系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性分析1第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六穩(wěn)定性判別方法線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性：代數(shù)判據(jù)（勞斯判據(jù)、赫爾維茨判據(jù)）；奈奎斯特判據(jù)；對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)等。非線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性：描述函數(shù)法(要求系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波性能)；相平面法(僅適合于一階、二階非線性系統(tǒng))?，F(xiàn)代控制理論中：各類系統(tǒng)（包括單變量、多變量、線性、非線性、定常、時變系統(tǒng)）的穩(wěn)定性：李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。經(jīng)典控制理論中：2第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六李雅普諾夫穩(wěn)定性理論李雅普諾夫穩(wěn)定性理論提出了判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的兩種方法：1、間接法：利用線性系統(tǒng)微分方程的解來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又稱李雅普諾夫第一法；2、直接法：構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)并根據(jù)其性質(zhì)來直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又稱李雅普諾夫第二法。它特別適用于那些難以求解的非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)。3第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義4.2李雅普諾夫第一法4.3李雅普諾夫第二法4.4線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義

一.BIBO穩(wěn)定性的概念李雅普諾夫穩(wěn)定性的物理意義就是系統(tǒng)響應(yīng)是否有界。對于一個初始條件為零的系統(tǒng)，如果在有界輸入u(t)作用下，系統(tǒng)的輸出y(t)是有界的，則此系統(tǒng)稱為外部穩(wěn)定，即有界輸入-有界輸出穩(wěn)定(BIBO–BoundaryInputBoundaryOutput穩(wěn)定)。5第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六狀態(tài)，記為xe。平衡狀態(tài)滿足。對于線性定常系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)xe應(yīng)滿足代數(shù)方程。二、平衡狀態(tài)李雅普諾夫穩(wěn)定性均是相對于平衡狀態(tài)而言。1、平衡狀態(tài)的定義設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：若對所有t，狀態(tài)x滿足態(tài)在狀態(tài)空間中所確定的點，稱為平衡點。，則稱該狀態(tài)x為平衡由平衡狀2、平衡狀態(tài)的求法當(dāng)A為非奇異矩陣時，系統(tǒng)存在惟一的一個平衡狀態(tài)xe=0。而當(dāng)A為奇異矩陣時，則系統(tǒng)將有無限多個平衡狀態(tài)。6第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六非線性系統(tǒng)方程的解可能有多個。該系統(tǒng)存在三個平衡狀態(tài)：由于任意一個已知的平衡狀態(tài)，總可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換將其移到狀態(tài)空間的坐標(biāo)原點xe=0處，故為討論方便又不失一般性，我們今后只討論在坐標(biāo)原點處的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性分析。7第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六在n維狀態(tài)空間中，向量x的長度稱為向量x的(歐幾里德)范數(shù)，用表示，則長度稱為向量x與xe的距離，寫為：三．范數(shù)的概念范數(shù)的定義向量的距離8第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六若能使系統(tǒng)從任意初態(tài)x0出發(fā)的解在t>t0的過程中，都位于以xe為球心、任意規(guī)定的實數(shù)ε為半徑的閉球域S(ε)內(nèi)，即四、李雅普諾夫穩(wěn)定性定義1、李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義：對于系統(tǒng)，設(shè)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)xe為球心、δ為半徑的閉球域S(δ)內(nèi)，即則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。9第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六幾何意義按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當(dāng)系統(tǒng)作不衰減的振蕩運(yùn)動，將在平面描繪出一條封閉曲線，但只要不超出S(ε)，則認(rèn)為是穩(wěn)定的，這與經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義有差異。10第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六2、漸近穩(wěn)定性則稱平衡狀態(tài)xe是李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的。這時，從S(δ)出發(fā)的狀態(tài)軌線不僅不會超出S(ε)，且當(dāng)t→∞時最終收斂于xe，可見經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性定義與漸近穩(wěn)定性對應(yīng)。定義：如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe不僅有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，且對于任意小量μ>0，總有11第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六幾何意義12第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六定義：當(dāng)初始狀態(tài)擴(kuò)展到整個狀態(tài)空間，且平衡狀態(tài)xe均具有漸近穩(wěn)定性，稱這種平衡狀態(tài)xe是大范圍漸近穩(wěn)定的。此時，δ→∞，S(δ)→∞。當(dāng)t→∞時，由狀態(tài)空間中任意一點出發(fā)的軌跡都收斂于xe。3、大范圍漸近穩(wěn)定性對于線性系統(tǒng)來說，如果平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則必然也是大范圍漸近穩(wěn)定的。對于非線性系統(tǒng)，使xe為漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)的球域S(δ)一般是不大的，常稱這種平衡狀態(tài)為小范圍漸近穩(wěn)定。13第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六大范圍穩(wěn)定局部穩(wěn)定幾何意義14第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六定義：如果對于某個實數(shù)ε>0和任一實數(shù)δ>0，不管這兩個實數(shù)多么小，在S(δ)內(nèi)總存在一個狀態(tài)x0，使得由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出S(ε)，則稱平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。4、不穩(wěn)定性幾何意義15第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六對于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的軌跡，雖然超出了S(ε)，但并不意味著軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處。例如以下物理系統(tǒng)比喻不穩(wěn)定，軌跡趨于S(ε)以外的平衡點。當(dāng)然，對于線性系統(tǒng)，從不穩(wěn)定平衡狀態(tài)出發(fā)的軌跡，理論上趨于無窮遠(yuǎn)。16第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六如果有界，則稱xe穩(wěn)定；如果不僅有界，而且當(dāng)t→∞時收斂于原點，則稱xe漸近穩(wěn)定；如果無界，則稱xe不穩(wěn)定；17第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六4.2李雅普諾夫第一法

一．線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性判定（1）平衡狀態(tài)xe是漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實部；（2）平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣A存在特征值具有正實部；（3）當(dāng)系統(tǒng)用傳遞函數(shù)描述時，系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為G(s)的極點具有負(fù)實部。定理線性定常系統(tǒng)18第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六例設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：試分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)xe=0的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的特征方程為A陣的特征值為+1，-1。故系統(tǒng)平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)極點位于s左半平面，故系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。19第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六BIBO穩(wěn)定漸近穩(wěn)定結(jié)論：1.線性定常系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，則其必是BIBO穩(wěn)定的；2.線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，則不能保證系統(tǒng)一定是漸近穩(wěn)定的；3.如果線性定常系統(tǒng)既能控又能觀測，則其內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性是等價。BIBO穩(wěn)定漸近穩(wěn)定20第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六二．非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定對于非線性系統(tǒng)，設(shè)xe為其平衡點。對于可以線性化的非線性系統(tǒng)，可以在一定條件下用它的線性化模型來研究。系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe附近的穩(wěn)定性，可將非線性向量函數(shù)在xe附近做泰勒級數(shù)展開，得21第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六(1)A的所有特征值均具有負(fù)實部，則平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的；(2)A的特征值至少有一個具有正實部，則平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。(3)A的特征值至少有一個實部為0，則不能根據(jù)A來判平衡狀態(tài)xe的穩(wěn)定性。李雅普諾夫給出以下結(jié)論：22第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六例4.2已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，試分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)有2個平衡狀態(tài)：xe1=[0,0]和xe2=[1,1]在xe1=[0,0]處線性化，A1陣的特征值為+1，-1。故系統(tǒng)在xe1處是不穩(wěn)定的。在xe2=[1,1]處線性化，A2陣的特征值為+j、-j，其實部為0,不能根據(jù)A來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。23第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六李雅普諾夫第二法是通過構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V(x)來直接判斷運(yùn)動穩(wěn)定性的一種定性方法。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)中的振動現(xiàn)象，若系統(tǒng)能量隨時間推移而衰減，系統(tǒng)遲早會達(dá)到平衡狀態(tài)。李雅普諾夫提出，虛構(gòu)一個能量函數(shù)，稱為李雅普諾夫函數(shù)，記為V(x,t)或V(x)。李雅普諾夫第二法利用V(x)和的符號特征，直接對平衡狀態(tài)穩(wěn)定性作出判斷，無需求解系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，故稱直接法。4.3李雅普諾夫第二法24第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六直接法解決了一些其它穩(wěn)定性判據(jù)難以解決的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，但遺憾的是對一般非線性系統(tǒng)仍未找到構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V(x)的通用方法。盡管如此目前它仍然是研究系統(tǒng)(包括時變、非線性)穩(wěn)定性的有力工具。對于線性系統(tǒng)，通常用二次型函數(shù)V(x)=xTPx作為李雅普諾夫函數(shù)。25第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六1、二次型函數(shù)的定義及其表達(dá)式①定義：設(shè)為n個變量，二次型標(biāo)量函數(shù)為其中，，則稱P為實對稱陣。一．預(yù)備知識26第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六例如：顯然，二次型V(x)完全由矩陣P確定。因此二次型和它的矩陣是相互唯一決定的。②二次型的標(biāo)準(zhǔn)型只含有平方項的二次型。27第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六2、標(biāo)量函數(shù)V(x)的符號和性質(zhì)設(shè)：，且V(0)=0。對于任何非零向量x①V(x)>0，稱V(x)為正定的。例如：②V(x)<0，稱V(x)為負(fù)定的。例如：③V(x)≥0，稱V(x)為半正定的。例如：④V(x)≤0，稱V(x)為半負(fù)定的。例如：⑤V(x)>0或V(x)<0，稱V(x)為不定的。例如：28第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)實對稱矩陣二次型函數(shù)V(x)=xTPx為正定的充要條件是，P陣的所有各階主子行列式均大于零，即：即:3、賽爾維斯特(Sylvester)準(zhǔn)則29第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六③、如果當(dāng)，有。二、李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)定理1、系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別定理1定理1設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:，其狀態(tài)平衡點xe=0，滿足。如果存在一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)，且滿足以下條件①、V(x,t)是正定的；②、是負(fù)定的；則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。30第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六而且，當(dāng)時，有，所以系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。解：平衡狀態(tài)例4.5非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。是負(fù)定的，因此V(x)是一個李雅普諾夫函數(shù)。xe=0(即x1=0，x2=0)選取正定標(biāo)量函數(shù)則31第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六③、在時不恒等于零，則在系統(tǒng)原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。定理2設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:，其狀態(tài)平衡點xe=0，滿足。如果存在一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)，且滿足以下條件①、V(x,t)是正定的；②、是負(fù)半定的；2、系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別定理2而且，當(dāng)時，有，則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。32第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六定理的運(yùn)動分析：以二維空間為例33第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六例4.6非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：平衡狀態(tài)xe=0(即x1=0，x2=0)③進(jìn)一步分析的定號性：如果假設(shè)，必然要求，進(jìn)一步要求。但從狀態(tài)方程可知，必滿足表明只可能在原點處恒等于零。漸近穩(wěn)定。①選取正定標(biāo)量函數(shù)則或時，，負(fù)半定。而且，當(dāng)時，有，所以系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。②當(dāng)34第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六若在該例中①選取正定標(biāo)量函數(shù)為負(fù)定②則由以上分析看出，選取不同的V(x)，可能使問題分析采用不同的判別定理。而且，當(dāng)時，有，所以系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。35第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六①、V(x,t)是正定的；②、是負(fù)半定的，且時，。則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的。這時系統(tǒng)可保持在一個穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)上。3、系統(tǒng)李氏穩(wěn)定的判別定理定理3設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:，其狀態(tài)平衡點xe=0，滿足。如果存在一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)，且滿足以下條件36第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六例4.7非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。①選取正定標(biāo)量函數(shù)為由上式可見，，則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的。解：平衡狀態(tài)xe=0(即x1=0，x2=0)②則37第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。4、系統(tǒng)不穩(wěn)定的判別定理定理4設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:，其狀態(tài)平衡點xe=0，滿足。如果存在一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)，且滿足以下條件①、V(x,t)是正定的；②、是正定的；38第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六選取正定標(biāo)量函數(shù)為，則例4.8非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)不穩(wěn)定。解：平衡狀態(tài)xe=0(即x1=0，x2=0)39第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六四個定理的區(qū)別，主要集中在對于定號性判別上，可以簡述為以下過程：定理1：且()可知系統(tǒng)構(gòu)造V函數(shù)充分條件穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定不穩(wěn)定李氏穩(wěn)定漸近穩(wěn)定定理2：定理3：定理4：40第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六在定理的應(yīng)用中，要注意以下幾點：(1)構(gòu)造一個合理的李雅普諾夫函數(shù)，是李氏第二法的關(guān)鍵。李氏函數(shù)具有幾個突出性質(zhì)：1)李雅普諾夫函數(shù)是一個標(biāo)量函數(shù)。2)李雅普諾夫函數(shù)是一個正定函數(shù)，至少在原點的鄰域是如此。3)對于給定系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)不是唯一