人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第1頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日第二章 人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.1命題邏輯與謂詞邏輯2.2多值邏輯2.3概率論2.4模糊理論第2頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日AI中的邏輯可劃分為兩大類：經(jīng)典邏輯 命題邏輯和一階謂詞邏輯。 特點(diǎn)：二值非經(jīng)典邏輯 三值邏輯、多值邏輯、模糊邏輯、模態(tài)邏輯、時(shí)態(tài)邏輯等等。第3頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日非經(jīng)典邏輯與經(jīng)典邏輯平行的邏輯：多值、模糊邏輯 一些定理不成立，有新概念、新定理。對(duì)經(jīng)典邏輯的擴(kuò)充：模態(tài)、時(shí)態(tài)邏輯 一般承認(rèn)經(jīng)典邏輯的定理。一是擴(kuò)充語言；二是擴(kuò)充定理。 例如：模態(tài)邏輯增加了L(是必然的)算子和M(是可能的)算子。第4頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.1命題邏輯與謂詞邏輯2.1.1命題 定義2.1：命題是具有真假意義的語句。在命題邏輯中命題通常用大寫英文字母表示。命題邏輯無法把客觀事物的結(jié)構(gòu)及邏輯特征反映出來，也不能把不同事物間的共同特征表述出來。 例如：P＝”老李是小李的父親”。 看不出老李和小李的關(guān)系。P＝”李白是詩人”，Q＝”杜甫也是詩人”。 無法形式地表示出二者的共同特點(diǎn)（都是詩人）。P=“每個(gè)人都是要死的”。 Q=“孔子是人”。 R=“孔子是要死的”。 寫成命題形式:P∧Q→R(R是P,Q的邏輯結(jié)論?)第5頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.1.2謂詞（1）1.一個(gè)謂詞分為謂詞名與個(gè)體兩個(gè)部分。謂詞名刻畫個(gè)體的性質(zhì)、狀態(tài)或個(gè)體間的關(guān)系。個(gè)體表示獨(dú)立存在的事物或者概念。例如：Teacher(zhang)，Greater(5,3)謂詞的一般形式P(x1,x2,…,xn) 其中，P是謂詞名，x1,x2,…,xn是個(gè)體。謂詞名通常用大寫的英文字母表示，個(gè)體通常用小寫的英文字母表示。第6頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.1.2謂詞（2）2.個(gè)體可以是常量、變?cè)蛘吆瘮?shù)。例如： Less(x,5),x是一個(gè)變?cè)?Teacher(father(wang)),其中father(wang)是一個(gè)函數(shù)。3.謂詞的語義由人指定。例如： S(x)，可以表示x是一個(gè)人；也可以表示x是一朵花。第7頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.1.2謂詞（3）4.當(dāng)謂詞中的所有變?cè)加锰囟▊€(gè)體取代時(shí)，謂詞就具有一個(gè)確定的真值：T或者F。謂詞中包含的個(gè)體數(shù)目稱為謂詞的元數(shù)。例如：P(x)是一元謂詞,P(x,y)是二元謂詞,P(x1,x2,…,xn)是n元謂詞。在謂詞P(x1,x2,…,xn)中，若xi(i=1,…,n)都是個(gè)體常量、變?cè)蛘吆瘮?shù)，則稱為1階謂詞。若xi本身是一階謂詞，則P稱為2階謂詞。余者類推，…5.個(gè)體變?cè)娜≈捣秶Q為個(gè)體域。6.謂詞與函數(shù)不同。 謂詞是從個(gè)體到真值的映射。 函數(shù)是從個(gè)體到個(gè)體的映射。7.個(gè)體常量、變?cè)⒑瘮?shù)統(tǒng)稱為“項(xiàng)”。第8頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日1.連接詞 非：?；析?。骸?；合?。骸?；蘊(yùn)含：→； 等價(jià)：； 謂詞邏輯真值表2.1.3謂詞公式（1）PQ

?PP∨QP∧QP→QPQTTFTTTTTFFTFFFFTTTFTFFFTFFTT第9頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.1.3謂詞公式（2）2.量詞 全稱量詞；存在量詞例如： P(x)表示x是正數(shù)；F(x,y)表示x與y是朋友。 表示個(gè)體域中任何x都是正數(shù)。 表示對(duì)于個(gè)體域中任何x，都存在y，x與y是朋友。 表示在個(gè)體域中存在x，與個(gè)體域中任何個(gè)體y都是朋友。第10頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.1.3謂詞公式（3）3.謂詞公式定義2.2按下述規(guī)則得到的合式公式：(1) 單個(gè)謂詞是合式公式，稱為原子公式；(2) 若A是合式公式，則也是合式公式；(3) 若A，B是合式公式，則 都是合式公式；(4) 若A是合式公式，x是任一個(gè)體變?cè)?，則 都是合式公式；(5) 運(yùn)用有限步上述規(guī)則得到的公式是合式公式。 第11頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.1.3謂詞公式（4）轄域：位于量詞后面的單個(gè)謂詞或者用括弧括起來的合式公式稱為量詞的轄域。轄域內(nèi)與量詞中同名的變?cè)Q為約束變?cè)?，不受約束的變?cè)Q為自由變?cè)?例如：

更名：變?cè)Q無關(guān)緊要。注意：對(duì)量詞轄域內(nèi)的變?cè)麜r(shí)，必須把同名的約束變?cè)冀y(tǒng)一改成相同名字，且不能與轄域內(nèi)自由變?cè)?。轄域?nèi)自由變?cè)膊荒芨臑榕c約束變?cè)?例如：

第12頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.1.4謂詞公式的解釋（1）在命題邏輯中對(duì)各命題變?cè)囊淮握嬷抵概煞Q為命題公式的一個(gè)解釋。對(duì)于謂詞邏輯： 首先考慮個(gè)體常量和函數(shù)在個(gè)體域中的取值，然后為謂詞分別指派真值。由于存在多種組合情況，所以一個(gè)謂詞公式的解釋可能有多個(gè)。對(duì)每一個(gè)解釋，謂詞公式都可求出一個(gè)真值。第13頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.1.4謂詞公式的解釋（2）定義2.3設(shè)D為謂詞公式P的個(gè)體域，對(duì)P中個(gè)體常量、函數(shù)和謂詞按如下規(guī)定賦值：為每個(gè)個(gè)體常量指派D中一個(gè)元素；為每個(gè)n元函數(shù)指派一個(gè)Dn→D的映射，Dn={(x1,…,xn)|x1,…,xn∈D}為每個(gè)n元謂詞指派一個(gè)Dn→{F,T}的映射。則稱這些指派為公式P在D上的一個(gè)解釋。第14頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.1.4謂詞公式的解釋（3）例2.1設(shè)D＝{1,2}，求公式 在D上的一個(gè)解釋及在該解釋下的真值。解：在A中沒有個(gè)體常量和函數(shù)，所以直接為謂詞指派真值。設(shè)為解釋1：P(1,1)=T,P(1,2)=F,P(2,1)=T,P(2,2)=F 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1為T； 當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1為T；解釋2：P(1,1)=T,P(1,2)=T,P(2,1)=F,P(2,2)=F 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1,2為T； 當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1,2為F；因此不存在y，則A＝F第15頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.1.4謂詞公式的解釋（4）例2.2D={1,2},解：解釋： b=1,f(1)=2,f(2)=1,P(1)=F,P(2)=T,Q(1,1)=T,Q(2,1)=F,Q(*,2)不可能。當(dāng)x=1時(shí)，P(x)=F，公式真值為T；當(dāng)x=2時(shí)，P(x)=T,Q(f(x),b)=T，公式真值為T；所以在此解釋下，B＝T。真值是針對(duì)某一個(gè)解釋而言的。第16頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.1.5謂詞公式的永真性、可滿足性、不可滿足性定義2.4如果謂詞公式P對(duì)個(gè)體域D上的任何一個(gè)解釋都得真值T，則稱P在D上是永真的；如果P在每個(gè)非空個(gè)體域上均永真，則稱P永真。定義2.5對(duì)謂詞公式P，如果至少存在一個(gè)解釋使P在此解釋下的真值為T則稱公式P是可滿足的。謂詞公式的可滿足性又稱為相容性。定義2.6如果謂詞公式P對(duì)于個(gè)體域D上任何一個(gè)解釋都取得真值F，則稱P在D上是永假的；如果P在每個(gè)非空個(gè)體域上均永假，則稱P永假。謂詞公式的永假性又稱為不可滿足性或不相容性。第17頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.1.6謂詞公式的等價(jià)性與永真蘊(yùn)含定義2.7設(shè)P、Q都是D上的謂詞公式，若對(duì)D上任何一個(gè)解釋，P與Q都有相同的真值，則稱P和Q在D上等價(jià)。如果D是任意個(gè)體域，則稱P和Q是等價(jià)的，記為。定義2.8對(duì)于謂詞公式P和Q，如果P→Q永真，則稱P永真蘊(yùn)含Q，且稱Q為P的邏輯結(jié)論，P為Q的前提，記為 。第18頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日一些重要的等價(jià)式第19頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日一些重要的永真蘊(yùn)含式第20頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日推理規(guī)則 上述等價(jià)式和永真蘊(yùn)含式可以作為推理規(guī)則。除此之外，謂詞邏輯中如下一些推理規(guī)則：P規(guī)則：在推理的任何步驟都可以引入前提。T規(guī)則：推理時(shí)，如果前面步驟中有一個(gè)或者多個(gè)公式永真蘊(yùn)含公式S，則可把S引入推理過程中。CP規(guī)則：如果能從R和前提集合中推理S來，則可從前提集合推理R→S。反證法： ，當(dāng)且僅當(dāng) 。即Q為P的邏輯結(jié)論，當(dāng)且僅當(dāng) 是不可滿足的。定理2.1:Q為P1,P2,…,Pn的邏輯結(jié)論，當(dāng)且僅當(dāng) 是不可滿足的。第21頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.2多值邏輯（1）用T(A)表示命題A為真的程度。0≤T(A)≤1多值邏輯也定義了用連接詞表示的邏輯運(yùn)算。T(?A)=1-T(A)T(A∧B)=min{T(A),T(B)}T(A∨B)=max{T(A),T(B)}T(A→B)=min{1,1-T(A)+T(B)}T(AB)=1-|T(A)-T(B)|第22頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.2多值邏輯（2）其它的T(A→B)定義：Rb:T(A→B)=min{1-T(A),T(B)}Rc:T(A→B)=min{T(A),T(B)}Rp:T(A→B)=T(A)×T(B)R*:T(A→B)=1-T(A)+T(A)×T(B)Rst:T(A→B)=max{1-T(A),T(B)}……見教材P25第23頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日三值邏輯關(guān)于第三個(gè)真值：Kleene：強(qiáng)三值邏輯認(rèn)為是“不能判定”。條件成熟則非真即假。Luckasiewicz：認(rèn)為是“不確定”，即不真也不假，也許不具有真值。Bochvar：“無意義”，非真非假。為了解決語義悖論。三值邏輯真值表見教材P26。多值邏輯只是用窮舉中介的方法表示真值的過渡性，把中介看作彼此獨(dú)立、界限分明的對(duì)象，沒有反映出中介之間的相互滲透，因而不能完全解決不確定性知識(shí)的表示問題。第24頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.3概率論2.3.1隨機(jī)現(xiàn)象2.3.2樣本空間與隨機(jī)事件樣本空間： 一個(gè)可能的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為一個(gè)樣本點(diǎn)，樣本點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合稱為樣本空間。隨機(jī)事件： 要考察的由一些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為隨機(jī)事件。事件發(fā)生了：出現(xiàn)了樣本點(diǎn)集合中的一個(gè)元素。必然事件：樣本點(diǎn)全體構(gòu)成的集合(即樣本空間)所表示的事件。不可能事件：Φ基本事件：?jiǎn)吸c(diǎn)集合事件的關(guān)系包含、并、交、差、逆第25頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.3.3事件的概率（1）古典概型定義2.9設(shè)E為古典概型，樣本空間共有n個(gè)基本事件，事件A中含有m個(gè)基本事件，則稱P(A)=m/n為事件A的概率。例如：D＝{1,2,3,4,5,6,7}，A={取數(shù)字3的倍數(shù)}，B={取偶數(shù)}。解：基本事件有7個(gè)，n＝7。 對(duì)于事件A，m=2，所以P(A)=m/n=2/7 對(duì)于事件B，m=3，所以P(B)=m/n=3/7第26頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.3.3事件的概率（2）2.統(tǒng)計(jì)概率 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，一個(gè)事件(A)發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)的總次數(shù)n之比：fn(A)=m/n 在一個(gè)常數(shù)p(0≤p≤1)附近擺動(dòng)，并穩(wěn)定于p。定義2.10在同一組條件下所作的大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的頻率fn(A)總是在[0,1]上的一個(gè)確定常數(shù)p附近擺動(dòng)，并且穩(wěn)定于p，則稱p為事件A的概率。即P(A)=p第27頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.3.3事件的概率（3）3.概率的性質(zhì)0≤P(A)≤1P(D)=1,P(Φ)=0設(shè)事件A1,A2,…,Ak(k≤n)是兩兩互不相容的事件，即有Ai∩Aj=Φ(i≠j)，則P(?A)=1-P(A)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)如果 ，則P(A-B)=P(A)-P(B)第28頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.3.4條件概率（1）如果在事件B發(fā)生的條件下考慮事件A發(fā)生的概率，就稱它為事件A的條件概率，記為P(A|B)。定義2.11設(shè)A，B是兩個(gè)事件，P(B)>0,則稱 為在事件B已發(fā)生的條件下事件A的條件概率。條件概率中的條件縮小了樣本空間，即條件概率是在條件所確定的新空間中求A∩B的概率。第29頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.3.4條件概率（2）例2.6對(duì)于例2.5，求解在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率。解：事件B是已經(jīng)發(fā)生的事件，即取到2；取到4；取到6 中必有一個(gè)出現(xiàn)。由于事件A是“取3的倍數(shù)”，而在上述三個(gè)事件中只有一種可能使A發(fā)生。所以在B發(fā)生的條件下事件A的概率是1/3。第30頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.3.5全概率公式與Bayes公式（1）全概率公式定理2.2設(shè)事件A1,A2,…,An，滿足：(1)兩兩互不相容，即當(dāng)i≠j時(shí)，有Ai∩Aj=Φ；(2)P(Ai)>0(1≤i≤n)(3)則對(duì)任何事件B有下式成立：第31頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.3.5全概率公式與Bayes公式（2）2.Bayes公式定理2.3條件同定理2.2。則對(duì)任何事件B有下式成立：第32頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4模糊理論1965年由L.A.Zadeh等人提出。2.4.1模糊性隨機(jī)性：事物本身含義明確，但條件不明而不可預(yù)知。模糊性：事物本身是模糊的。例如：青年、老年；高低；2.4.2集合與特征函數(shù)定義2.12設(shè)A是論域U上的一個(gè)集合，對(duì)于任意u∈U，令 則稱CA(u)為集合A的特征函數(shù)。特征函數(shù)CA(u)在u=u0處的取值CA(u0)稱為u0對(duì)A的隸屬度。集合A與其特征函數(shù)可以認(rèn)為是等價(jià)的。A={u|CA(u)=1}第33頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.3模糊集與隸屬函數(shù)（1）確定性概念可用普通集合表示。例如“奇數(shù)”在論域U={1,2,3,4,5}上。那么如何表示模糊性概念？例如“大”，“小”。模糊集的思路：把特征函數(shù)的取值范圍從{0,1}推廣到[0,1]上。定義2.13設(shè)U是論域，μA是把任意u∈U映射為[0,1]上某個(gè)值的函數(shù)，即μA:U→[0,1]或者u→μA(u) 則稱μA為定義在U上的一個(gè)隸屬函數(shù)，由μA(u)(u∈U)所構(gòu)成的集合A稱為U上的一個(gè)模糊集，μA(u)稱為μ對(duì)A的隸屬度。第34頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.3模糊集與隸屬函數(shù)（2）模糊集的例子。例2.7論域U={1,2,3,4,5}，用模糊集表示“大”和“小”。解：設(shè)A、B分別表示“大”與“小”的模糊集，μA，μB分別為相應(yīng)的隸屬函數(shù)。A={0,0,0.1,0.6,1}B={1,0.5,0.01,0,0}其中：μA(1)=0,μA(2)=0,μA(3)=0.1,μA(4)=0.6,μA(5)=1 μB(1)=1,μB(2)=0.5,μB(3)=0.01,μB(4)=0,μB(5)=0第35頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.3模糊集與隸屬函數(shù)（3）例2.8論域U={高山，劉水，秦聲}，用模糊集A表示“學(xué)習(xí)好”這個(gè)概念。解：先給出三人的平均成績(jī)：高山：98分，劉水：90分，秦聲：86分上述成績(jī)除以100后，就分別得到了各自對(duì)“學(xué)習(xí)好”的隸屬度：μA(高山)=0.98,μA(劉水)=0.90,μA(秦聲)=0.86則模糊集A為：A={0.98,0.90,0.86}第36頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.4模糊集的表示方法（1）若論域離散且有限，則模糊集A可表示為：A={μA(u1),μA(u2),…,μA(un)}也可寫為：A=μA(u1)/u1+μA(u2)/u2+…+μA(un)/un或者：A={μA(u1)/u1,μA(u2)/u2,…,μA(un)/un}A={(μA(u1),u1),(μA(u2),u2),…,(μA(un),un)}隸屬度為0的元素可以不寫。例如：A=1/u1+0.7/u2+0/u3+0.4/u4 =1/u1+0.7/u2+0.4/u4第37頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.4模糊集的表示方法（2）若論域是連續(xù)的，則模糊集可用實(shí)函數(shù)表示。例如： 以年齡為論域U=[0,100]，“年輕”和“年老”這兩個(gè)概念可表示為：第38頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.4模糊集的表示方法（3）無論論域U有限還是無限，離散還是連續(xù)，扎德用如下記號(hào)作為模糊集A的一般表示形式:U上的全體模糊集，記為：F(U)={A|μA:U→[0,1]}第39頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.5模糊集的運(yùn)算（1）模糊集上的運(yùn)算主要有：包含、交、并、補(bǔ)等等。1.包含運(yùn)算定義2.14設(shè)A，B∈F(U)，若對(duì)任意u∈U，都有μB(u)≤μA(u)成立，則稱A包含B，記為 。2.交、并、補(bǔ)運(yùn)算定義2.15設(shè)A，B∈F(U)，以下為扎德算子第40頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.5模糊集的運(yùn)算（2）例2.9設(shè)U={u1,u2,u3}，A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3則：A∩B=(0.3∧0.6)/u1+(0.8∧0.4)/u2+(0.6∧0.7)/u3 =0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3A∪B=(0.3∨0.6)/u1+(0.8∨0.4)/u2+(0.6∨0.7)/u3 =0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3?A=(1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3 =0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3第41頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.5模糊集的運(yùn)算（3）例2.10A表示“年老”的模糊集，B表示“年輕”的模糊集。則：第42頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.5模糊集的運(yùn)算（4）其它的模糊集運(yùn)算：有界和算子和有界積算子概率和算子與實(shí)數(shù)積算子·愛因斯坦和算子與愛因斯坦積算子第43頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.6模糊集的λ水平截集（1）λ水平截集是把模糊集合轉(zhuǎn)化成普通集合的一個(gè)重要概念。定義2.16設(shè)A∈F(U),λ∈[0,1]，則稱普通集合Aλ={u|u∈U,μA(u)≥λ}為A的一個(gè)λ水平截集，λ稱為閾值或置信水平。λ水平截集有如下性質(zhì)：(1)設(shè)A，B∈F(U)，則： (A∪B)λ=Aλ∪Bλ (A∩B)λ=Aλ∩Bλ(2)若λ1,λ2∈[0,1]，且λ1<λ2，則：閾值λ越大，其水平截集Aλ越小，當(dāng)λ＝1時(shí)，Aλ最小，稱它為模糊集的核。第44頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.6模糊集的λ水平截集（2）定義2.17設(shè)A∈F(U)，則稱KerA={u|u∈U,μA(u)=1}SuppA={u|u∈U,μA(u)>0} 分別為模糊集A的核及支集。當(dāng)KerA≠Φ時(shí)，稱A為正規(guī)模糊集。第45頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.6模糊集的λ水平截集（3）例2.11設(shè)模糊集A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5 若λ分別為1,0.6,0.5,0.3，則相應(yīng)的λ水平截集為： A1={u3} A0.6={u2,u3,u4} A0.5={u2,u3,u4,u5} A0.3={u1,u2,u3,u4,u5}A的核及支集分別是： KerA={u3} SuppA={u1,u2,u3,u4,u5}第46頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.7模糊度（1）模糊度時(shí)模糊集的模糊程度的一種度量。定義2.18設(shè)A∈F(U)，d是定義在F(U)上的一個(gè)實(shí)函數(shù)，如果它滿足以下條件：(1)對(duì)任意A∈F(U)，有d(A)∈[0,1];(2)當(dāng)且僅當(dāng)A是一個(gè)普通集合時(shí)，d(A)=0；(3)若A的隸屬函數(shù)μA(u)≡0.5，則d(A)=1;(4)若A,B∈F(U),且對(duì)任意u∈U,滿足μB(u)≤μA(u)≤0.5或者μB(u)≥μA(u)≥0.5則有d(B)≤d(A)(5)對(duì)任意A∈F(U)，有d(A)=d(?A)則稱d為定義在F(U)上的一個(gè)模糊度，d(A)稱為A的模糊度。第47頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.7模糊度（2）2.模糊度的直觀含義是[0,1]上一個(gè)數(shù)；普通集合的模糊度是0，表示所刻畫的概念不模糊；越靠近0.5就越模糊，當(dāng)μA(u)＝0.5時(shí)最模糊；模糊集A與其補(bǔ)集?A有相同的模糊度。第48頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.7模糊度（3）3.計(jì)算模糊度的方法海明(Haming)模糊度

其中，μA0.5(ui)是A的λ＝0.5截集的隸屬函數(shù)。由于A0.5是一個(gè)普通集合，所以μA0.5(ui)實(shí)際上是特征函數(shù)。歐幾里德(Euclid)模糊度第49頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.7模糊度（4）明可夫斯基(Minkowski)模糊度香農(nóng)模糊度其中S(x)是定義在[0,1]上的香農(nóng)函數(shù)，即第50頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.7模糊度（5）例2.12設(shè)U={u1,u2,u3,u4}A=0.8/u1+0.9/u2+0.1/u3+0.6/u4則第51頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.8模糊數(shù)（1）模糊的數(shù)量，例如：500人左右，大約0.6定義2.19如果實(shí)數(shù)域R上的模糊集A的隸屬函數(shù)μA(u)在R上連續(xù)且具有如下性質(zhì)：(1)A是凸模糊集，即對(duì)任意λ∈[0,1],Aλ是閉區(qū)間；(2)A是正規(guī)模糊集，即存在u∈R，使μA(u)＝1。則稱A為一個(gè)模糊數(shù)。直觀上模糊數(shù)的隸屬函數(shù)圖形是單峰的，且在峰頂使隸屬度達(dá)到1。第52頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.8模糊數(shù)（2）一個(gè)模糊數(shù)的例子。“6左右”第53頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.8模糊數(shù)（3）2.模糊數(shù)的運(yùn)算定義2.20設(shè)θ是實(shí)數(shù)域R上的一種二元運(yùn)算，A和B為任意的模糊數(shù)，則模糊數(shù)間的運(yùn)算定義為兩個(gè)模糊數(shù)之間的運(yùn)算，實(shí)際上是對(duì)應(yīng)元素的隸屬度先取極小，再取極大。第54頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.8模糊數(shù)（4）例2.13設(shè)有3左右=0.5/2+1/3+0.6/42左右=0.4/1+1/2+0.7/3第55頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.8模糊數(shù)（5）續(xù)上例模糊數(shù)乘或者除的結(jié)果可能不是一個(gè)模糊數(shù)。第56頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.9模糊關(guān)系及其合成（1）模糊關(guān)系定義2.21Ai是Ui(i=1,2,…,n)上的模糊集，則稱 為A1,A2,…,An的笛卡兒乘積，它是U1×U2×…×Un上的一個(gè)模糊集。定義2.22在U1×U2×…×Un上一個(gè)n元模糊關(guān)系R是指以U1×U2×…×Un為論域的一個(gè)模糊集，記為第57頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.9模糊關(guān)系及其合成（2）例2.15U={張三，李四，王五}V={籃球，排球，足球，乒乓球}U×V上的一個(gè)模糊關(guān)系R籃球排球足球乒乓球張三0.70.50.40.1李四00.600.5王五0.50.30.80第58頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.9模糊關(guān)系及其合成（3）一般地說，當(dāng)U和V都是有限論域時(shí)，其模糊關(guān)系R可用一個(gè)模糊矩陣表示。U={u1,u2,…,um}V={v1,v2,…,vn}則U×V上的模糊關(guān)系為第59頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.9模糊關(guān)系及其合成（4）例2.16設(shè)U=V={u1,u2,u3},R是“信任關(guān)系”，可有第60頁，共69頁，2023年，2月20日，星期日2.4.9模糊關(guān)系及其合成（5）2.模糊關(guān)