數(shù)學(xué)建模穩(wěn)定性問(wèn)題

數(shù)學(xué)建模穩(wěn)定性問(wèn)題第1頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一般的微分方程或微分方程組可以寫(xiě)成：定義稱微分方程或微分方程組為自治系統(tǒng)或動(dòng)力系統(tǒng)。（3.28）

若方程或方程組f(x)=0有解Xo，X=Xo顯然滿足（3.28）。稱點(diǎn)Xo為微分方程或微分方程組（3.28)的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。第2頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例Logistic模型共有兩個(gè)平衡點(diǎn)：N=0和N=K，分別對(duì)應(yīng)微分方程的兩兩個(gè)特殊解。前者為No=0時(shí)的解而后者為No=K時(shí)的解。

當(dāng)No<K時(shí)，積分曲線N=N(t)位于N=K的下方；當(dāng)No>K時(shí)，則位于N=K的上方。從圖3中不難看出，若No>0，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱為軌線）將趨于K。這說(shuō)明，平衡點(diǎn)N=0和N=K有著極大的區(qū)別。定義1自治系統(tǒng)的相空間是指以（x1,…,xn）為坐標(biāo)的空間Rn。特別，當(dāng)n=2時(shí)，稱相空間為相平面。空間Rn的點(diǎn)集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,…,n}稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。第3頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定義2設(shè)x0是（3.28）的平衡點(diǎn)，稱：（1）x0是穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意的ε>0，存在一個(gè)δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε對(duì)所有的t都成立。（2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且。

微分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過(guò)解析方法來(lái)討論，所用工具為以下一些定理。（3）x0是不穩(wěn)定的，如果（1）不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點(diǎn)N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)N=0則是不穩(wěn)定的。第4頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解析方法定理1設(shè)xo是微分方程的平衡點(diǎn)：若,則xo是漸近穩(wěn)定的若,則xo是漸近不穩(wěn)定的證由泰勒公式，當(dāng)x與xo充分接近時(shí)，有：由于xo是平衡點(diǎn)，故f(xo)=0。若，則當(dāng)x<xo時(shí)必有f(x)>0，從而x單增；當(dāng)x>xo時(shí)，又有f(x)<0，從而x單減。無(wú)論在哪種情況下都有x→xo，故xo是漸進(jìn)穩(wěn)定的。的情況可類似加以討論。高階微分方程與高階微分方程組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性討論較為復(fù)雜，大家有興趣可參閱微分方程定性理論。我們簡(jiǎn)單介紹一下兩階微分方程組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性判別方法。第5頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六考察兩階微分方程組：（3.29）

令，作一坐標(biāo)平移，不妨仍用x記x’，則平衡點(diǎn)xo的穩(wěn)定性討論轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)的穩(wěn)定性討論了。將f(x1,x2)、g(x1,x2)在原點(diǎn)展開(kāi)，（3.29）又可寫(xiě)成:考察（3.29）的線性近似方程組:（3.30）其中：第6頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六記λ1、λ2為A的特征值則λ1、λ2是方程：det（A-λI）=λ2-(a+b)λ+(ad–bc)=0的根令p=a+d,q=ad-bc=|A|，則，記。討論特征值與零點(diǎn)穩(wěn)定的關(guān)系（1）若△>0，可能出現(xiàn)以下情形：

①若q>0，λ1λ2>0。當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定；當(dāng)p<0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定若q<0，λ1λ2<0

當(dāng)c1=0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定當(dāng)c1≠0時(shí),零點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)③q=0，此時(shí)λ1=p，λ2=0，零點(diǎn)不穩(wěn)定。（2）△=0，則λ1=λ2:

λ有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定當(dāng)p<0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定第7頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六②如果λ只有一個(gè)特征向量當(dāng)p≥0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定（2）△<0，此時(shí)若a>0，零點(diǎn)穩(wěn)定若a=0，有零點(diǎn)為中心的周期解

綜上所述：僅當(dāng)p<0且q>0時(shí)，（3.30）零點(diǎn)才是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)p=0且q>0時(shí)（3.30）有周期解，零點(diǎn)是穩(wěn)定的中心（非漸近穩(wěn)定）；在其他情況下，零點(diǎn)均為不穩(wěn)定的。非線性方程組（3.29）平衡點(diǎn)穩(wěn)定性討論可以證明有下面定理成立:定理2若（3.30）的零點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點(diǎn)也是漸近穩(wěn)定的；若（3.30）的零點(diǎn)是不穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定的。第8頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第9頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六高維幾乎線性微分方程組的穩(wěn)定性關(guān)于本節(jié)前邊所討論的按線性近似決定平面幾乎線性近似系統(tǒng)的奇點(diǎn)的理論可以推廣到高維情況。但是高維系統(tǒng)相空間中軌線的相圖更加復(fù)雜，而實(shí)際問(wèn)題往往更關(guān)心是解的穩(wěn)定性，所以下邊我們將主要討論按線性近似決定高階微分方程組零解的穩(wěn)定性問(wèn)題。階常系數(shù)線性微分方程組為此先討論階線性方程組零解的穩(wěn)定性。第10頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(5.4.27)的任一解均可表示為形如的線性組合，這里為系數(shù)矩陣的特征方程的根（為階單位陣），為的多項(xiàng)式，其次數(shù)低于所對(duì)應(yīng)的初等因子的次數(shù)，由線性方程組解的理論可以得出如下定理。第11頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理5.2

系統(tǒng)(5.4.27)的系數(shù)矩陣的特征為

則(1)若均具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)(5.4.27)的零解是漸近穩(wěn)定的；(2)若中至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則系統(tǒng)

(5.4.27)的零解是不穩(wěn)定的；(3)若中沒(méi)有正實(shí)部的根，但是有零根或零實(shí)部的純虛根，則當(dāng)零根或零實(shí)部根的初等因子都是一次時(shí)(5.4.27)的零解是穩(wěn)定的。當(dāng)零根或零實(shí)部的根中至少有一個(gè)的初等因子大于1時(shí)系統(tǒng)(5.4.27)的零解是不穩(wěn)定的。第12頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六特征方程的不容易求得，無(wú)法判斷其正負(fù)例5.4.4

研究方程組(5.4.28)零解的穩(wěn)定性。解方程組的系數(shù)矩陣為特征方程為第13頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

Routh-Hurwitz判據(jù)定理5.3

對(duì)一元次常系數(shù)代數(shù)方程其中，做行列式式中，當(dāng)時(shí)，則(5.4.30)的所有根均具有負(fù)實(shí)部的充要條件是的一切主子式都大于零，即下邊不等式同時(shí)成立：第14頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

……

對(duì)于上邊例子中方程(5.4.29)，，故(5.4.29)的根均具有負(fù)實(shí)部，因此方程組(5.4.28)的零解是漸近穩(wěn)定的。第15頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定義同(5.4.27)，下面考慮非線性微分方程組(5.4.31)其中第16頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六且滿足及。這時(shí)(5.4.31)也稱為幾乎線性系統(tǒng)，且是其解。定理5.4

若的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部，則(5.4.31)的零解是漸近穩(wěn)定的。若的特征根中至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則系統(tǒng)(5.4.31)的零解是不穩(wěn)定的。第17頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例5.4.5

討論非線性方程組的零解的穩(wěn)定性。解原方程組在原點(diǎn)處的線性近似方程組的系數(shù)矩陣為第18頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六容易求出它的3個(gè)特征根為有一個(gè)正實(shí)根，而非線性項(xiàng)滿足(5.4.32)，因此由定理5.4知系統(tǒng)(5.4.33)的零解是不穩(wěn)定的。說(shuō)明：(1)由定理5.3得到的常系數(shù)的線性方程組的穩(wěn)定性是大范圍的，而由定理5.4得到的非線性方程組的穩(wěn)定性是小范圍的。(2)當(dāng)系統(tǒng)(5.4.31)的線性近似系統(tǒng)(5.4.27)的系