例談初中數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng) 論文

例談初中數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)摘要：數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的重要學(xué)科。新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)使用數(shù)學(xué)符號和圖形來描述現(xiàn)實(shí)世界的過程，建立數(shù)字和符號的初步感覺，發(fā)展抽象思維?！北疚耐ㄟ^對滬科版數(shù)學(xué)七年級下冊平行線相關(guān)知識的研究，來談初中數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)。 關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)，抽象思維，平行線

引言：作為一門具有較強(qiáng)抽象性的基礎(chǔ)學(xué)科，邏輯性和嚴(yán)密性是分析數(shù)學(xué)問題的重要要求，如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力更是現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育工作者急需解決的問題。在增強(qiáng)學(xué)生基礎(chǔ)邏輯分析能力的方面初中數(shù)學(xué)起到十分重要的作用，在教學(xué)過程中，教師要采用科學(xué)方式，以達(dá)到提升學(xué)習(xí)者思維能力的效果。從本質(zhì)上來看，初中數(shù)學(xué)能夠幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下對數(shù)學(xué)思維成果進(jìn)行分析、思考和總結(jié)，從而達(dá)到思維能力的提升。教師在開展教學(xué)任務(wù)時(shí)，要對學(xué)生的基本特點(diǎn)有明確了解，從而將數(shù)學(xué)思維能力貫徹到實(shí)際教學(xué)中。促進(jìn)學(xué)生全面、協(xié)調(diào)、可持續(xù)的發(fā)展是現(xiàn)階段數(shù)學(xué)義務(wù)教育課程在新課標(biāo)下的出發(fā)點(diǎn)。一、經(jīng)典例題 如圖1，已知AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB與CD之間，連接AE，CE，試說明∠AEC＝∠A+∠C．圖1此題添加輔助線，利用平行線的性質(zhì)，可以很快證明出結(jié)論。這個(gè)基本圖形是后續(xù)做題的基礎(chǔ)，遇到復(fù)雜題目時(shí)，需能看出基本圖形，抽象出問題本質(zhì)。這個(gè)基本結(jié)論需要學(xué)生掌握。證明：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠A＝∠AEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵AB∥CD（已知）

∵EF∥AB（輔助線作法）

∴CD∥EF（平行于同一直線的兩條直線平行），∴∠CEF＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF

∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代換）二、例題變式 1.變式1

1-1如圖2所示，AD∥BC，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β。當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由。圖2圖2中的基本圖形是很明顯的，直接用結(jié)論可以得到∠CPD＝∠α+∠β具體過程如下：

過P作PE∥AD交CD于E

∵AD∥BC

∴AD∥PE∥BC

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE

∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β 1-2已知直線a∥b，點(diǎn)A和點(diǎn)B是直線a上的點(diǎn)，點(diǎn)C和點(diǎn)D是直線b上的點(diǎn)，連接AD，BC，設(shè)直線AD和BC交于點(diǎn)E．圖3 圖4 （1）在如圖3所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度數(shù)。 （2）在如圖4所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF與DF交于點(diǎn)F，當(dāng)∠ABC＝64°，∠ADC＝72°時(shí)，求∠BFD的度數(shù)。圖3中的基本圖形相對來說比較容易找出來，對于圖4這個(gè)線條較多、比較復(fù)雜的圖形，需要學(xué)生具備化繁為簡的能力，拋掉無用的線條，抽象出所需的簡單基本圖形。圖3中的基本圖形如下：由此可以看出∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°具體過程如下：過點(diǎn)E作EG∥AB，∵a∥b

∴EG∥CD

∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG，

∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED∵AD⊥BC

∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°同理，圖4中的基本圖形如下：由此可以得出：∠BFD＝∠ABF+∠CDF

具體過程如下：

過點(diǎn)F作FH∥AB，

∵a∥b

∴FH∥CD

∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，

∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH

∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°∴∠ABF＝ABC＝32°，∠CDF＝ADC＝36°∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68° 2.變式2

2-1已知點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F在直線CD上，AB∥CD。如圖5，若∠EGF＝160°，射線EH，F(xiàn)H分別在∠AEG，∠CFG的內(nèi)部，且∠EHF＝40°，當(dāng)∠AEG＝4∠AEH時(shí)，求的GFH值。CFG圖5此題較變式1有些復(fù)雜，包含兩部分基本圖形，左邊部分和右邊部分。需要運(yùn)用兩次基本結(jié)論。學(xué)生做題時(shí)往往少看一部分基本圖形，導(dǎo)致思路受阻，不易做出。圖5中基本圖形如下：具體過程如下：

過點(diǎn)G，H作GK∥AB，HL∥AB

∵AB∥CD

∴GK∥CD，HL∥CD

∴∠AEH＝∠EHL．∠CFH＝∠LHF．∠AEG＝∠EGK．∠CFG＝∠FGK∵∠EGF＝∠EGK+∠FGK＝160°，∠EHF＝∠EHL+∠LHF＝40°∴∠EGF＝4（∠EHL+∠LHF）

∴∠EGK+∠FGK＝∠AEG+∠CFG＝4（∠AEH+∠HFC）

∵∠AEG＝4∠AEH

∴∠CFG＝4∠HFC∴GFH3CFG42-2如圖6所示，直線CD∥EF，點(diǎn)A、B分別在直線CD、直線EF上，P為兩平行線間一點(diǎn)，AP1、BP1分別平分∠DAP、∠FBP，∠P與∠P1存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？圖6此題同樣要注意到有兩個(gè)基本圖形，兩個(gè)基本圖形都是在同一側(cè)。這種情況中角存在包含關(guān)系，在運(yùn)用結(jié)論的時(shí)候，學(xué)生思維容易混亂。這就要求學(xué)生具備較高的抽象能力，準(zhǔn)確找到基本圖形中的角以解決問題。圖6中基本圖形如下：具體過程如下：

猜想∠P＝2∠P1

由基本結(jié)論可知∠P＝∠DAP+∠FBP，∠P1＝∠DAP1+∠FBP1∵∠DAP＝2∠DAP1，∠FBP＝2∠FBP1

∴∠P＝2∠P1

故答案為：∠P＝2∠P1

三、歸納總結(jié)對于本文平行線章節(jié)內(nèi)容引申出來的基本圖形有兩大類：一類是所給圖形中只涉及一個(gè)基本圖形，運(yùn)用一次結(jié)論。此類題只要找到準(zhǔn)確找到基本圖形，解題相對簡單；另一類是所給圖形中包含兩個(gè)及以上基本圖形（本文未涉及），這類題又細(xì)分兩類：一類是基本圖形在同側(cè)，角之間沒有包含關(guān)系，相對簡單；另一種是基本圖形在同側(cè)，角與角之間有包含關(guān)系，這種情況下，學(xué)生思維出現(xiàn)混亂，找錯(cuò)基本圖形種的角。學(xué)生需要具備較高的抽象思維能力，思考問題時(shí)要能夠做到拋繁去簡，回歸問題本源。教學(xué)中，教育工作者要積極培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立自主完成學(xué)習(xí)任務(wù)，以達(dá)到鍛煉學(xué)生思維品質(zhì)的目的。實(shí)際教學(xué)中，教師可以從以下幾個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生抽象思維：結(jié)合圖形幫助學(xué)生建立抽象思維；結(jié)合技巧