x）+a2+1恒成立,等價于在x∈（0,+∞）上恒成立．令則當x∈（0,1）時,h'（x）＞0,h（x）單調遞增當x∈（1,+∞）時,h'（x）＜0,h（x）單調遞減∴當x＝1時,h（x）取得最大值h（1）＝﹣2故a≥﹣2.【點評】求含有參數(shù)的一元二次不等式的解集,若能因式分解,則根據(jù)二次項系數(shù)或根的大小進行討論,若不能因式分解,則根據(jù)判別式的符號進行討論.【對點訓練】已知,設函數(shù).（1）討論單調性；（2）若當時,,求的取值范圍.【解析】（1）.當時,,當時,,當時,.所以在單調遞增；在單調遞減.當時,由得或,因為,所以當或時,,當時,.所以在,單調遞增；在單調遞減.（2）當時,,且時,,于是等價于.若,當時,不成立.若,設,.函數(shù)在單調遞增,所以.當時,,在單調遞增,所以.當時,因為,,所以存在唯一,使得當時,,在單調遞減,,不成立.綜上,的取值范圍為.四、把研究函數(shù)的單調性轉化為解不等式求解此類問題,首先根據(jù)a的符號進行討論,當a的符號確定后,再根據(jù)是否在定義域內討論,當都在定義域內時在根據(jù)的大小進行討論.【例4】【山西省晉城市2019屆高三第三次模擬】已知函數(shù).（1）若,討論函數(shù)的單調性；（2）若,證明：.【分析】（Ⅰ）求導,由,得或,討論兩者大小關系確定的正負得單調性即可；（Ⅱ）證,等價為整理得,構造函數(shù),求導確定其最小值即可證明【解析】（1）依題意,,.令,則或.當時,,由得,由得；當時,；當且,即時,由得,由得或；當,即時,由得,由得或.綜上所述,當時,函數(shù)在上單調遞增,在上單調遞減；當時,函數(shù)在上單調遞減；當時,函數(shù)在和上單調遞減,在上單調遞增；當時,函數(shù)在和上單調遞減,在上單調遞增.（2）要證：.即證：,即證：,即證：.令..因為,所以當時,,單調遞減,當時,,單調遞增,所以,即.故當時,.【對點訓練】【晉冀魯豫中原名校2019屆高三第三次聯(lián)考】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若對,,求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意知,的定義域為,由,得.①當時,令,可得,,得,故函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為；②當時,,令,可得,,得或,故的增區(qū)間為,減區(qū)間為、；③當時,,故函數(shù)的減區(qū)間為；④當時,,令,可得,,得,或,故的增區(qū)間為,減區(qū)間為,.綜上所述：當時,在上為減函數(shù),在上為增函數(shù)；當時,在,上為減函數(shù),在上為增函數(shù)；當時,在為減函數(shù)；當時,在,上為減函數(shù),在上為增函數(shù).（2）由（1）可知：①當時,,此時；②當時,,當時,有,,可得,不符合題意；③當時,,由函數(shù)的單調性可知,當時,不符合題意；④當時,,由函數(shù)的單調性可知,當時,不符合題意.綜上可知,所求實數(shù)的取值范圍為.五、把研究函數(shù)的單調性轉化為解不等式,然后根據(jù)判別式的符號進行討論求解此類問題既要考慮判別式的符號,又要注意二次項系數(shù)的符號,還要注意定義域.【例5】【廣東省2019屆高三適應性考試】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當時,討論函數(shù)的零點個數(shù).【分析】（1）討論a的范圍,得出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集,得出f（x）的單調性；（2）求出f（x）的極大值,判斷極大值小于0,根據(jù)f（x）的單調性得出f（x）的零點個數(shù)．【解析】（1）,令,其對稱軸為,令,則.當時,,所以在上單調遞增；當時,對稱軸為,若,即,恒成立,所以,所以在上單調遞增；若時,設的兩根,,當時,,所以,所以在上單調遞增,當時,,所以,所以在上單調遞減,當時,,所以,所以在上單調遞增,綜上所述：當時,在上單調遞增；若時,在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增；（2）當時,由（1）知在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增,下面研究的極大值,又,所以,令,則（）,可得在上單調遞增,在上單調遞減,且的極大值,所以,所以,當時,單調遞增,所以當時,在上單調遞減,所以當時,單調遞增,且,,所以存在,使得,又當時,單調遞增,所以只有一個零點,綜上所述,當時,在上只有一個零點.【對點訓練】【湖北部分重點中學2020屆高三年級新起點考試】已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若為的兩個極值點,證明：.【解析】（1）的定義域為,,對于函數(shù),①當時,即時,在恒成立．在恒成立,在為增函數(shù)；②當,即或時,當時,由,得或,,在為增函數(shù),減函數(shù),為增函數(shù),當時,由在恒成立,在為增函數(shù)．綜上,當時,在為增函數(shù),減函數(shù),為增函數(shù)；當時,在為增函數(shù)．（2）由（1）知,且,故故只需證明,令,故,原不等式等價于對成立,令,所以單調遞減,有得證.1.設,,其中實數(shù)（1）若,求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)與的圖象只有一個公共點,且存在最小值時,記的最小值為,求的值域；（3）若與均在區(qū)間內為增函數(shù),求的取值范圍.【解析】（1）∵f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1,∴f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a）,∵a＞0,∴由f′（x）＞0,得x．∴f（x）的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為（2）由函數(shù)y＝f（x）,y＝g（x）關于x方程：x3+ax2﹣a2x+1＝ax2﹣2x+1,即x3﹣（a2﹣2）x＝0只有一個實根,x=0滿足題意,∴x2﹣（a2﹣2）＝0在x時無根,∴a2﹣2≤0,解得．二次函數(shù)y＝g（x）存在最小值,∴a＞0,∴∵g（x）＝ax2﹣2x+1＝a（x）21,∴,∴h（a）的值域為．（3）∵g（x）＝ax2﹣2x+