引導中學生高效運用“建模思想”解決實際問題的討論 論文

引導中學生高效運用“建模思想”解決實際問題的討論摘要：中學數學在承接小學內容的基礎上進行延伸和拓展，另一方面中學數學與小學數學相比注重了分類討論，數形結合等數學思想的滲透與運用，同時，還得重視解題技巧的使用。關鍵詞：中學數學數學思想建模思想引言：那么在中學數學的學習過程中，研究、解決數學問題的思想則顯得致關重要了，于中學數學學習生活而言，數學方法與思想的高效運用，往往起到了事半功倍的效果。中學數學常見的數學模型有函數模型、不等式模型、幾何模型等。在日常教學過程中，尤其發(fā)現學生在運用建模思想解題時，往往出現選錯模型，或不會選用數學模型進行的情況，因此教師應靈活引入數學建模思想，而其中“建模思想”的高效運用對于解一系列幾何與代數問題而變得輕車熟路。一、中學數學建模思想的常見類型1．解決實際問題中＂方程、函數及不等式建模思想”的基本運用。對于中學數學而言，面對用代數解決復雜的實際問題時，我們通常會用方程、函數及不等式等建模思想來解題，學生往往能夠輕車熟路的高效解題，但忽略了構建方程與函數模型的原由，學生對于方程與函數思想的情感價值觀缺乏認識及深刻體會。于是，強化中學生建模思想的運用，及建立建全中學生對建模思想及情感認識顯得極為重要，從而指引學生利用建模思想的創(chuàng)新性思維投入到現實的實踐中。下面我將以一個具體的實際問題為突破，高效引導學生利用建模思想以解決該問題。例如：同樣規(guī)格的甲、乙兩輛小汽車加滿油后均可以行駛210km，且最遠可行駛到距離初始地最遠的位置后返回，若甲、乙兩輛汽車加滿油后剛好能從A地到達105km遠的B地，若中途甲、乙兩車停車休整，乙車將一部分油氣輸給甲車后，原路返回A地，甲車繼續(xù)向前行駛至距初始地最遠的位置后返回A地，求甲車能行駛至距離初始地最遠的距離。首先實際問題對于中學生而言，最為直接的反應是借助方程或者函數模型解題，按審題、設元、找等量關系、列方程（函數）、求解的步驟求解該問，然而于第一步而言，在探究已知量與未知量過程中，學生能通過題意已知甲、乙兩車滿油狀態(tài)下的行程210km，及返程前提下的最遠行駛距離105km，并且認識到甲車最遠行駛距離是未知的待求解量，進而深入分析認識到行程是由燃油量決定的，在這個時候在固有建模思維的影響下，學生往往不易將已知行程、滿油狀態(tài)下的最遠距離、甲車的最遠行駛距離及燃油量構建出有效的方程（函數）模型加以解決，那么解決問題的瓶頸是什么？這也是中學生日常學習中解決問題受阻的普遍癥結。學生進入死胡同的關鍵是沒有厘清燃油量與行程之間的轉換比率，因為題意完全沒有交代二者之間的轉換比率。那么，該問題的關鍵是燃油與行程之間等價的數量關系，即以燃油量間的數量關系指示甲車行車里程變化。甲車若要在乙車燃油補充的情況下要行駛至離初始地最遠的位置，乙車中途補充甲車燃油后應仍具備返航能力，且甲車能夠容納下乙車所補充的燃油，且最佳狀態(tài)是重新通過甲車補滿燃油繼續(xù)前行，而剛好耗盡燃油返回A地。則可設初始甲、乙兩車的燃油量均為L，中途耗油量為M,乙車補充甲車燃油量為N，則可知乙車滿足的燃油數量關系為：L-M-N=M,甲車滿足的燃油數量關系：L-M+N=L（甲車中途通過乙車重新補充滿燃油），可知M=N，L=3M，即當甲、乙兩車均耗總油量1時，乙車在將1的油量補滿甲車，再依靠剩余的1的油量返回A地，這333樣條件下甲車加滿油后才最大限度形式至離初始地最遠的位置。通過厘清油量的數量變化，進而等價甲車行車里程的數量變化，即甲車在原有燃油基礎上獲得了1的油量增量，其等價于行程或返程前提下行車最遠距離上的增量亦為1，即甲33車離初始地最遠的距離為：105×（1+1）=140（km）。通過該題的探討，需要3指引學生在社會實際中注重觀察事物之間的聯系，區(qū)分二者之間是否存在轉化關系，還是最為直觀的等價關系，提高數學知識的應用能力，創(chuàng)設有效問題情境。2．“建模思想”于幾何問題中的高效運用。幾何問題作為中學數學中的分量較大的板塊，有時可以借助幾何模型解決一系列數量關系的問題，我們可以在根據題意構建出來的函數模型的基礎之上，借助幾何模型直觀解題，將復雜的數量關系轉化為形象直觀的幾何模型，降低習題難度，同時學生能夠在此基礎上養(yǎng)成數形結合的轉化思維，充分體會劃歸、建模數學思想的魅力。例如：解下例方程組： x y2

y

2

y4

20

3(

(3

2 )

)

x22x3(1)上述方程組若按照消元、換元思想解題，通過變形、代入技巧運算，無疑對于中學生而言運算繁瑣復雜，不利于高效解決問題，若通過觀察，可以將部分方程式，利用等式的性質進行組合構建基本的幾何模型，將方程組中的（1）、（2）x2y22x2y30兩式相加可得：2，構建起了一個以（-1,-1）為圓心，以1為半徑的圓，而（3）表示的則可視為一直線的解析式，進而二者聯立，實則轉化為圓與直線公共點坐標的求解，表明若有實根，則圓心到直線的距離小于或等于半徑。本題通過建模思想的運用達到了高效解題的效果。二、中學數學教學活動中建模思想的靈活應用在日常的中學教學過程中，應從學生認知水平出發(fā)，教師應合理、科學設計好教學方案與教學計劃，靈活滲透建模思想，將生活中各類問題的解決嘗試引導學生運用所學知識點構建數學模型，通過舉例演示，指導學生開展自主探究學習，在模仿與嘗試中理解、認識建模思想的意義。與此同時，學生原本不成體系的、零散的數學知識點逐漸體系化、條理化，更促進了學生對于數學學科知識點上的理解，幫助學生構建完善的數學知識體系，也提高了學生對數學知識點的應用能力。于課堂之上，教師可以開設一系列開放性的數學問題，引導學生建模解決問題，例如：星期天，張老師提著籃子（籃子重0.5斤）去集市買10斤雞蛋，當張老師往籃子里裝稱好雞蛋時，發(fā)覺比過去買10斤雞蛋的個數少很多，于是他將雞蛋裝進籃子再讓攤主一起稱，共稱得10.55斤，他即刻要求攤主退1斤雞蛋的錢，他是怎樣知道攤主少稱了大約1斤雞蛋呢（精確到1斤）？對于該題而言引導學生采用建模思想解題，學生往往會出現困惑，10斤雞蛋加0.5斤的籃子應為10.5斤，而實稱重量為10.55斤，多數學生受制于以往認知、實踐生活與習題經驗，未能快速捕獲攤主稱重儀器設備的問題，未能快速儀式到臺秤會產生虛重，致使學生無法迅速解題，對于能夠意識到稱重儀器問題的學生，在稱重過程中存有缺斤少兩，但進一步受困于不知題意中隱含的數量關系，不能及時意識到實際重量與虛假稱重之間的比率。在此基礎上，可以引導學生圍繞某一具體的實際意義上的量進行探究際重量與虛假稱重之間的比率關系，學生在引導下會認識到雞蛋與籃子兩個基本的量，再結合題干問題涉及的是雞蛋稱重結果高于雞蛋的實際重量，學生分析至此也會意識到籃子同樣也會產生虛重，學生會意識到只能得通過籃子的實重與虛重探究二者之間的比率關系，即：籃子的重量是0.5斤，當買10斤雞蛋和籃子放在一起稱，正常情況應該是10.5斤，結果是10.55斤那就表示一斤的東西在攤主手里稱出來的就多0.1斤，那么10斤的東西，在攤主手里稱出來的就是11斤，所以她就知道，攤主多收了她一斤的錢，因此可通過二者的比率關系構建方程（函數）模型解題，設雞蛋的虛重為x斤，雞蛋的實重為y斤，籃子實重為0.5斤。所以可以構建一個二元一次方程模型，并結合二元一次方程的特殊解運算，y=0.5/0.55?x，當x=10時，y≈9。所以，也就是說攤主少給了近