廣東省中山市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第3次段考 數(shù)學(xué)試卷含答案

2023-2024年度第一學(xué)期高一第三次段考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中.只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．2．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上是減函數(shù)的為（

）A． B．C． D．4．下列式子正確的是（

）A． B．C． D．5．計(jì)算（）A．0 B．1 C．2 D．46．化簡（其中）的結(jié)果是A． B． C． D．7．已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)滿足，，，則（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．10．若正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值4 D．有最小值11．下列運(yùn)算法則正確的是（

）A．B．C．（且）D．12．已知函數(shù)，若有三個不等實(shí)根，，，且，則（

）A．的單調(diào)遞增區(qū)間為B．a(chǎn)的取值范圍是C．的取值范圍是D．函數(shù)有4個零點(diǎn)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，則是．14．集合的子集個數(shù)為．15．設(shè)，則大小關(guān)系是.16．如果關(guān)于的不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題.本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驃.17．計(jì)算下列各式的值；(1)；(2)18．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；19．已知集合，.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．某快遞公司為降低新冠肺炎疫情帶來的經(jīng)濟(jì)影響，引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本.已知購買x臺機(jī)器人的總成本為（單位：萬元）.(1)應(yīng)買多少臺機(jī)器人，可使每臺機(jī)器人的平均成本最低；(2)現(xiàn)按（1）中的數(shù)量購買機(jī)器人，需要安排m人將物件放在機(jī)器人上，機(jī)器人將物件送達(dá)指定分揀處.經(jīng)過實(shí)驗(yàn)知，每臺機(jī)器人日平均分揀量為（單位：件）.求引進(jìn)機(jī)器人后，日平均分揀量的最大值.21．已知關(guān)于的不等式.（1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．定義在上的函數(shù)滿足對任意的，都有，且當(dāng)時，.(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明．1．C【分析】利用自然數(shù)集的概念化簡集合，再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：C.2．B【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題即可解出.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可得：“，”的否定為，.故選：B.3．D【分析】畫出對應(yīng)選項(xiàng)中常見函數(shù)的圖象，即可數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性.【詳解】對于選項(xiàng)A:數(shù)形結(jié)合可知：是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B:數(shù)形結(jié)合可知：是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C:數(shù)形結(jié)合可知：是奇函數(shù)，且在,單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C錯誤；對于選項(xiàng)D:數(shù)形結(jié)合可知：該函數(shù)在是奇函數(shù)，在上是減函數(shù)，符合題意，故選項(xiàng)D正確；故選：D.4．D【分析】根據(jù)題意構(gòu)造冪函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)，根據(jù)冪指函數(shù)的單調(diào)性即可逐一比較.【詳解】對于選項(xiàng)A:由在單調(diào)遞增，且，所以，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B:由在單調(diào)遞增，所以，由在單調(diào)遞減，所以，故，故選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C:由,在單調(diào)遞減，且在第一象限底大圖高，所以,故選項(xiàng)C錯誤；對于選項(xiàng)D:由在單調(diào)遞增，且，所以,故選項(xiàng)D正確；故選：D.5．B【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)椋?故選：B6．C【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化簡即可.【詳解】=,選C.【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算,考查基本求解能力,屬基礎(chǔ)題.7．C【分析】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則得，即，解不等式即可得出答案.【詳解】由且，得為單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則得，又，解得．故選：C．8．C【分析】令可求得；令可證得為奇函數(shù)，令可求得，根據(jù)可得結(jié)果.【詳解】令，則，解得：；令，則，為奇函數(shù)，，.故選：C.9．AC【分析】利用元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：由元素與集合的關(guān)系可知，故A正確；對于選項(xiàng)B：由集合與集合的關(guān)系可知，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：由空集是任何集合的子集可知，故C正確；對于選項(xiàng)D：由于具有不確定性，故無法判斷與的關(guān)系,故D錯誤.故選：AC.10．ABC【分析】利用基本不等式可判斷A的正誤，利用A的結(jié)果可判斷BC的正誤，利用反例可判斷D是錯誤的，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，所以，所以，故當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故有最大值，A正確；由A可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故有最大值，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故有最小值4，C正確；取，此時，所以的最小值不是，故D錯誤，ABC..ABC..11．CD【分析】取可判斷A選項(xiàng)的正誤；取，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用對數(shù)的換底公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則無意義，A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，若，，則無意義，B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，由換底公式可得（且），C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)，、時，，D選項(xiàng)正確.故選：CD.12．CD【分析】作出的圖象，結(jié)合圖象逐一判斷即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

對于A，由圖象可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，故A不正確；對于B，因?yàn)橛腥齻€不等實(shí)根，即與有三個不同交點(diǎn)，所以,，故B不正確；對于C，則題意可知：，，所以，所以,，故C正確；對于D，令，則有，令，則有或，當(dāng)時，即，即，解得；當(dāng)時，即，所以或，解得，或或，所以共有4個零點(diǎn)，即有4個零點(diǎn)，故D正確．故選：CD．13．【分析】由函數(shù)具有奇偶性，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，可求，再根據(jù)偶函數(shù)定義，可求.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，即，所以是定義在上的偶函數(shù)，所以，即，整理得，因?yàn)椴缓銥?，所?所以.故答案為：.14．8【分析】首先計(jì)算出集合A，再根據(jù)子集個數(shù)的公式得出答案.【詳解】由題意可知，所以集合A的子集的個數(shù)為故答案為：815．【分析】抓住同底與同指構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性比較大小.【詳解】因?yàn)樵趩握{(diào)增，所以，即，因?yàn)樵趩握{(diào)減，所以，即綜上，.故答案為：.16．【分析】分和兩種情況討論，當(dāng)時，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于的不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)，即時，顯然恒成立；當(dāng)，則，解得；綜上可得；故答案為：17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，逐步計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）.（2）18．(1)；(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析.【分析】（1）利用待定系數(shù)法，借助計(jì)算即可；（2）利用單調(diào)性的定義證明即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，所以，解得，即，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時，滿足在上是奇函數(shù).故.（2）由（1）問可知，在上單調(diào)遞增，證明如下：任取且，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.19．（1）；（2）.【解析】（1）由得到，再利用交集運(yùn)算求解.（2）根據(jù)，得到，然后分和求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，又集合，所以.（2）因?yàn)?，則.當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，由得，即，解得.綜上，的取值范圍是.20．(1)200臺(2)件【分析】（1）根據(jù)題意，每臺機(jī)器人的平均成本為，然后利用基本不等式求出最小值，即平均成本最低.（2）根據(jù)每臺機(jī)器人日平均分揀量方程，求出每臺機(jī)器人日平均分揀量的最大值，然后乘以機(jī)器人數(shù)即可得到答案.【詳解】（1）每臺機(jī)器人的平均成本為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.因此應(yīng)買200臺機(jī)器人，可使每臺機(jī)器人的平均成本最低.（2）當(dāng)時，每臺機(jī)器人日平均分揀量的最大值為450，當(dāng)時，.當(dāng)時，每臺機(jī)器人的日平均分揀量的最大值為480.因此引進(jìn)200臺機(jī)器人后，日平均分揀量的最大值為件.21．（1）；（2）.【分析】（1）由題意可得，且和時關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根，從而可求出的值；（2）由題意得或，從而可求出的取值范圍【詳解】（1）因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以，且和時關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根，則，解得.（2）因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立，所以或，即或，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.22．(1)為奇函數(shù)，證明見解析；(2