數(shù)列的遞推公式

數(shù)列的遞推公式第1頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六觀察數(shù)列{an}，a1=2，a2=4，a3=8，a4=16，即a1=2，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是它前一項(xiàng)的2倍，因此該數(shù)列可以用如下方式給出：

a1=2，an=2an－1，(n=2，3，4，…)再如數(shù)列，由操作計(jì)算器給出：1coscoscos……

a1=1，an=cos(an－1)，(n=2，3，4，…)第2頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第2項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式，遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。數(shù)列的遞推公式

a1=a，an=f(an－1)，(n=2，3，4，…)第3頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六例1．已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由公式給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng).解：a1=2，第4頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六例2.已知直線l：y=x與曲線c：（如圖所示），過曲線c上橫坐標(biāo)為1的一點(diǎn)P1作x軸的平行線交l于Q2，過Q2作x軸的垂線交曲線c于P2，再過P2作x軸的平行線交l于Q3，過Q3作x軸的垂線交曲線c于P3，……，設(shè)點(diǎn)P1，P2，…，Pn，…的縱坐標(biāo)分別為a1，a2，…，an，…，試求數(shù)列{an}的遞推公式。第5頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六解：由題意，點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為a1=，點(diǎn)Qn+1與Pn的縱坐標(biāo)相同，都是an，同時(shí)點(diǎn)Pn+1與Qn+1的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)Pn+1在曲線c：上，由橫坐標(biāo)得它的縱坐標(biāo)為即這就是數(shù)列{an}的遞推公式。第6頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六例3.根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)及其遞推公式，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式：（1）a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+；（2）a1=1，,n∈N+；解：（1）因?yàn)閍1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+；所以，a2=1，a3=4，a4=9，a5=16，歸納出它的通項(xiàng)公式是an=(n－1)2。第7頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六（2）a1=1，,n∈N+；解:歸納出它的通項(xiàng)公式是第8頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六例4.數(shù)列{an}中，a1=1，對于所有的n≥2且n∈N+，都有（1）求a3+a5；（2）是此數(shù)列中的項(xiàng)嗎？解法1：（1）因?yàn)樗裕瑑墒较喑胣≥2，n∈N+，第9頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六所以解法2：（1）因?yàn)?，所以解得a2=4，又解得同理可得第10頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六解：（2）令則解得n=16.所以