線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析

線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析第1頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六狀態(tài)空間描述不僅適合于線(xiàn)性系統(tǒng)，也適應(yīng)于時(shí)變系統(tǒng)、非線(xiàn)性系統(tǒng)和隨機(jī)控制系統(tǒng)。從這個(gè)意義上來(lái)講，狀態(tài)空間描述是對(duì)系統(tǒng)的一種完全描述。

8.1.1基本概念1.分析圖8-1，能夠描述小車(chē)行走狀態(tài)的的變量有；、、，以及a(t)和t，其中t是隱變量，

a(t)與F(t)、v(t)線(xiàn)性相關(guān)。。

如果已知外力F(t)

、x(t)和v(t)，則可以計(jì)算出任意t≥t0時(shí)刻系統(tǒng)未來(lái)的狀態(tài)x(t)和v(t)。單輸入單輸出模型，一次只能看到一個(gè)兩維平面的變化，不能同時(shí)觀察到所有平面內(nèi)的變化。第2頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六狀態(tài)：時(shí)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)信息的集合，包括過(guò)去的（是現(xiàn)在的“因”）、現(xiàn)在的（是過(guò)去的“果”；將來(lái)的“因”）和將來(lái)的（“果”）。狀態(tài)變量：獨(dú)立、完全確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組數(shù)目最小的變量稱(chēng)為狀態(tài)變量。獨(dú)立——線(xiàn)性無(wú)關(guān)；完全確定——給定t時(shí)刻的變量組和系統(tǒng)在t≥t0時(shí)間內(nèi)的輸入函數(shù)，則系統(tǒng)在t≥t0的任意時(shí)刻的狀態(tài)就可完全確定。數(shù)目最小——如果狀態(tài)變量數(shù)目大于該值，則必有不獨(dú)立的變量；小于該值，又不足以描述系統(tǒng)的狀態(tài)。狀態(tài)向量：由狀態(tài)變量組成的矢量。小車(chē)系統(tǒng)中，狀態(tài)向量為

狀態(tài)或連續(xù)或離散，但因果關(guān)系是能量傳遞鏈，可顯可隱卻不會(huì)間斷——“離散”。2.基本術(shù)語(yǔ)解釋第3頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六狀態(tài)空間：由n個(gè)狀態(tài)變量xi(t),(i=1,2,…,n)為坐標(biāo)軸所張成的n維空間。狀態(tài)向量X(ti)為某一時(shí)刻狀態(tài)空間中的一個(gè)點(diǎn)，X(t)隨時(shí)間推移在狀態(tài)空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡，稱(chēng)為狀態(tài)軌跡。狀態(tài)空間可以是希爾伯特空間的子空間或特例。狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)向量與輸入向量之間關(guān)系的一階微分方程或差分方程。輸出方程：動(dòng)態(tài)方程：線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的一般形式希爾伯特空間是有限維歐幾里得空間向無(wú)窮維的推廣（H∞），也是巴拿赫空間(Banachspace)的特例。歐幾里得空間、序列空間、勒貝斯格空間、Sobolev空間都是希爾伯特空間的特例。都在時(shí)域下張成，未能突破時(shí)間。第4頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)A、B

、G、H、C、D為常系數(shù)矩陣，G、H形式同A、B。第5頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六圖中，I為（n×n）單位矩陣，s是拉普拉斯算子，z為單位延時(shí)算子。例8-1

試確定圖8-4(a)，(b)所示電路的獨(dú)立狀態(tài)變量。圖中分別是輸入電壓和輸入電流，為輸出電壓，為電容器電壓或電感器電流。(a)(b)圖8-4(a)只有一個(gè)變量是獨(dú)立的，狀態(tài)變量只能任選其中一個(gè)。實(shí)際上，三個(gè)串并聯(lián)的電容可以等效為一個(gè)電容。圖8-4(b)，因此兩者相關(guān)，電路只有兩個(gè)變量是獨(dú)立的，即和或和，可以任用其中一組作為狀態(tài)變量。反映內(nèi)部能量變化第6頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六8.1.2動(dòng)態(tài)方程與傳遞函數(shù)的關(guān)系設(shè)初始條件為零，對(duì)線(xiàn)性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行拉氏變換系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣（簡(jiǎn)稱(chēng)傳遞矩陣）定義為線(xiàn)性定常系統(tǒng)￡：×第7頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例8-2

已知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。解：已知故第8頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六8.1.3線(xiàn)性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立8.1.3.1根據(jù)系統(tǒng)物理模型建立動(dòng)態(tài)方程例8-3

試列寫(xiě)圖示RLC電路方程，選擇幾組狀態(tài)變量建立相應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程，并就所選狀態(tài)變量間的關(guān)系進(jìn)行討論。第9頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：有明確物理意義的常用變量主要有：電流、電阻器電壓、電容器的電壓與電荷、電感器的電壓與磁通。根據(jù)回路電壓定律

（1）設(shè)，則狀態(tài)方程為Abc真正的內(nèi)部變量是i第10頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（3）設(shè)，其中無(wú)明確的物理意義，但也可以推出一組動(dòng)態(tài)方程。

結(jié)論：對(duì)同一系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇不具有唯一性，動(dòng)態(tài)方程也不是惟一的。一般選擇儲(chǔ)能器件上的量做為狀態(tài)變量。例8-4試列寫(xiě)圖示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。

（2）設(shè)初速度≠0第11頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例8-5

試列寫(xiě)電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的狀態(tài)空間表達(dá)式。電樞回路微分方程機(jī)械旋轉(zhuǎn)部分的微分方程電磁感應(yīng)公式+單輸入單輸出變?yōu)閱屋斎肴敵?，即增加了?duì)速度和加速度的測(cè)量點(diǎn)。第12頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)則若則,且二階↓三階

結(jié)論：同一系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的維數(shù)、變量、系數(shù)矩陣都不唯一。返第13頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

8.1.3.3由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立動(dòng)態(tài)方程(P.304)

——從SISOS推出的結(jié)論適合MIMOS1.實(shí)現(xiàn)問(wèn)題提出：傳遞函數(shù)→動(dòng)態(tài)方程不唯一。凡能復(fù)現(xiàn)同一傳遞函數(shù)的動(dòng)態(tài)方程稱(chēng)為可實(shí)現(xiàn)模型，其物理實(shí)現(xiàn)也是系統(tǒng)的真實(shí)構(gòu)造。結(jié)論：可以證明系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)的條件是：傳遞函數(shù)必須是真的或者嚴(yán)格真的，即系統(tǒng)分母階數(shù)不小于分子階數(shù)(n≥m)。否則，自動(dòng)態(tài)方程返還的傳遞函數(shù)可能不再是原有的結(jié)構(gòu)，因?yàn)樵到y(tǒng)存在能量自激。第14頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六￡-1零初值最小實(shí)現(xiàn)：2.能控標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)則若n=m，則為非最小實(shí)現(xiàn)。第15頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)x及各階導(dǎo)數(shù)均為儲(chǔ)能元件輸出，則令第16頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.能觀標(biāo)準(zhǔn)型一般地則首一對(duì)偶系統(tǒng)第17頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六前例的能觀標(biāo)準(zhǔn)型為若系統(tǒng)∑(AC，BC，CC)與∑(AO，BO，CO)存在如下關(guān)系，則稱(chēng)它們?yōu)閷?duì)偶系統(tǒng)。第18頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.對(duì)角線(xiàn)型同前例Abc推廣至一般形式求￡-1第19頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六為不相重極點(diǎn)處的留數(shù)第20頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六若G(s)含有重實(shí)極點(diǎn)其結(jié)構(gòu)圖和動(dòng)態(tài)方程為則系數(shù)矩陣如下——約當(dāng)型Y(s)=U(s)第21頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A1例8-8自習(xí)。

8.1.3.2由高階微分方程建立動(dòng)態(tài)方程例8-6已知系統(tǒng)的微分方程為，求系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的能控、觀標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)初始條件為零，則能控標(biāo)準(zhǔn)型001y=[1.510.5]避開(kāi)繁瑣推導(dǎo)第22頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六能觀標(biāo)準(zhǔn)型加例：已知系統(tǒng)微分方程為，求系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程。首一解：則001y=[1.510.5]+2u首一且最小實(shí)現(xiàn)說(shuō)明：三種標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量的物理意義不太明確，可從結(jié)構(gòu)圖或信號(hào)流圖中看到微積分關(guān)系。第23頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六8.1.3.4由差分方程和脈沖傳遞函數(shù)建立動(dòng)態(tài)方程兩端取Z變換，并整理得脈沖傳遞函數(shù)為∵∴Z-1Z-1首一最小實(shí)現(xiàn)第24頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六簡(jiǎn)記8.1.4動(dòng)態(tài)方程的非唯一性對(duì)同一系統(tǒng)，由于狀態(tài)變量選取不唯一，便有不同形式的動(dòng)態(tài)方程。這些動(dòng)態(tài)方程之間可以進(jìn)行非奇異線(xiàn)性變換。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為令則d1=d動(dòng)態(tài)方程的非唯一性+d1u+du；傳遞函數(shù)的不變性設(shè)同一系統(tǒng)（n≥m）的兩個(gè)動(dòng)態(tài)方程分別為總可以找到非奇異的PG、H、C、D標(biāo)準(zhǔn)型同連續(xù)系統(tǒng)回放投影關(guān)系第25頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六其傳遞函數(shù)分別為思路：直接求解狀態(tài)方程幾乎不可能，我們將從解的形式尋找類(lèi)推規(guī)律。和且則8.2動(dòng)態(tài)方程的響應(yīng)8.2.1線(xiàn)性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解——零輸入解u(t)=0+Bu結(jié)論：不同的動(dòng)態(tài)方程→唯一的傳遞函數(shù)；但傳遞函數(shù)→動(dòng)態(tài)方程不唯一。第26頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六根據(jù)一元一階微分方程的解∴類(lèi)推出記——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣冪級(jí)數(shù)法拉氏變換法L：￡：￡-1￡-1怎樣確定？零輸入解第27頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六8.2.3線(xiàn)性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解——u(t)≠0，x(0)≠0￡：￡-1：￡-1￡-1零輸入解零狀態(tài)解￡-1∴∵=￡-1可以證明(P.316):第28頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例8-11設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試求在作用下?tīng)顟B(tài)方程的解。解1：￡-1：￡:→①第29頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六②=￡-1=￡-1∴解2：利用信號(hào)流圖求解狀態(tài)方程。I：x(t)=1(t)，x1(0)≠0，

x2(0)≠0，則視系統(tǒng)為3I2O；O：x1(t)

，x2(t)。第30頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六以x2為輸出的前向通路以x1為輸出的前向通路第31頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六￡-18.2.4線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析第32頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六8.3線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性和能觀性8.3.1能控性和能觀性的定義穩(wěn)定性——特征方程det(sI-A)=0，即︱sI-A︱=0的所有根位于左半s平面?！?1Z-1傳遞函數(shù)矩陣與脈沖傳遞函數(shù)矩陣對(duì)比：第33頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2．能控性——輸入可以控制狀態(tài)到達(dá)狀態(tài)空間內(nèi)的任意點(diǎn)。例8-12解：與輸入u(t)和狀態(tài)變量x1均沒(méi)有關(guān)系，x2明顯不能控制。如果改寫(xiě)上式則x2可由u直接控制，而x1可通過(guò)x2由u間接控制。是否可以從狀態(tài)方程直接觀察出能控性？解：例8-13設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零第34頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六x1=x20不能從狀態(tài)方程直接觀察。定義：，如果存在無(wú)約束的分段連續(xù)控制函數(shù)u(t)

，能使系統(tǒng)從任意初態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移至任意終態(tài)x(tf)

，則稱(chēng)該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡(jiǎn)稱(chēng)是能控的。只要有一個(gè)狀態(tài)變量不能控，則稱(chēng)系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)不能控。第35頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六y(t)反映的是x1(0)

與x2(0)的差值隨時(shí)間衰變的過(guò)程，無(wú)法得到各自獨(dú)立的運(yùn)行狀況。3.能觀性——輸出可以反映狀態(tài)空間內(nèi)的任意狀態(tài)點(diǎn)。

例8-14y=x1可直接測(cè)量，而與x1無(wú)關(guān)，所以不可能從y中間接得到x2。例8-15定義：對(duì)于任意初始時(shí)刻t0，若能在有限時(shí)間t>t0之內(nèi)，根據(jù)系統(tǒng)的輸出y(t)

，唯一地確定在初始時(shí)刻的狀態(tài)x(t0)，則稱(chēng)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)能觀。只要有一個(gè)狀態(tài)變量在初始時(shí)刻t0的值不能由輸出唯一地確定，則稱(chēng)系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)不能觀。第36頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六說(shuō)明：能控性是通過(guò)u(t)控制(掌握)所有未來(lái)的狀態(tài)；能觀性是通過(guò)y(t)測(cè)量(“回憶”)過(guò)去的狀態(tài)。單從動(dòng)態(tài)方程難以確定能控性和能觀性。從動(dòng)態(tài)方程的解中也很難找出判斷規(guī)律，且求解困難。8.3.2+8.3.3能控性與能觀性判據(jù)1．秩判據(jù)第37頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六系統(tǒng)狀態(tài)完全能控不能觀。結(jié)論：能控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)必完全能控，結(jié)論可逆。附加例題：討論系統(tǒng)的能控能觀性。解；能控標(biāo)準(zhǔn)型：對(duì)角線(xiàn)型能觀標(biāo)準(zhǔn)型：第38頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀不能控。結(jié)論：能觀標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)必完全能觀，結(jié)論可逆。2．對(duì)角線(xiàn)或約當(dāng)型判據(jù)——可用秩判據(jù)，也可直觀判斷。若既不完全能控也不完全能觀。則既能控也能觀；能觀不能控；能控不能觀。第39頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六推論：1.對(duì)角線(xiàn)型系統(tǒng)狀態(tài)完全能控和/或能觀的條件是B中沒(méi)有零元素行和/或C中沒(méi)有零元素列。2.約當(dāng)型系統(tǒng)狀態(tài)完全能控和/或能觀的條件是B中與各約當(dāng)塊末行對(duì)應(yīng)的行不全為零和/或C中與各約當(dāng)塊首列對(duì)應(yīng)的列不全為零。例8-17，教材P.3213.離散系統(tǒng)能控能觀性判據(jù)加例：試判斷連續(xù)和離散系統(tǒng)的能控性和能觀性。臨界穩(wěn)定，可通過(guò)觀測(cè)器和狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置改變其穩(wěn)定性。返回第40頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六8.3.4能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系連續(xù)系統(tǒng)離散后能控能觀性將變差，且與采樣周期密切相關(guān)。能觀不能控；能控不能觀；能控能觀離散系統(tǒng)能控能觀的條件。連續(xù)系統(tǒng)既能控也能觀。第41頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六有零極對(duì)消(sI-A)-1b存在零極對(duì)消，不能控。c(sI-A)-1不存在零極對(duì)消，能觀。有零極對(duì)消c(sI-A)-1存在零極對(duì)消，能控不能觀。無(wú)零極對(duì)消，能控能觀。第42頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六結(jié)論：?jiǎn)屋斎?單輸出系統(tǒng)能控、能觀測(cè)的充要條件是：由動(dòng)態(tài)方程導(dǎo)出的傳遞函數(shù)不存在零、極點(diǎn)對(duì)消；系統(tǒng)能控的充要條件是(sI-A)-1b不存在零、極點(diǎn)對(duì)消；系統(tǒng)能觀的充要條件是c(sI-A)-1不存在零、極點(diǎn)對(duì)消；若傳遞函數(shù)有可對(duì)消的零、極點(diǎn)，在推導(dǎo)狀態(tài)方程時(shí)不應(yīng)實(shí)施對(duì)消，以免掩蓋穩(wěn)定性、能控/觀性，傳遞函數(shù)（低維空間描述）不是完全的描述。8.4狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器——用于性能改善8.4.1線(xiàn)性定常系統(tǒng)常用反饋結(jié)構(gòu)使，則狀態(tài)反饋回放第43頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六狀態(tài)反饋通過(guò)(sI-A+BK)-1改變極點(diǎn)位置，但不影響輸出；狀態(tài)是內(nèi)部變量，所以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的前提是狀態(tài)可觀測(cè)。2.輸出反饋由于C中往往有零元素，所以輸出反饋僅利用了狀態(tài)變量的線(xiàn)性組合進(jìn)行反饋，其信息量較小。一般認(rèn)為輸出所引用的狀態(tài)變量都是可測(cè)量的。8.4.2狀態(tài)反饋與極點(diǎn)配置假設(shè)狀態(tài)都可直接測(cè)量，K第44頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六極點(diǎn)配置定理：狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性但可能改變能觀性。用狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。根據(jù)︱sI-A︱=0，可按期望極點(diǎn)位置選擇K矩陣。第45頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例8-20試用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)配置在-2，-1±j1。解：設(shè)狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征方程為期望閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)特征方程為由兩特征方程同冪項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相同，可得保證穩(wěn)定性保證能控性省略判斷第46頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六8.4.3狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)極點(diǎn)配置，狀態(tài)反饋明顯優(yōu)于輸出反饋，但狀態(tài)變量并非都可直接測(cè)量；輸出量都可測(cè)量，但往往不包含所有狀態(tài)，所以輸出反饋不能任意配置系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。利用系統(tǒng)的輸出，通過(guò)狀態(tài)觀測(cè)器可重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)。觀測(cè)器包括全維狀態(tài)觀測(cè)器或降維觀測(cè)器。第47頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如果，則觀測(cè)器完全等同于原系統(tǒng)。只要det[sI-(A-HC)]=0的特征根具有負(fù)實(shí)部，則上述結(jié)論成立。顯然，特征根據(jù)虛軸越遠(yuǎn)，收斂越快。定理

系統(tǒng)可以設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器的充分必要條件是原系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)。例8-21試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，極點(diǎn)配置在(-10，-10)處。這種方法實(shí)際又叫“軟測(cè)量”，例如無(wú)速度傳感器電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)，完全由軟件實(shí)現(xiàn)速度觀測(cè)。