數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化第二講數(shù)學(xué)概觀

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化第二講數(shù)學(xué)概觀第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六內(nèi)容一.前言二.數(shù)學(xué)科學(xué)的內(nèi)容三.數(shù)學(xué)進展的大致概況四.數(shù)學(xué)學(xué)科的特點五.數(shù)學(xué)家的思維六.數(shù)學(xué)家介紹（華羅庚、陳省身）第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六一.前言被后人稱為“數(shù)學(xué)王子”的德國大數(shù)學(xué)家高斯（Gauss,1777-1855）曾說過：“數(shù)學(xué)是科學(xué)之王，數(shù)論是數(shù)學(xué)之王，它常常屈尊去為天文學(xué)和其他自然科學(xué)效勞，但在所有的關(guān)系中，它都堪稱第一．”隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)的地位也日益提高，這是因為當今科學(xué)技術(shù)發(fā)展的一個重要特點是高度的、全面的定量化．定量化實際上就是數(shù)學(xué)化．因此，人們把數(shù)學(xué)看成是與自然科學(xué)、社會科學(xué)并列的一門科學(xué)，叫數(shù)學(xué)科學(xué)．第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六二.數(shù)學(xué)科學(xué)的內(nèi)容☆數(shù)學(xué)科學(xué)按其內(nèi)容可分成五個大學(xué)科：1）純粹（基礎(chǔ)）數(shù)學(xué)（Puremathematics）2）應(yīng)用數(shù)學(xué)（Appliedmathematics）3）計算數(shù)學(xué)（Computationalmathematics）4）運籌與控制（Operationalresearchandcontrol）5）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（Probabilityandmathematicalstatistics）第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六三.數(shù)學(xué)進展的大致概況數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史非常悠久，大約在一萬年以前，人類從生產(chǎn)實踐中就逐漸形成了“數(shù)”與“形”的概念，但真正形成數(shù)學(xué)理論還是從古希臘人開始的．公元300多年以前，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，公元前330-前275）寫了《幾何原本》一書，這是自古以來所有科學(xué)著作中發(fā)行量最廣、沿用時間最長的巨著．兩千多年來，數(shù)學(xué)的發(fā)展大體可以分為三個階段：17世紀以前是數(shù)學(xué)發(fā)展的初級階段，其內(nèi)容主要是常量數(shù)學(xué)，如初等幾何、初等代數(shù)、；從文藝復(fù)興時期開始，數(shù)學(xué)發(fā)展進入第二個階段，即變量數(shù)學(xué)階段，產(chǎn)生了微積分、解析幾何、高等代數(shù)；從19世紀開始，數(shù)學(xué)獲得了巨大的發(fā)展，形成了近代數(shù)學(xué)階段，產(chǎn)生了實變函數(shù)、泛函分析、非歐幾何、拓撲學(xué)、近世代數(shù)、計算數(shù)學(xué)、數(shù)理邏輯等新的數(shù)學(xué)分支．第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六初等數(shù)學(xué)階段進代數(shù)學(xué)階段現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段時間17世紀前17---18世紀19世紀---對特象點數(shù)→常量形→簡單圖形變量曲線（形與數(shù)統(tǒng)一）曲面集合、空間構(gòu)件、流形（以集合和映射為工具）代表課程初等代數(shù)立體幾何數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何（老三樣）泛函分析、近世代數(shù)、拓撲學(xué)（新三樣）第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六近半個多世紀以來，現(xiàn)代自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，正在改變著傳統(tǒng)的學(xué)科分類與科學(xué)研究的方法．“數(shù)、理、化、天、地、生”這些曾經(jīng)以縱向發(fā)展為主的基礎(chǔ)學(xué)科與日新月異的技術(shù)相結(jié)合，使用數(shù)值、解析和圖形并舉的方法，推出了橫跨多種學(xué)科門類的新興領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)科學(xué)內(nèi)也產(chǎn)生了新的研究領(lǐng)域和方法，如混沌（Chaos）、分形幾何（Fractalgeometry）、小波分析（Wavelettransform）等．可以這樣說，數(shù)學(xué)發(fā)展至今，已經(jīng)擁有100多個分支的科學(xué)體系，盡管如此，數(shù)學(xué)科學(xué)的核心領(lǐng)域還是：---代數(shù)學(xué)―――研究數(shù)的理論；---幾何學(xué)―――研究形的理論；---分析學(xué)―――溝通形與數(shù)且涉及極限運算的部分．第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六總結(jié)數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)成為科學(xué)世界中擁有100多個主要分支學(xué)科的龐大的“共和國”。大體說來，數(shù)學(xué)中研究數(shù)的部分屬于代數(shù)學(xué)的范疇；研究形的部分，屬于幾何學(xué)的范籌；溝通形與數(shù)且涉及極限運算的部分，屬于分析學(xué)的范圍。這三大類數(shù)學(xué)構(gòu)成了整個數(shù)學(xué)的本體與核心。在這一核心的周圍，由于數(shù)學(xué)通過數(shù)與形這兩個概念，與其它科學(xué)互相滲透，而出現(xiàn)了許多邊緣學(xué)科和交叉學(xué)科。第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六四.數(shù)學(xué)學(xué)科的特點1.抽象性2.精確性3.應(yīng)用的廣泛性第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六1.抽象性數(shù)學(xué)研究的“形”和“數(shù)”與現(xiàn)實世界中的物質(zhì)內(nèi)涵沒有直接聯(lián)系。全部數(shù)學(xué)概念都具有抽象性。但都有非常現(xiàn)實的背景。數(shù)學(xué)抽象的特點在于：I.在數(shù)學(xué)抽象中保留了量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其他；II.數(shù)學(xué)的抽象是一級一級逐步提高的,它們所達到的抽象程度大大超過了其他學(xué)科中的一般抽象;III.數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們相互關(guān)系的圈子之中.第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六2.精確性數(shù)學(xué)的精確性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)定義的準確性，推理和計算的邏輯嚴格性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無疑與無可爭辯性。數(shù)學(xué)中的嚴謹推理和一絲不茍的計算，使得每個數(shù)學(xué)結(jié)論都是牢固的、不可動搖的。這種思想方法不僅培養(yǎng)了科學(xué)家，而且它也有助于提高人的科學(xué)文化素質(zhì)，它是全人類共有的精神財富。數(shù)學(xué)理論的嚴密性就要求學(xué)數(shù)學(xué)的人在學(xué)習(xí)的過程中，不僅要做習(xí)題,掌握解題方法，而且要重視和學(xué)會證明結(jié)論的思想和技巧，理解數(shù)學(xué)問題背后的精神、方法。第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六3.應(yīng)用的廣泛性1959年5月，著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授在人民日報上發(fā)表了《大哉數(shù)學(xué)之為用》的文章，精辟的敘述了數(shù)學(xué)的各種運用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各方面，無處不有數(shù)學(xué)的貢獻?！狈彩浅霈F(xiàn)“量”的地方就少不了用數(shù)學(xué)，研究量的關(guān)系，量的變化關(guān)系，量的關(guān)系的變化等現(xiàn)象都少不了數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)之為用貫穿到一切科學(xué)部門的深處，而成為它們的得力助手與工具，缺少了它就不能準確刻畫出客觀事物的變化，更不能由已知數(shù)據(jù)推出其他數(shù)據(jù)，因而就減少了科學(xué)預(yù)見的準確性。例子：---飛機制造---沙漠風(fēng)暴與數(shù)學(xué)戰(zhàn)---通訊技術(shù)第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六五.數(shù)學(xué)家的思維數(shù)學(xué)家的思維特點取決于數(shù)學(xué)的特點．數(shù)學(xué)家的思維特點歸納起來就是思維的嚴謹性、思維的抽象性（廣闊性）、思維的靈活性及思維的批判性．此外，還有數(shù)學(xué)家的直覺和想象、美感和審美能力．還要特別強調(diào)數(shù)學(xué)家的拼搏精神和奉獻精神，他們?yōu)榱税l(fā)展數(shù)學(xué)，廢寢忘食、勤奮鉆研，甚至忘記了自我．數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)之所以如此執(zhí)著、甚至癡迷，是因為他們喜愛數(shù)學(xué)，不斷地用數(shù)學(xué)中的“美”來陶冶自己．數(shù)學(xué)是一個生機勃勃的科學(xué)，有無數(shù)未解決的問題，有許多形形色色的未開墾的處女地，等待有想象力、有創(chuàng)新精神和堅忍不拔毅力的學(xué)者去征服！第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六六.數(shù)學(xué)家介紹（華羅庚、陳省身）1.華羅庚（1910---1985）-------《初中文憑，獨步中華》第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六華羅庚，1910年11月12日出生于江蘇金壇縣。父親以開雜貨鋪為生。他幼時愛動腦筋，因思考問題過于專心常被同伴們戲稱為“羅呆子”。他進入金壇縣立初中后，其數(shù)學(xué)才能被老師王維克發(fā)現(xiàn)，并盡心盡力予以培養(yǎng)。初中畢業(yè)后，華羅庚曾入上海中華職業(yè)學(xué)校就讀，因拿不出學(xué)費而中途退學(xué)，故一生只有初中畢業(yè)文憑。此后，他開始頑強自學(xué)，每天達10個小時以上。他用5年時間學(xué)完了高中和大學(xué)低年級的全部數(shù)學(xué)課程。1928年，他不幸染上傷寒病，雖挽回性命，卻落下左腿殘疾。20歲時，他以一篇論文轟動數(shù)學(xué)界，被清華大學(xué)（算學(xué)系主任熊慶來）破例于1931年請去任數(shù)學(xué)系助理員。第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六

從1931年起，華在清華大學(xué)邊工作邊學(xué)習(xí)，用一年半時間學(xué)完了數(shù)學(xué)系全部課程。他自學(xué)了英、法、德文，在國外雜志上發(fā)表了3篇論文后，被破格任用為助教。1936年夏，華羅庚被保送到英國劍橋大學(xué)進修，與著名數(shù)學(xué)家相互切磋，兩年中發(fā)表了10多篇論文，引起國際數(shù)學(xué)界贊賞。1938年，在抗日的烽火中，華毅然回國，在西南聯(lián)大任教。在昆明郊外一間牛棚似的小閣樓里，他艱難地寫出名著《堆壘素數(shù)論》。1946年3月，他應(yīng)邀訪問蘇聯(lián)，回國后不顧反動當局的限制，在昆明為青年作“訪蘇三月記”的報告。1946年9月，華羅庚應(yīng)紐約普林斯頓大學(xué)邀請去美國講學(xué)，并于1948年被美國伊利諾依大學(xué)聘為終身教授。第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六1949年10月1日中華人民共和國成立，華羅庚毅然放棄伊力諾依大學(xué)的優(yōu)裕生活攜全家返回祖國。在歸國途中發(fā)表了《致中國全體留美學(xué)生的公開信》，他在信中深情地說：“梁園雖好，非久居之鄉(xiāng)，歸去來兮！”1950年3月，他到達北京，隨后擔任了清華大學(xué)數(shù)學(xué)系主任、中科院數(shù)學(xué)所所長等職。50年代，他在百花齊放、百家爭鳴的學(xué)術(shù)空氣下著述頗豐，還發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)了王元、陳景潤等數(shù)學(xué)人才。1956年，他著手籌建中科院計算數(shù)學(xué)研究所。1958年，他擔任中國科技大學(xué)副校長兼數(shù)學(xué)系主任。從1960年起，華羅庚開始在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中推廣統(tǒng)籌法和優(yōu)選法，足跡遍及27個省自治區(qū)直轄市，創(chuàng)造了巨大的物質(zhì)財富和經(jīng)濟效益。1978年3月，他被任命為中科院副院長并于翌年入黨。第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六晚年的華羅庚不顧年老體衰，仍然奔波在建設(shè)第一線。他還多次應(yīng)邀赴歐美及香港地區(qū)講學(xué)，先后被法國南錫大學(xué)、美國伊利諾依大學(xué)、香港中文大學(xué)授予榮譽博士學(xué)位，還于1984年以全票當選為美國科學(xué)院外籍院士。1985年6月12日，他在日本東京作學(xué)術(shù)報告時，因心臟病突發(fā)不幸逝世，享年74歲。華羅庚初中學(xué)歷，自學(xué)成才，經(jīng)過艱苦的努力成為國際公認的世界級大數(shù)學(xué)家，在他研究的數(shù)論、代數(shù)、矩陣幾何學(xué)、多復(fù)變函數(shù)論、調(diào)和分析與應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域中，都有以他的名字命名的定理與方法。華羅庚為中國和世界的數(shù)學(xué)事業(yè)作出了巨大貢獻。第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六華羅庚的名言---聰明在于學(xué)習(xí)，天才在于積累。---埋頭苦干是第一，熟練生出百巧來，勤能補拙是良訓(xùn)，一份辛勤一份才。---人做了書的奴隸，便把活人帶死了。把書作為人的工具，則書本上的知識便活了，有生命了。第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六2.陳省身（1911-2004）第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六1911年10月26日生于浙江嘉興．少年時就喜愛數(shù)學(xué)，覺得數(shù)學(xué)既有趣又較容易，并且喜歡獨立思考，自主發(fā)展，常?！白约褐鲃尤タ磿皇抢蠋熤付ㄊ裁磪⒖紩湃タ础保?927年進入南開大學(xué)數(shù)學(xué)系，該系的姜立夫教授對陳省身影響很大．在南開大學(xué)學(xué)習(xí)期間，他還為姜立夫當助教．1930年畢業(yè)于南開大學(xué)，1931年考入清華大學(xué)研究院，成為中國國內(nèi)最早的數(shù)學(xué)研究生之一．在孫光遠博士指導(dǎo)下，發(fā)表了第—篇研究論文，內(nèi)容是關(guān)于射影微分幾何的．1932年4月應(yīng)邀來華講學(xué)的漢堡大學(xué)教授布拉?？藢﹃愂∩碛绊懸膊恍。顾_定了以微分幾何為以后的研究方向．1934年，他畢業(yè)于清華大學(xué)研究院，同年，得到漢堡大學(xué)的獎學(xué)金，赴布拉?？怂诘臐h堡大學(xué)數(shù)學(xué)系留學(xué)．在布拉希克研究室他完成了博士論文，研究的是嘉當方法在微分幾何中的應(yīng)用．第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六1936年獲得博士學(xué)位．從漢堡大學(xué)畢業(yè)之后，他來到巴黎．1936年至1937年間在法國幾何學(xué)大師E·嘉當那里從事研究．E·嘉當每兩個星期約陳省身去他家里談一次，每次一小時．“聽君一席話，勝讀十年書．”大師面對面的指導(dǎo)，使陳省身學(xué)到了老師的數(shù)學(xué)語言及思維方式，終身受益．陳省身數(shù)十年后回憶這段緊張而愉快的時光時說，“年輕人做學(xué)問應(yīng)該去找這方面最好的人”．陳省身先后擔任我國西南聯(lián)大教授，美國普林斯頓高等研究所研究員，芝加哥大學(xué)、伯克利加州大學(xué)終身教授等，是美國國家數(shù)學(xué)研究所、南開大學(xué)數(shù)學(xué)研究所的創(chuàng)始所長．陳省身的數(shù)學(xué)工作范圍極廣，包括微分幾何、拓撲學(xué)、微分方程、代數(shù)、幾何、李群和幾何學(xué)等多方面．第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六他是創(chuàng)立現(xiàn)代微分幾何學(xué)的大師．早在40年代，他結(jié)合微分幾何與拓撲學(xué)的方法，完成了黎曼流形的高斯—博內(nèi)一般形式和埃爾米特流形的示性類論．他首次應(yīng)用纖維叢概念于微分幾何的研究，引進了后來通稱的陳氏示性類（簡稱陳類）．為大范圍微分幾何提供了不可缺少的工具．他引進的一些概念、方法和工具，已遠遠超過微分幾何與拓撲學(xué)的范圍，成為整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要組成部分。陳省身還是一位杰出的教育家，他培養(yǎng)了大批優(yōu)秀的博士生．他本人也獲得了許多榮譽和獎勵，例如1975年獲美國總統(tǒng)頒發(fā)的美國國家科學(xué)獎，1983年獲美國數(shù)學(xué)會“全體成就”靳蒂爾獎，1984年獲沃爾夫獎．中國數(shù)學(xué)會在1985年通過決議．設(shè)立陳省身數(shù)學(xué)獎．被國際數(shù)學(xué)界尊為“微分幾何之父”．韋伊曾說，“我相信未來的微分幾何學(xué)史一定會認為他是嘉當?shù)睦^承人”。第23頁，共25頁，2023年，2月20日，星期六菲爾茲獎（1983年）得主、華人數(shù)學(xué)家丘成桐這樣評價他的老師：“陳省身是世界上領(lǐng)先的數(shù)學(xué)家……沒有什么障礙可以阻止一個中國人成為世界級的數(shù)學(xué)家．”

2004年11月2日，經(jīng)國際天文學(xué)聯(lián)合會下屬的小天