數(shù)學(xué)物理方法線性空間

數(shù)學(xué)物理方法線性空間第1頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六第二章線性空間

線性空間理論是線性泛函分析的重要組成部分。應(yīng)用線性泛函分析的方法可以把對許多數(shù)學(xué)問題的處理方法加以系統(tǒng)化，在更抽象的意義上理解初看來毫無關(guān)系的數(shù)學(xué)概念之間的本質(zhì)聯(lián)系。

第2頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六1、線性空間；2、線性變換；3、線性變換的本征值與本征向量；4、內(nèi)積空間；5、正交化法；6、自伴算子；7、等距變換；8、正規(guī)變換的本征值與本征向量；9、平方可積函數(shù)空間；10、完備正交歸一函數(shù)集；11、多項式逼近12、完備正交歸一集的例子；13、正交多項式第二章線性空間第3頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間一、群設(shè)G是一元素集，“.”是某種定義在G上的運算，對任意有這種運算稱為封閉運算。定義：群為由集合G和封閉運算“.”所組成的系統(tǒng)，記為它滿足以下三個公理：（1）運算滿足結(jié)合律：（2）存在單位元素e，有（3）對任意的存在逆元素滿足注意：當(dāng)群滿足運算的交換率：則稱為Abel群或交換群。第4頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間例：（1）整數(shù)的集合，以普通的加法做運算，構(gòu)成Abel群。此時0是單位元素，n和－n互為逆元素。（2）二維旋轉(zhuǎn)矩陣相對矩陣乘法也是一個Abel群。是單位元。和互為逆元素。例：以上是滿足交換律的即Abel群，有沒有不滿足交換律的例子？三維旋轉(zhuǎn)的集合是一個不可對易的連續(xù)群先繞z軸轉(zhuǎn)動90度，再繞y軸轉(zhuǎn)動90度先繞y軸轉(zhuǎn)動90度，再繞z軸轉(zhuǎn)動90度一樣？第5頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間例：n個對象置換的集合。不滿足交換律，不是Abel群。以n=3為例。該集合包含3！=6個元素，可以表示為定義一個乘法“*”，其法則是兩個置換的乘積仍是一個置換，運算由右至左連續(xù)施行兩次。第6頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間二、域域是滿足以下三條公理的系統(tǒng)，記為（1）系統(tǒng)是一個具有單位元素0的Abel群；（2）設(shè)是除以外的所有的集合，則系統(tǒng)是一個具有單位元素e的Abel群；（3）相對于＋，滿足分配率，即第7頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間例：所有有理數(shù)集合、實數(shù)集合、復(fù)數(shù)集合，相對于普通的加法和乘法都構(gòu)成了域。有了域的概念我們可以定義線性空間

（1）在非空集合V內(nèi)的任一對元素間定義運算（＋），使構(gòu)成Abel群。(單位元素用0表示，x的逆元素用－x表示)結(jié)合律交換律零元素負(fù)元素滿足：三、線性空間第8頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間則稱V是數(shù)域F上的線性空間（向量空間），記為V(F)。（以上8個公式為線性空間的8個公理）（2）在數(shù)域F中的數(shù)與V中的元素之間定義一個純量乘法運算，對F中任意數(shù)與V中任一元素,都可由該運算唯一決定V中的一個元素y,記為,數(shù)乘滿足：左分配律右分配律結(jié)合律數(shù)1的數(shù)乘第9頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間例：n維向量空間的定義：是一個以n重有序數(shù)為元素構(gòu)成的集合，其中，定義向量加法其中：向量數(shù)乘：零向量：的逆元：可以證明，這個n維向量空間是一個線性空間，記為例：所有的復(fù)數(shù)的集合也是一個復(fù)線性空間。第10頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間第11頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間第12頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間對于線性空間有以下定理存在：定理1：（1）當(dāng)y和z已知時，方程有唯一解x（2）如果，則（3）對每一個（4）對每一個（5）如果，則或定理2：若把定義為x和y之差，則有第13頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間設(shè)V是F上的線性空間，如果（即是V中的某些向量的集合），且滿足：（1）對任意的（2）對任意的則稱是V的線性子空間。定理：在V(F)中任取一組向量，這組向量的所有線性組合的集合是V的一個子空間。并稱這個子空間是由向量集合所張成（生成）的子空間。

四、線性子空間第14頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間第15頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間第16頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間第17頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六五、線性空間的基與維數(shù)基：指線性空間V中的最大線性無關(guān)的子集。V中的任一向量均可由這個子集中的向量的線性組合表示。維數(shù)：基中所含的向量的數(shù)目，稱為空間的維數(shù)。例：實三維空間中的三個向量組成一組基因為它們是線性無關(guān)的且任意向量x均可表示成這三個向量的線性組合§2線性空間§

2.1線性空間第18頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間解：在中設(shè)有階矩陣，其中位于的元素為1，其他元素為0。如，容易證明是的一組基，且線性無關(guān)，任何矩陣均可由它們線性表示。所以又由于，所以A在該基下的坐標(biāo)為：例：寫出實數(shù)域R上矩陣空間的一組基，求，并求在此基下的坐標(biāo)。第19頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六六、線性空間的同構(gòu)

（A）映射的定義：設(shè)S1和S2是兩個非空集合，如果按照一定的法則f，對于S1中的每個元素x，都存在S2中的一個確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為定義在S1上取值于S2中的一個映射，記為，y稱為x在映射f下的像。S1：§2線性空間§

2.1線性空間fS2xy集S1稱為映射f的定義域集S2稱為映射f的值域映射的種類：滿射、單射、雙射第20頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六（B）線性空間的同構(gòu)設(shè)S=｛E,*｝和S′=｛E′,·｝是分別具有封閉運算*和·的代數(shù)系統(tǒng)，假設(shè)f是一個從E到E′的雙射，即一一映射，它給每個屬于E的元a，b，c，…∈E，都有指定的屬于E′的元，f（a），f（b），f（c），…∈E′，與之對應(yīng)§2線性空間§

2.1線性空間E：fE′f(a)設(shè)a*b=c，則c

f（c）=f（a*b）同構(gòu)即要求af(b)bf若a*b=c

則

f（a）·f（b）=f（c）第21頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六線性空間同構(gòu)的判定方法：設(shè)U和V是同一數(shù)域F上的兩個線性空間，f是從U到V的一個映射，如果:（1）f是一個雙射；（2）f是一個線性映射，即則稱f是U到V的同構(gòu)映射，并說U與V同構(gòu)。定理：域F上每一個n維線性空間都和空間同構(gòu)。（即同一域上的同維數(shù)的任何兩個線性空間是同構(gòu)的。）§2線性空間§

2.1線性空間第22頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間同構(gòu)的意義：

在線性空間的抽象討論中，無論構(gòu)成線性空間的元素是什么，其中的運算是如何定義的，我們所關(guān)心的只是這些運算的代數(shù)性質(zhì)。從這個意義上可以說，同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的，而有限維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù)。

同構(gòu)映射不僅能使兩系統(tǒng)中的元素保持一一對應(yīng)的關(guān)系，而且還要求這種對應(yīng)關(guān)系在各自的運算下仍保持著，即x*y=z

f（x）·f（y）=f（z）第23頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間例：兩個同構(gòu)系統(tǒng)初看起來可能會很不相同。例如前面討論的三元素置換群與下述6個2X2矩陣相對矩陣乘法構(gòu)成的群是同構(gòu)的。

例如AXB=F，從右向左：把1換為3，再把3換為3，133,221312，所以對應(yīng)剛好是置換F。第24頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.1線性空間而A′XB′=F′，剛好是置換F′。一般來說，如果兩個系統(tǒng)具有相同的乘法表，這兩個系統(tǒng)便是同構(gòu)的，或結(jié)構(gòu)等同的。第25頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六

定義：指在線性空間V(F)中變換A,對每一個有確定的向量，且對任意的有則稱A為線性變換也稱線性算子。式中a，b為標(biāo)量§2線性空間§

2.2線性變換一、線性變換的定義線性變換舉例：零變換和單位變換是特殊的線性變換。即零變換把空間的任意向量變換成空間的零向量，而單位變換是把任意向量變換成自身的線性變換。第26頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§

2.2線性變換證明：滿足線性變換定義，得證。§2線性空間例：設(shè)是空間的一個給定的單位向量，對于空間任一向量，若變換的定義為則是一個線性變換。第27頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§

2.2線性變換§2線性空間第28頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§

2.2線性變換§2線性空間第29頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§

2.2線性變換二、基本運算：（1）變換加法：（2）變換數(shù)乘：（3）變換乘法：其中

是線性變換，是線性空間V中的向量。說明：（1）線性變換相乘一般不服從交換律。（2）滿足下述運算性質(zhì)§2線性空間第30頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六三、線性變換的逆變換：如果線性變換A滿足：（1）（2）則存在A的逆變換，記為，稱A是可逆的。且可逆性的判定定理：§

2.2線性變換§2線性空間第31頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六四、線性變換的矩陣表示：于是，當(dāng)已知時即可完全確定。定理1：設(shè)是線性空間的一組基，A是上的一個線性變換，只要給出的像向量，則A完全確定。證明：只要證明對中任一向量，其像向量唯一確定即可。由于是基，對有§

2.2線性變換§2線性空間第32頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六定理2：設(shè)是的一組基，是中的任意n個向量，則存在唯一的線性變換A，使定理3：有限維空間上的線性變換（稱此空間可分的），當(dāng)選擇一組基后，便與一個確定的矩陣相對應(yīng)。反之，在固定基下，每一個矩陣對應(yīng)一個確定的線性變換。即線性變換與相應(yīng)矩陣同構(gòu)，使得線性變換的運算與矩陣的相關(guān)運算法則對應(yīng)§

2.2線性變換§2線性空間第33頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六例：求F[x]n的求導(dǎo)變換，在基1，x，x2，…,xn-1下的矩陣。解：因為即所求矩陣。在取定一組基后，線性變換與相應(yīng)矩陣是一一對應(yīng)的關(guān)系?！?/p>

2.2線性變換§2線性空間所以第34頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六定理4：同一線性變換在不同基下對應(yīng)的矩陣是相似的。即：若存在可逆矩陣A，使矩陣B和C滿足則稱B和C是相似矩陣。記矩陣的相似是一種等價關(guān)系，具有：§

2.2線性變換§2線性空間第35頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六例：設(shè)A是一個實三維空間上的旋轉(zhuǎn)變換，它把空間任一矢量繞軸右旋一個角度,求此變換在Cartesian基下的矩陣。解：這里我們用表示直角坐標(biāo)系中的三個單位矢量，即實三維空間的一組基?！?/p>

2.2線性變換§2線性空間因此變換A在基下的矩陣表示為根據(jù)A的定義：第36頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六定義：設(shè)A是V(F)上的線性變換，如果則稱為A的本征值，為A的屬于的本征向量。上述條件也可以表示為：不妨設(shè)有限維空間的基,x可表示為：又設(shè)A在此基下的矩陣為，則有§

2.3線性變換的本征值與本征向量§2線性空間第37頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六即：有非零解的條件是：上式左邊的行列式是的n次多項式。在復(fù)數(shù)域上有n個零點，即n維空間上的任何線性變換在復(fù)數(shù)域上必有n個本征值。另外，由于，的秩必然小于n，所以每個本征值至少對應(yīng)一個本征向量。注意，本征值和本征向量與基的選擇無關(guān)?！?/p>

2.3線性變換的本征值與本征向量§2線性空間第38頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六(1)線性變換A的本征值的集合稱為A的譜，其中本征值的模的最大值稱為譜半徑。(2)若是A的本征多項式的k級零點，則說該本征值的代數(shù)重數(shù)為k。當(dāng)時稱A的譜是簡并的。(3)如果變換A有n個線性無關(guān)的本征向量（n為空間維數(shù)），則它的矩陣一定可以通過相似變換對角化，且對角元素為A的本征值。說明：注意：定理給出A的本征值不同是相應(yīng)的本征向量線性無關(guān)的充分條件，并非必要條件。定理：設(shè)是線性變換A的兩兩相異的本征值，則相應(yīng)地本征向量線性無關(guān)。§

2.3線性變換的本征值與本征向量§2線性空間第39頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六例：下列矩陣是否與對角矩陣相似解：（1）屬于特征值的與線性無關(guān)的特征向量有兩個，因為此時§

2.3線性變換的本征值與本征向量§2線性空間秩：，與線性無關(guān)的特征向量有3－1＝2個因此A一定可以與對角陣相似。第40頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六秩：，因此屬于的線性無關(guān)的特征向量只有（2）特征值分別為：具有三不同的特征值即3個不同的本征向量，必有相似的對角矩陣?！?/p>

2.3線性變換的本征值與本征向量§2線性空間（3）三個特征值對有從而A一定不能與對角陣相似。第41頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六在實三維空間，普通向量的長度和兩向量的夾角是通過標(biāo)積定義的，如果則：x的長度

的夾角作為標(biāo)積的推廣，可以引入內(nèi)積的概念?！?/p>

2.4內(nèi)積空間§2線性空間兩個向量的標(biāo)積第42頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§

2.4內(nèi)積空間一、內(nèi)積的定義對于線性空間V(F)內(nèi)任一對有序向量都有域F內(nèi)的一個確定的數(shù)與之對應(yīng)，記為，其對應(yīng)規(guī)則滿足以下三個條件：定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。F是實數(shù)域為實內(nèi)積空間（歐幾里得空間），復(fù)數(shù)域為酉空間。說明:1、對實內(nèi)積空間，不起作用，可以略去。不論實內(nèi)積空間還是復(fù)內(nèi)積空間，條件(1)意味著任何向量與自身的內(nèi)積總是實數(shù)，從而保證了條件(3)不等式有意義。2、在同一線性空間，可以按照多種形式定義內(nèi)積空間，只要滿足內(nèi)積公理?！?線性空間內(nèi)積公理第43頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六二、向量范數(shù)、內(nèi)積和范數(shù)的性質(zhì)：（1）范數(shù)定義：即向量的長度，記為（2）內(nèi)積和范數(shù)的性質(zhì)定理1：在任何內(nèi)積空間，有§

2.4內(nèi)積空間§2線性空間第44頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六證明:(1)由內(nèi)積公理第一條知由內(nèi)積公理的第三條得x－y＝0，即x＝y(tǒng)。其他證明類似?！?/p>

2.4內(nèi)積空間§2線性空間(由第二條)(由第一條)(2)如對任意的z，(x,z)＝(y,z)成立，則(x－y,z)＝0(對所有的z)取z＝x－y(由于z的任意性)得(x－y,x－y)＝0第45頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六定理2：（施瓦茲Schwartz不等式）若x,y是復(fù)內(nèi)積空間中的任一對向量，則定理3：（三角不等式）在任何內(nèi)積空間，對任意向量x,y均有證明略?？挛鳎S瓦茲不等式§

2.4內(nèi)積空間§2線性空間注意：上等化為等式當(dāng)且僅當(dāng)時成立。這等價于x,y中有一個零向量，或者y＝kx

，k>0第46頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六三、正交性和完備性定義：（1）當(dāng)且僅當(dāng)時，稱x與y正交。（2）設(shè)是一個向量集合，如果對所有的滿足則稱該集合是正交歸一集。（3）在有限維空間中，如果一個正交歸一集不含于任何一個更大的正交歸一集中，則該正交歸一集被說成是完備的正交歸一集。§

2.4內(nèi)積空間§2線性空間第47頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六定理1：正交歸一集是線性無關(guān)集。（即在n維空間中的任何n個向量的正交歸一集都可以作為該空間的基）定理2：（Bessel不等式）設(shè)是內(nèi)積空間任一有限正交歸一集，x為空間任一向量，則其中，。且與每一個正交?！?/p>

2.4內(nèi)積空間§2線性空間第48頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六以下幾種有關(guān)有限維內(nèi)積空間的正交歸一集完備性的說法等價：定理3：設(shè)是內(nèi)積空間V的m個向量組成的正交歸一集，則下述關(guān)于X的說法彼此等價：Parseval

等式§

2.4內(nèi)積空間§2線性空間第49頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六一、度量矩陣對一個n維空間Vn，要定義內(nèi)積（x,y），只要確定一組基間的內(nèi)積就可以了。設(shè)是一組基，則上式中的矩陣由各基向量間的內(nèi)積決定，稱為在基下的度量矩陣?！?/p>

2.5正交法化

§2線性空間第50頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六說明：（1）度量矩陣是厄米正定矩陣。因為滿足

（2）度量矩陣在實空間是個正定矩陣。（3）度量矩陣與基的選擇有關(guān)。最簡單的度量矩陣就是單位矩陣，對應(yīng)的基就是正交歸一基。即度量矩陣可以通過選擇一組正交歸一基轉(zhuǎn)化為單位矩陣。（4）定義正交歸一基的方法：葛蘭姆－施密特正交化方法。（正定），在實空間是對稱矩陣。（厄米）§

2.5正交法化

§2線性空間第51頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六二、葛蘭姆－施密特(G-S)正交化方法設(shè)是Vn中的任一組基，利用G-S方法建立正交歸一基的方法是：（1）因為，否則X不會是線性無關(guān)集，故可命：則是一個歸一向量。（2）令即是的線性組合則故：故令得，類似地，我們可以得到§

2.5正交法化

§2線性空間第52頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六例：設(shè)空間中的一組基：求：由此基確定的一組正交歸一基。解：因為：§

2.5正交法化

§2線性空間第53頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六類似地，可見正交，即所求?！?/p>

2.5正交法化

§2線性空間第54頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六定義：已知A是內(nèi)積空間上的線性變換，如果對任意的，變換滿足則稱為A的伴隨算子。

幾點說明：

（1）對給定的線性算子，其相應(yīng)的伴隨算子是唯一的，且是線性的。一、伴隨算子是A的轉(zhuǎn)置共軛矩陣?！?線性空間§

2.6自伴算子第55頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六（2）A和在同一基下的矩陣間的關(guān)系設(shè)是內(nèi)積空間的基，A在該基下的矩陣為，是內(nèi)積空間在該基下的度量矩陣。A的伴隨變換在該基下對應(yīng)矩陣為，則有注意到度量矩陣的厄米性，有，它還是正定矩陣，其逆矩陣存在，因此§2線性空間§

2.6自伴算子第56頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六（3）在正交基下，G是單位矩陣，則有即伴隨變換在任意正交歸一基下相應(yīng)的矩陣是變換在此基下的矩陣的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。（4）關(guān)于伴隨矩陣的運算性質(zhì)§2線性空間§

2.6自伴算子第57頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六二、自伴算子

在實內(nèi)積空間中自伴算子稱對稱算子，在復(fù)內(nèi)積空間中自伴算子稱為厄米算子。在正交歸一基下，對稱算子對應(yīng)的矩陣是對稱矩陣，厄米算子對應(yīng)矩陣是厄米矩陣。2、性質(zhì)：（1）設(shè)A、B是自伴算子，則A＋B也是自伴算子。（2）A、B自伴，一般不能保證AB自伴，當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA時，A、B的自伴保證AB自伴。（3）若A自伴，則當(dāng)且僅當(dāng)是實數(shù)時，自伴。1、定義：若，則稱A是自伴的。

若，則稱A是反自伴的。§2線性空間§

2.6自伴算子第58頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六3、判定定理：

定理1：若A是實內(nèi)積空間上的自伴算子，則對任意的，有的充要條件是證明：充分性：因為時必要性：注意到A是實內(nèi)積空間的自伴算子，由定義有考察下面內(nèi)積：所以如果內(nèi)積空間是復(fù)的，上述定理可以加強§2線性空間§

2.6自伴算子第59頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六定理2：若A是酉空間上的線性變換，則對所有的，的充要條件是。即若A是內(nèi)積空間中的自伴變換，（不論是實空間還是復(fù)空間）對所有，的充要條件是.定理3：設(shè)A是酉空間的線性變換，則對所有，為實數(shù)的充要條件是A為厄米變換。定理4：厄米變換的本征值是實的。證明：即對厄米變換總是實的。由定理3結(jié)論得證§2線性空間§

2.6自伴算子第60頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六例：給定g

(x),求在區(qū)間中滿足解：這是一個邊值問題，對它算子為在區(qū)間內(nèi)，所有函數(shù)g的空間是L的值域。L的定義域在該區(qū)間內(nèi)函數(shù)f的空間。這些函數(shù)滿足邊界條件，且在L的值域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)。如無適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，則方程的解不惟一，即，要由微分算子及其定義域兩者來確定算子。的f(x)。并求該微分算子的伴隨算子。適用于此問題的一個內(nèi)積是§2線性空間§

2.6自伴算子第61頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六注意內(nèi)積的規(guī)定不惟一，在上式的積分中加上w(x)>0的權(quán)重數(shù)也是可采用的內(nèi)積。但是伴隨算子依賴于內(nèi)積，因此可以選定內(nèi)積，使其成為自伴算子。根據(jù)定義，先構(gòu)造伴隨算子的左邊，有最后兩項是邊界項，可以選擇的定義域使它們?yōu)榱?。由邊界條件知，§2線性空間§

2.6自伴算子第62頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六則第二個邊界項也為零。顯然，對于由式確定的內(nèi)積，從伴隨算子的定義式知，的伴隨算子為：§2線性空間§

2.6自伴算子因為，且的定義域與L的定義域相同，所以算子是自伴的。因為當(dāng)f是實數(shù)時，Lf也是實數(shù)，L是實算子，可以證明，由知算子L也是正定算子。即使f是復(fù)數(shù)，L也是正定算子*。第63頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六所謂正定算子是指§2線性空間§

2.6自伴算子則算子為正定的。上式中的大于換成大于等于則算子是半正定的。若換為小于則算子為負(fù)定的。*正定算子當(dāng)給出一個形式為L(f)=g的問題。解的特性依賴于算子的特性，如果f是實數(shù),Lf也是實數(shù)，則算子為實算子。第64頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.6自伴算子的逆算子可以由標(biāo)準(zhǔn)的格林函數(shù)法得到，它是式中G是格林函數(shù)，即構(gòu)成后，微分兩次便可以得到(1)這樣就證明了式(1)是逆算子。注意到在的定義域中不需要邊界條件，這是大多數(shù)積分算子的共同特點。從L是自伴的證明同樣可以得出也是自伴的。類似的也可以得出，只要L是正定的，也是正定的。第65頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六例：量子力學(xué)中簡諧振子的哈密頓算子為：§2線性空間§

2.6自伴算子證明它的本征值是正的。證明：令其中本征向量u是歸一化的，即因為p和x均是厄米的，故第66頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六定義：設(shè)U是內(nèi)積空間上的線性變換，為U的伴隨變換，如果則稱U為等距變換。若同時滿足則稱它為酉變換或么正變換。在有限維空間，變換有左逆必有右逆，因此等距與么正是等價的，么正變換的逆變換是它的伴隨變換，即（單位變換）§2線性空間§

2.7等距變換

一、等距變換的定義第67頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六二、等距變換的特性定理1、設(shè)U是內(nèi)積空間上的線性變換，則下列三個條件是彼此等價的，每一個都可以作為等距變換的定義：定理2、對有限維內(nèi)積空間，一個完備正交歸一集，經(jīng)等距變換后的集合仍是完備的正交歸一集?？梢姷染嘧儞Q把一組正交歸一基變換成另一組正交歸一基?！?線性空間§

2.7等距變換

第68頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六

由于一個變換A的伴隨變換在正交歸一基下對應(yīng)的矩陣是A在同一基下對應(yīng)矩陣的共軛轉(zhuǎn)置，故等距變換在正交歸一基下對應(yīng)的矩陣也滿足等距變換和酉變換的定義式，即，把滿足該式的矩陣U稱為酉矩陣。因此，在有限維空間酉變換的等價定義是：如果內(nèi)積空間上的線性變換A在任一正交歸一基下對應(yīng)的矩陣都是酉矩陣，便稱它為酉變換?！?線性空間§

2.7等距變換

三、酉矩陣和酉變換第69頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六顯然實內(nèi)積空間上的酉變換就是正交變換。但是在復(fù)內(nèi)積空間，兩者是不一致的，酉變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是酉矩陣。定義2：設(shè)線性變換A在正交歸一基下對應(yīng)的矩陣為，如果即的轉(zhuǎn)置矩陣等于其逆矩陣，則說變換A是正交變換。§2線性空間§

2.7等距變換

四、正交變換第70頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六定義：當(dāng)且僅當(dāng)時，稱A為正規(guī)變換（或法式變換）顯然，所有的自伴變換、反自伴變換和酉變換都是正規(guī)變換。正規(guī)變換在正交基下對應(yīng)的矩陣滿足這樣的矩陣稱為正規(guī)矩陣。§2線性空間§

2.8正規(guī)變換的本征值與本征向量

一、正規(guī)變換的定義第71頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六證明：設(shè)和分別為自伴變換A的任一本征值和相應(yīng)的本征向量，則即，所以為實數(shù)。同理，對反自伴變換，可證，即為虛數(shù)。對等距變換，二、本征值特性：（1）自伴變換的本征值為實數(shù)。（2）等距變換的本征值的模為1。（3）反自伴變換的本征值為純虛數(shù)。§2線性空間§

2.8正規(guī)變換的本征值與本征向量

本征向量本征值第72頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六三、本征向量特性定理：如果A是正規(guī)的線性變換，則屬于不同本征值的本征向量是正交的?？梢宰C明：若x是正規(guī)變換的本征向量，是相應(yīng)的本征值，則x也是其伴隨變換的本征向量，對應(yīng)的本征值為反之亦然。§2線性空間§

2.8正規(guī)變換的本征值與本征向量

若A正規(guī)時，有顯然當(dāng)A正規(guī)，也正規(guī)，將A換成，即第73頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)分別是A是屬于的本征向量，則§2線性空間§

2.8正規(guī)變換的本征值與本征向量

即若則必有由該定理知，n維空間的正規(guī)變換，如果具有n個相異的本征值，則相應(yīng)本征向量的集合是一個正交集，且是完備的。第74頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六四、正規(guī)矩陣對角化若A是一個具有非簡并譜的正規(guī)矩陣，則必存在酉矩陣U，使A通過酉相似變換對角化。即其中D是以A的n個本征值為對角元素構(gòu)成的對角陣。事實上，因為n個不同本征值對應(yīng)n個本征向量是正交的，如果將這些向量歸一化，以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣，則一定是一個酉矩陣，那么一定會有AU=UD，由于酉矩陣的逆存在，則一定有上式成立?！?線性空間§

2.8正規(guī)變換的本征值與本征向量

第75頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六定理1、對任何厄米矩陣H，都存在酉矩陣U，使其中D是對角陣。本定理說明，n維空間的厄米算子總存在n個正交歸一的本征向量，因而它的本征向量集合能張成空間。定理2、一個矩陣A當(dāng)且僅當(dāng)它是正規(guī)矩陣時，可以用酉相似變換對角化。定理說明在正規(guī)算子的本征向量的集合中存在空間的正交歸一基?！?線性空間§

2.8正規(guī)變換的本征值與本征向量

第76頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)是中的元素是定義在閉區(qū)間[a,b]上實變量x的復(fù)值函數(shù)，且滿足勒貝格意義上的平方可積關(guān)系即存在且有限，在此集合上定義：兩個向量的加法為：復(fù)數(shù)與向量的乘法為：則該集合構(gòu)成一線性空間，稱平方可積函數(shù)空間。二、平方可積函數(shù)空間中內(nèi)積和范數(shù)的定義：§2線性空間§

2.9平方可積函數(shù)空間

一、平方可積函數(shù)空間的定義第77頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六定義2、內(nèi)積空間上的柯西序列指這樣一個向量序列，對任意給定的，存在N，使得當(dāng)時§2線性空間§

2.9平方可積函數(shù)空間

三、平方可積函數(shù)空間的特性注意：每一收斂序列都是柯西序列，但是柯西序列并不一定是收斂序列。定義1

收斂序列的定義是：設(shè)是內(nèi)積空間的向量序列，若對任意給定的，存在N，使得當(dāng)時，則稱收斂于,記。第78頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六定義3、其中每一個柯西序列都收斂的內(nèi)積空間稱為完備的內(nèi)積空間，也稱為Hilbert空間。也就是說，在完備的內(nèi)積空間中，如果，則空間存在使。平方可積函數(shù)空間具有完備性，記，就是一個Hilbert空間。在Hilbert空間中，函數(shù)的正交性、歸一性和集合的概念都和以前的定義一樣。若則稱該函數(shù)集合是正交歸一的。我們的問題是：（1）什么樣的函數(shù)集在H空間中起基函數(shù)作用；（2）對任一函數(shù)，如何用基函數(shù)精確逼近它？為此引入§2線性空間§

2.9平方可積函數(shù)空間

第79頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六

在有限維向量空間，任一向量可以表示成基向量的線性組合，在希爾伯特空間，相應(yīng)的問題就是將函數(shù)表示成給定函數(shù)組的線性組合。（如廣義傅立葉級數(shù)展開問題）顯然，首先需要確定H空間的正交歸一集的完備性問題。一、完備正交歸一函數(shù)集的定義定義：設(shè)是H空間一正交歸一集，如果對空間任一函數(shù)，總有一組系數(shù)，使得部分和序列平均收斂于，則稱是完備的正交歸一集。也就是說H空間中集合的完備性是以集中元素的線性組合可以平均逼近任意函數(shù)來定義的?！?線性空間§

2.10完備的正交歸一函數(shù)集

第80頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六二、展開系數(shù)設(shè)是H空間完備的正交歸一集，則對空間任一函數(shù)，存在系數(shù)使得當(dāng)時，部分和序列平均收斂于，即其中收斂系數(shù)為只要是完備的正交歸一集，上式就成立。討論以上的展開系數(shù)，可以得到貝塞爾不等式§2線性空間§

2.10完備的正交歸一函數(shù)集

第81頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六三、貝塞爾不等式對所有的n有稱此式為Bessel不等式。當(dāng)且僅當(dāng)完備時，取等號：稱此為完備性關(guān)系式。若是完備正交歸一集時，對任意的有以上兩個等式均為完備的等價描述§2線性空間§

2.10完備的正交歸一函數(shù)集

第82頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六四、封閉性與完備性一致定義：設(shè)是正交歸一函數(shù)集，若不存在與集中每個都正交的非零函數(shù)，則稱是封閉的正交歸一集。

注意：在有限維空間中，n個向量的完備集的定義是不存在與集中每個向量都正交的非零向量。實際上，這個結(jié)論對無限維也適用，即正交歸一函數(shù)集的封閉性和完備性等價，即一個封閉的函數(shù)集，就可以作為空間的一個基。定理：H空間中的正交歸一集當(dāng)且僅當(dāng)它是封閉的，則它是完備的。那么，在閉區(qū)間[a,b]上存在一個完備的正交歸一函數(shù)集，則[a,b]上任一平方可積函數(shù)均可用集中函數(shù)的線性組合來平均逼近。§2線性空間§

2.10完備的正交歸一函數(shù)集

第83頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六定理1：（Weierstrass多項式逼近定理）如果在[a,b]上連續(xù)，則存在一多項式序列，在[a,b]上一致收斂于，即其中由確定。維氏定理說明冪函數(shù)系構(gòu)成空間的完備系，（但不正交和歸一），閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)都可以用多項式一致逼近?！?線性空間§

2.11多項式逼近

第84頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六狄拉克函數(shù)1.工程上的定義：由確定。§2線性空間§

2.11多項式逼近

2.以另一函數(shù)序列形式的定義：其中常數(shù)因此通過選擇的方法保證因此有第85頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六定理2：設(shè)集合（其中是x的i次多項式）是區(qū)間[a,b]上的正交歸一的多項式集合，則它是完備的正交歸一集。證明略說明：（1）的完備性表明，對H空間的任一函數(shù)均可用做基函數(shù)展開，展開系數(shù)為。展開式平均收斂于。（2）[a,b]上正交歸一多項式集是唯一的，最多只差一個相因子。（3）[a,b]上正交歸一多項式集的構(gòu)成是線性無關(guān)的集合，可以利用葛蘭姆－施密特正交法化構(gòu)成?！?線性空間§

2.11多項式逼近

第86頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.11多項式逼近

其中第87頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六（1）勒讓德多項式利用G-S正交法化方法，可以將冪函數(shù)集在[-1,1]上得到完備正交歸一集：§2線性空間§

2.12正交完備集的例子第88頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六顯然就是勒讓德多項式除以它的模。羅巨格公式因此，勒讓德多項式具有正交完備性（完備性由維氏定理保證，正交性由以上的G-S方法保證）。（不是歸一的）它的相關(guān)性質(zhì)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了，事實上，在[-1,1]區(qū)間上可以將任何連續(xù)的函數(shù)按照勒讓德函數(shù)做廣義傅立葉級數(shù)展開?！?線性空間§

2.12正交完備集的例子第89頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.12正交完備集的例子若函數(shù)f(x)在[-1,1]上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)和分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在[-1,1]上可展開成絕對且一致收斂的級數(shù)——廣義傅立葉級數(shù)

可作為廣義傅立葉級數(shù)展開的基，且是完備的，展開系數(shù)c

l的求法：第90頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六（2）厄米多項式是定義在區(qū)間上以為權(quán)的正交多項式，滿足它與前邊的正交函數(shù)集區(qū)別在于，一是定義在，二是正交為權(quán)函數(shù)的正交。事實上它是厄米方程的解，同樣是S-L方程的解。因此滿足正交完備性?！?線性空間§

2.12正交完備集的例子第91頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六（3）拉蓋爾多項式是定義在區(qū)間上以為權(quán)的正交多項式，滿足它是拉蓋爾方程的解。同樣是S-L方程問題?！?線性空間§

2.12正交完備集的例子第92頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六§2線性空間§

2.13Sturm-Liouville系統(tǒng)——正交多項式前面討論的幾種特殊函數(shù)，都是相應(yīng)微分方程的解，這些方程及其解初看起來形式差別很大，但都可看作二階線性微分方程總之，對于一個S-L本征值系統(tǒng)，是由二階線性微分方程的解得到的。在H空間中，正交歸一的S-L多項式集一定是完備的。其中為x的連續(xù)實值函數(shù)，為參數(shù)。第93頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)上，勒讓德函數(shù)指以下勒讓德微分方程的解：

為求解方便一般也寫成如下（Sturm-Liouvilleform）:

勒讓德方程的解可寫成標(biāo)準(zhǔn)的冪級數(shù)形式。當(dāng)方程滿足|x|<1時，可得到有界解（即解級數(shù)收斂）。并且當(dāng)n

為非負(fù)整數(shù)，即n=0,1,2,...時，在x=±1點亦有有界解。這種情況下，隨n

值變化方程的解相應(yīng)變化，構(gòu)成一組由正交多項式組成的多項式序列，這組多項式稱為勒讓德多項式（Legendrepolynomials）?！?線性空間附件1勒讓德函數(shù)與勒讓德多項式第94頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六勒讓德多項式Pn(x)是n

階多項式，可用羅德里格公式表示為：

勒讓德多項式的一個重要性質(zhì)是其在區(qū)間?1≤x≤1關(guān)于L2內(nèi)積滿足正交性，即：事實上，推導(dǎo)勒讓德多項式的另一種方法便是關(guān)于內(nèi)積空間對多項式{1,x,x2,...}進行Gram-Schmidt正交化。之所以具有此正交性是因為勒讓德微分方程可化為標(biāo)準(zhǔn)的斯圖姆-劉維爾問題：§2線性空間附件1勒讓德函數(shù)與勒讓德多項式第95頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六其中本征值λ對應(yīng)于原方程中的n(n+1)?！?線性空間附件1勒讓德函數(shù)與勒讓德多項式第96頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六此表列出了頭11階（n

從0到10）勒讓德多項式的表達式n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

§2線性空間附件1勒讓德函數(shù)與勒讓德多項式第97頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六頭6階（n

從0到5）勒讓德多項式的曲線§2線性空間附件1勒讓德函數(shù)與勒讓德多項式第98頁，共108頁，2023年，2月20日，星期六在物理學(xué)中的應(yīng)用在求解三維空間中的球?qū)ΨQ問題，譬如計算點電荷在空間中激發(fā)的電勢時，常常要用到勒讓德多項式作如下形式的級數(shù)展開：