數(shù)學(xué)理性及其對現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的啟示

數(shù)學(xué)理性及其對現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的啟示

近年來，數(shù)學(xué)作為一種文化，在我國數(shù)學(xué)教育界受到了廣泛的重視。在數(shù)學(xué)文化進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)后，它更成為眾人所關(guān)注的熱點(diǎn)話題。而數(shù)學(xué)理性是現(xiàn)代數(shù)學(xué)文化中常用的一個(gè)名詞，它具體指什么？源自哪里？它對現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育有怎樣的影響？本文從發(fā)生學(xué)的角度對數(shù)學(xué)理性的形成、發(fā)展作深入的研究，并對數(shù)學(xué)理性的內(nèi)涵和對現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的啟示進(jìn)行闡述。數(shù)學(xué)理性的形成在早于古希臘時(shí)代或與之同期的各個(gè)古代文明中，人們基本上處于蒙昧物質(zhì)的狀態(tài)，為了擺脫這種狀態(tài)，不同的民族都會(huì)利用他們原始文明中的經(jīng)驗(yàn)、思維方式解釋這個(gè)奇妙的世界：這個(gè)世界的本源是什么？它是怎樣運(yùn)轉(zhuǎn)的？不同的民族對此有不同的解釋。如古印度用宗教學(xué)說解釋世界；中國則形成了陰陽學(xué)說、金木水火土“五行”學(xué)說。而古希臘民族則用數(shù)學(xué)解釋世界。這正如克萊因所指出的：“任何值得一提的文明都探索過真理。思索的人們盡管不能，但總是試圖去理解復(fù)雜多變的自然現(xiàn)象，去解開人類如何定居在這個(gè)地球上的謎題，去弄明白人生的目的，去探索人類的歸宿。在所有早期的文明中，這些問題的回答都是宗教領(lǐng)袖給出的，并為人們所普遍接受。只有古希臘文明是個(gè)例外?！薄跋ＥD的智者們對自然采取了一種全新的態(tài)度。這種態(tài)度是理性的、批判性和反宗教的。神學(xué)中上帝按其意志創(chuàng)造了人和物質(zhì)世界的信仰被拋棄了。智者們終于得出了這樣的觀念：自然是有序的，按完美的設(shè)計(jì)而恒定地運(yùn)行著?！@種設(shè)計(jì)，雖然不為人的行為而影響，卻能被人的思維所理解?！辈⑶铱巳R因曾明確地指出，古希臘人之所以能“摒除故弄玄虛、神秘主義和對自然運(yùn)動(dòng)的雜亂無章的認(rèn)識(shí)，而代之以可以理解的規(guī)律”，其“決定性的一步是數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用”。于是，在幾個(gè)文明古國中，如埃及、巴比倫和中國，雖然都儲(chǔ)存了相當(dāng)豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，但他們都無法從具體的事物抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，沒能對數(shù)學(xué)賦予理性的涵義，也無法創(chuàng)造出作為理論體系的數(shù)學(xué)。而唯有古希臘將數(shù)學(xué)發(fā)展為一種對世界的解釋——萬物皆數(shù)，并堅(jiān)持用邏輯演繹和證明的數(shù)學(xué)方法推理數(shù)學(xué)結(jié)果，進(jìn)而理解整個(gè)世界。而數(shù)學(xué)理性就起源于此。1.數(shù)學(xué)理性的萌芽愛奧尼亞學(xué)派是希臘最早的哲學(xué)學(xué)派，也是最早斷定自然界實(shí)質(zhì)的人。數(shù)學(xué)理性在該學(xué)派中萌芽表現(xiàn)在兩個(gè)方面：(1)愛奧尼亞學(xué)派的思想。他們認(rèn)為在一切表面現(xiàn)象的千變?nèi)f化之中，有一種始終不變的東西，該物質(zhì)的本質(zhì)是守恒的，而所有的物質(zhì)形式都可用它來解釋。這種理性思維的觀念，正是希臘科學(xué)精神的精髓之所在。(2)其創(chuàng)始人泰勒斯的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。泰勒斯是希臘最早留名于世的數(shù)學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)了五個(gè)幾何命題，并試圖對其進(jìn)行證明。泰勒斯將命題證明的思想引入數(shù)學(xué)，這使數(shù)學(xué)從具體的、實(shí)驗(yàn)的階段開始向抽象的、理論的階段過渡，這是以演繹證明為基本特征的數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)理性的萌芽。2.數(shù)學(xué)理性的形成畢達(dá)哥拉斯學(xué)派和雅典學(xué)派用數(shù)學(xué)理性看待周圍的世界，促成了數(shù)學(xué)理性的形成；歐幾里得在繼承前人思想的基礎(chǔ)上編寫了《幾何原本》，這將數(shù)學(xué)理性推上一個(gè)高峰，標(biāo)志著數(shù)學(xué)理性的形成。(1)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派舍去了世界的神秘，認(rèn)為看似混亂的現(xiàn)象中隱含一種規(guī)律，并應(yīng)用數(shù)學(xué)，揭示其中的本質(zhì)，推動(dòng)數(shù)學(xué)理性的形成。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派繼承并發(fā)展了愛奧尼亞學(xué)派的思想，認(rèn)為世界是由一種物質(zhì)構(gòu)成，而這種物質(zhì)就是數(shù)。所有物體都由點(diǎn)或“存在單元”按照相應(yīng)的各種幾何形象組合而成，事物的差異源于數(shù)學(xué)的差異。因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)音樂和行星的運(yùn)動(dòng)變化可以歸結(jié)為數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。于是，“萬物皆數(shù)”的觀點(diǎn)就構(gòu)成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的核心觀念，而且他們相信自然界是有規(guī)律的，這種規(guī)律是人們可以認(rèn)識(shí)的，而數(shù)學(xué)就是人們認(rèn)識(shí)自然界的工具。正如畢達(dá)哥拉斯所說：“如果沒有數(shù)和數(shù)的性質(zhì)，世界上任何事物本身或其與別的事物的關(guān)系都不能為人所清楚了解……你不僅可以在鬼神的事務(wù)上。而且在人間的一切行動(dòng)和思想上乃至一切行業(yè)和音樂上看到數(shù)的力量?！彼麄儼讶藗儗κ澜绲恼J(rèn)識(shí)從神秘主義和隨意性的混亂中解脫出來，使人們意識(shí)到在運(yùn)動(dòng)變化的世界中隱含了數(shù)學(xué)規(guī)律，對世界的認(rèn)識(shí)和理解可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)的問題。這是從具體的事物抽象出事物的本質(zhì)的理性過程，是數(shù)學(xué)化的過程，促成了數(shù)學(xué)理性的形成。(2)雅典學(xué)派強(qiáng)化了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于數(shù)量關(guān)系構(gòu)成了一切事物和現(xiàn)象的本質(zhì)的信念，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)對哲學(xué)和了解宇宙的重要作用，建立了形式化邏輯體系，進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)學(xué)理性的形成。雅典學(xué)派創(chuàng)始人柏拉圖認(rèn)為世上的神是按幾何規(guī)律辦事，感官所認(rèn)識(shí)的世界是不穩(wěn)定的，時(shí)刻都在運(yùn)動(dòng)變化著的。于是，人們無法從整體上對其進(jìn)行完美地研究。但是，人們可以從周圍的世界中歸納隱含其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，而數(shù)學(xué)定律是永恒不變的，這才是現(xiàn)實(shí)世界的真髓。按照柏拉圖的觀點(diǎn)，“理念世界”與“現(xiàn)實(shí)世界”是有區(qū)別的：前者是真實(shí)的、完美的、永恒的、不變的；后者則是不真實(shí)的、有缺陷的、暫時(shí)的、變動(dòng)的，而且是前者的一種不完美的復(fù)制。而數(shù)學(xué)對象被認(rèn)為是理念世界中的一種存在。于是，數(shù)學(xué)溝通理念世界和現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，是人們認(rèn)識(shí)理念世界的工具。舉例來說，我們研究圓，就不是研究現(xiàn)實(shí)的圓盤圓碗之類的圓形物體，因?yàn)樗鼈冎皇抢砟畹臍埲辈蝗捏w現(xiàn)，甚至我們畫圓的圖形也只是理念的圓的粗糙的表現(xiàn)，而真正研究的對象應(yīng)該是理念世界的圓，即概念的圓或圓的概念。用數(shù)學(xué)去研究理念的世界，在這種意義下，數(shù)學(xué)的研究就必然具有高度的抽象性，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理性。正如柏拉圖所想的，數(shù)學(xué)既然是關(guān)于完全抽象的概念的學(xué)問，理念世界又要求數(shù)學(xué)的真理有永恒不變的完全的確定性，這就決定了只能用演繹推理的方法來獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。例如：“三角形三內(nèi)角之和是兩直角”，若用量得許多具體的三角形的情況歸納的方法來說明該命題，這只能表明“大多數(shù)三角形的內(nèi)角和十分接近于兩直角”。這不是完全確定的結(jié)論。希臘人認(rèn)為必須用合乎邏輯的演繹推理該命題。那應(yīng)該怎樣進(jìn)行推理呢？在數(shù)學(xué)理性的基礎(chǔ)上，亞里士多德建立形式化的邏輯體系，總結(jié)了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)推理的規(guī)律。他創(chuàng)立邏輯學(xué)的三段論法，如凡人都要死（大前提），蘇格拉底是人（小前提），所以蘇格拉底必死（結(jié)論）。這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理性推理的作用。因此，雅典學(xué)派不僅要求人們從具體的事物中抽象出理念的概念，還要建立邏輯體系演繹推理數(shù)學(xué)真理，這大大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)理性的形成。(3)《幾何原本》的出現(xiàn)標(biāo)志著數(shù)學(xué)理性的形成?！稁缀卧尽肥菤W幾里得在繼承了柏拉圖的思想和亞里士多德邏輯演繹的方法的基礎(chǔ)上，通過收集、整理前人和別人的成果并加以自己的獨(dú)特的構(gòu)造設(shè)計(jì)所完成的一部劃時(shí)代著作。它集中地反映了數(shù)學(xué)理性，具體表現(xiàn)在：①《幾何原本》提出了數(shù)學(xué)理性的模式，是完成公理化結(jié)構(gòu)的最早典范。歐幾里得恰當(dāng)?shù)剡x擇了他所必需的公理、公設(shè)與定義，既不太多，又足夠證明全書所含的一切定理，然后用邏輯演繹的方式將數(shù)百條定理編排起來，形成體系。而且，所有的數(shù)學(xué)理論都必須按照數(shù)學(xué)的定義、公理（公設(shè)）和三段論式的邏輯論證來組織，并由此構(gòu)成了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的大廈。②《幾何原本》提出了一種認(rèn)識(shí)世界的思維理性方式?！稁缀卧尽方⒃诎乩瓐D哲學(xué)、亞里士多德的邏輯學(xué)和歐幾里得的精心構(gòu)思的基礎(chǔ)之上，因此它表現(xiàn)出的不僅是一種數(shù)學(xué)命題的真理性特征，更重要的是它借助數(shù)學(xué)給人們提供一種認(rèn)識(shí)世界、表述世界的思維理性方式：從幾個(gè)簡單的原理出發(fā)，可以邏輯演繹出整個(gè)理論體系，進(jìn)而表現(xiàn)這個(gè)理論所揭示的真理。這使得一種數(shù)學(xué)公理化的方法最終演化為一種認(rèn)識(shí)世界的理性思維方式，促進(jìn)了數(shù)學(xué)理性的形成。③《幾何原本》提出了一種理性的構(gòu)造方式，為其他科學(xué)體系的建立提供了直接的范例?！稁缀卧尽匪⒌臄?shù)學(xué)公理化體系是一個(gè)經(jīng)典模式，促使其他科學(xué)體系的再構(gòu)造。據(jù)考證，古希臘文化在歐幾里得之后，它的各種學(xué)科都按照《幾何原本》體系進(jìn)行了再構(gòu)造；另外，文藝復(fù)興之后，古希臘文化的復(fù)活更使《幾何原本》成為整個(gè)西方文化中的一個(gè)理性模式，物理、化學(xué)、天文、醫(yī)學(xué)、哲學(xué)、邏輯等都是按《幾何原本》的形式進(jìn)行了理性構(gòu)造。④《幾何原本》體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理性的精神，是人類理性思維的一個(gè)高峰，使整個(gè)古希臘文化具有一種深遠(yuǎn)的從數(shù)學(xué)探求真理的精神。這種理性的信念和精神作為古希臘文化的精髓后來為整個(gè)西方文化所完全吸收和繼承?？偟膩碚f，古希臘文化中數(shù)學(xué)理性的形成，使人類第一次從數(shù)量和邏輯的角度來看待世界，從而給世界以一種定量的、精確的、邏輯的描述方式；而且這種方式又極大地加強(qiáng)了人們關(guān)于自然界是有規(guī)律的，這些規(guī)律是可以為人們所認(rèn)識(shí)的信念，并促使人們更為積極地從事這種理性的研究。于是，數(shù)學(xué)理性被看成近代自然科學(xué)能在西方順利建立的一個(gè)重要條件。數(shù)學(xué)理性的發(fā)展在文藝復(fù)興時(shí)期，數(shù)學(xué)理性得到巨大的發(fā)展，徹底地?cái)[脫了宗教神學(xué)，對自然學(xué)科起到重要的作用。古希臘形成的數(shù)學(xué)理性一直無法擺脫“上帝”的作用。古希臘的人們認(rèn)為上帝是有規(guī)律的，數(shù)學(xué)是人們認(rèn)識(shí)上帝的途徑，正如柏拉圖指出，“神永遠(yuǎn)按幾何規(guī)律辦事”。于是，古希臘的自然科學(xué)也帶有神秘的色彩。到了中世紀(jì)，數(shù)學(xué)理性被埋沒于神學(xué)之中，人們更是從圣經(jīng)中獲得關(guān)于自然的知識(shí)，自然科學(xué)依附于基督教神學(xué)。隨著對基督教神學(xué)的認(rèn)識(shí)，人們開始意識(shí)到基督教的局限性，如缺乏理論基礎(chǔ)。當(dāng)時(shí)著名的神學(xué)家托馬斯·阿奎那運(yùn)用邏輯的方法為基督教建立了理論基礎(chǔ)，創(chuàng)立了一個(gè)新的基督教的哲學(xué)體系。他的著作《神學(xué)大全》不僅為基督教神學(xué)作了一個(gè)最透徹、最全面的解釋，而且也為古希臘數(shù)學(xué)理性的復(fù)歸開啟了大門。于是，人們認(rèn)識(shí)到上帝是有理性的，他按照數(shù)學(xué)規(guī)律設(shè)計(jì)、創(chuàng)造了整個(gè)世界，從而，人們就可通過直接的探索去發(fā)現(xiàn)自然規(guī)律。這正如克萊因所指出的：“上帝的方法是正確的，人們可以證明其正確性。因此，中世紀(jì)晚期的學(xué)者，特別是經(jīng)院哲學(xué)家，不僅為近代數(shù)學(xué)和科學(xué)的誕生提供了理性環(huán)境，而且給文藝復(fù)興時(shí)期的大思想家傳授了這樣的觀點(diǎn)：自然界是上帝創(chuàng)造的，上帝的方法能為人們所領(lǐng)悟?！痹跀?shù)學(xué)理性的進(jìn)一步指導(dǎo)下，科學(xué)家對自然科學(xué)研究的目光逐漸由“為什么”轉(zhuǎn)向了“怎么樣”，即由“質(zhì)的研究”轉(zhuǎn)向“量的研究”，探求自然界的數(shù)學(xué)規(guī)律。然而，宗教神學(xué)的作用僅限于對“為什么”的問題作出解釋，而對于事物和現(xiàn)象的描述則完全是科學(xué)的任務(wù)，因此，自然科學(xué)就與宗教神學(xué)獨(dú)立開來，擺脫了宗教的束縛，自行發(fā)展，從而也促使了數(shù)學(xué)理性的發(fā)展。例如，伽利略在研究自然科學(xué)時(shí)追求的是數(shù)量的規(guī)律，他認(rèn)為數(shù)學(xué)推理比實(shí)驗(yàn)更重要。伽利略的科學(xué)研究的程序是：從幾個(gè)實(shí)驗(yàn)開始得到最基本的簡單明了的原理，即得出數(shù)學(xué)模型，再往下就是數(shù)學(xué)的推導(dǎo)、演繹，得出盡可能多的結(jié)果。這實(shí)際上是歐幾里得《幾何原本》的方法，是數(shù)學(xué)理性的指導(dǎo)，由幾個(gè)命題通過邏輯演繹推理建立一個(gè)體系。對此德國哲學(xué)家胡塞爾寫道，這正是“從近代開始的自然科學(xué)、或說自然科學(xué)的理性的實(shí)際上完全不可避免的榜樣作用的結(jié)果?！匀豢茖W(xué)具有最高度的理性，因?yàn)樗鞘芗償?shù)學(xué)的指導(dǎo)的，它是通過歸納的數(shù)學(xué)的研究而獲得的結(jié)果?！睌?shù)學(xué)理性的復(fù)興和發(fā)展，使得歐洲的近代自然科學(xué)脫離宗教的束縛，獨(dú)立發(fā)展，影響現(xiàn)代社會(huì)的各個(gè)方面；相反的，自然科學(xué)的發(fā)展也推動(dòng)了數(shù)學(xué)理性的進(jìn)一步發(fā)展，促使數(shù)學(xué)向多個(gè)方面發(fā)展，形成多個(gè)數(shù)學(xué)分支。數(shù)學(xué)理性孕育于古希臘，發(fā)展于歐洲的文藝復(fù)興時(shí)期，那數(shù)學(xué)理性究竟指什么？它的內(nèi)涵又是什么？數(shù)學(xué)理性的內(nèi)涵1.理性的內(nèi)涵理性在人文科學(xué)與社會(huì)科學(xué)研究中，通常指人所具有的一種本性，是人區(qū)別于其他動(dòng)物的根本標(biāo)志。它有兩種意義。一種是指在人的認(rèn)識(shí)過程所獨(dú)有的一種特性，使人透過事物的表面現(xiàn)象看到事物的本質(zhì)、事物的內(nèi)部聯(lián)系、事物的規(guī)律，是人的概念、判斷、推理等思維形式和思維活動(dòng)的能力。這種理性被稱為認(rèn)知理性。另一種是人類獨(dú)有的用以調(diào)節(jié)和控制人的欲望和行為的一種精神力量。人與其他高等動(dòng)物一樣，存在著動(dòng)物性。但是人可以憑自己的理智，支配自身的動(dòng)物性，使自身的需要在社會(huì)關(guān)系和社會(huì)規(guī)則的調(diào)節(jié)與制約下得到滿足。這種理性被稱為道德理性或?qū)嵺`理性。從理性概念的兩種意義可以看出，理性這一概念不是單義的，而是多義的，人們可以從不同的角度去理解。從意識(shí)論意義上說，理性是指受人的目的和意識(shí)所支配的一切主觀的和心理的活動(dòng)，它不僅包括人的理性認(rèn)識(shí)的活動(dòng)，而且也包括人的有意識(shí)、有目的的感覺、知覺和表象等感性認(rèn)識(shí)活動(dòng)；從認(rèn)識(shí)論意義上說，理性是指人認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)和規(guī)律的邏輯思維形式；從人性論意義上說，理性是指人的抽象的邏輯思維能力以及受這種思維能力所支配的人的理智的、克制的、自覺的能力和存在屬性。理性的涵義盡管有多種，但它們有一個(gè)共性，即理性是人類獨(dú)有的、其他動(dòng)物身上不具備的特性；同時(shí)，理性也是人類身上普遍存在的特性，即只要是正常的人，都具有理性思維的能力，都具有自覺地調(diào)節(jié)和控制自己行為的能力，只是這種能力高低的程度不同而已。2.數(shù)學(xué)理性的內(nèi)涵由于理性的內(nèi)涵是多義的，數(shù)學(xué)理性也具有多種涵義。從橫向的角度看，數(shù)學(xué)理性具有一定的文化相對性，即是對于不同的民族或文化可能具有不同的內(nèi)涵。例如，以《九章算術(shù)》為代表的中國的古代數(shù)學(xué)偏重應(yīng)用，而以《幾何原本》為代表的歐洲數(shù)學(xué)偏重邏輯演繹。于是，有些數(shù)學(xué)史學(xué)者提出：“古代東、西數(shù)學(xué)是風(fēng)格迥異的兩種理論體系，如果說西方數(shù)學(xué)著作表述為邏輯的演繹體系，那么東方數(shù)學(xué)則是呈現(xiàn)出計(jì)算為中心的算法體系?！彼?，可以看到，東方的數(shù)學(xué)理性跟西方的數(shù)學(xué)理性可能具有不同的內(nèi)涵。從縱向的角度看，數(shù)學(xué)理性也具有相對的空間性和時(shí)間性，不同的時(shí)代賦予數(shù)學(xué)理性的內(nèi)涵應(yīng)不盡相同。在此定義的數(shù)學(xué)理性是指孕育于古希臘文明、并伴隨著近代自然科學(xué)的形成和發(fā)展逐步定型的西方理性精神。數(shù)學(xué)理性的內(nèi)涵主要表現(xiàn)在4個(gè)方面：(1)在自然科學(xué)的研究中應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格區(qū)分主客體首先，數(shù)學(xué)研究的對象并非是現(xiàn)實(shí)世界中的真實(shí)存在，而是抽象思維的產(chǎn)物。其次，對于自然科學(xué)的研究也即是對于客觀世界的研究。這正如柏拉圖的觀點(diǎn)，我們研究的對象是“理念世界”中的概念，是一個(gè)不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀世界，并非是“現(xiàn)實(shí)世界”中的物質(zhì)。于是，我們應(yīng)該采取純客觀、理智的態(tài)度，把自然界的對象（包括數(shù)學(xué)對象）看成是一種不依賴于人類的獨(dú)立存在，并通過嚴(yán)格的邏輯分析去揭示其固有的性質(zhì)和相互關(guān)系，而不應(yīng)摻雜有任何主觀的、情感的成分。(2)對自然界的研究應(yīng)當(dāng)是精確的、定量的，而不應(yīng)是含糊的、直覺的這種思想不僅直接關(guān)系到科學(xué)研究的基本方法，而且也表明了科學(xué)研究的基本目標(biāo)，即是要揭示自然界內(nèi)在的數(shù)學(xué)規(guī)律。揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律的基本方法應(yīng)該是進(jìn)行定量的研究。僅靠直覺或主觀上的判斷，是不夠全面的，而且很難衡量正確與否。例如，告訴一個(gè)小學(xué)生第二次世界大戰(zhàn)持續(xù)了十年，他會(huì)相信；告訴他兩個(gè)4的和為10，就會(huì)引起爭論了。因?yàn)閮H從定性研究，可以眾說紛紜，并無統(tǒng)一的判斷標(biāo)準(zhǔn)，每個(gè)人都帶著自己的偏見，如何判斷呢？從事定量的研究，伴著數(shù)學(xué)給予精密的自然科學(xué)以某種程度的可靠性，人類便可以得到物體本質(zhì)、客觀的性質(zhì)。例如，在從事自然規(guī)律的研究中，亞里士多德大多進(jìn)行質(zhì)的研究，研究物體運(yùn)動(dòng)的原因、目的，而這種研究很大程度上是用理想的、幻想的聯(lián)系來代替尚未知道的現(xiàn)實(shí)的真實(shí)的聯(lián)系。正如亞里士多德提出在高空中，重的物體要比輕的物體下落的速度要快一樣，他僅靠直覺和經(jīng)驗(yàn)就得到此結(jié)論?？少だ詮牧康难芯康贸鱿喾吹慕Y(jié)論：重的物體與輕的物體下落的速度一樣快。他運(yùn)用了數(shù)學(xué)理性，通過邏輯演繹推理得到這個(gè)結(jié)論。進(jìn)行自然科學(xué)的研究，靠的是數(shù)學(xué)理性精確的、定量的研究。(3)批判的精神和開放的頭腦“批判的精神”實(shí)質(zhì)上是指一種真理觀，即任何權(quán)威，或是自身的強(qiáng)烈信念，都不能被看成判斷真理性的可靠依據(jù)；此外，一切真理都必須接受理性法庭的裁決。批判精神在古希臘就是數(shù)學(xué)理性的一個(gè)重要內(nèi)涵。例如，盡管亞里士多德是柏拉圖的學(xué)生，但他仍然對柏拉圖的理念論進(jìn)行了尖銳的批判?！拔釔畚釒?，但吾更愛真理”，亞里士多德的這一名言即集中地體現(xiàn)了理性的批判精神。而“開放的頭腦”是指若一個(gè)假說或理論已被證明是錯(cuò)誤的，則無論自己先前曾有過怎樣強(qiáng)烈的信念，現(xiàn)在都應(yīng)與之劃清界限；同樣地，若一個(gè)假說或理論已經(jīng)得到了理性的確證，則無論自己先前對此具有怎樣的反感，現(xiàn)在又都應(yīng)當(dāng)自覺地去接受這一真理。在對真理的探索過程中我們始終應(yīng)當(dāng)保持頭腦的“開放性”，它與批判的精神互相補(bǔ)充、相輔相成。(4)抽象的、超驗(yàn)的思維取向數(shù)學(xué)作為“模式的科學(xué)”，并非對真實(shí)事物或現(xiàn)象的直接研究，以抽象思維的產(chǎn)物——（量化）模式——作為直接的研究對象；于是，數(shù)學(xué)規(guī)律所反映的并非個(gè)別事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象的共同性質(zhì)。總的來說，數(shù)學(xué)理性是一種對周圍的事物客觀的、定量的看法，一種人們有理有據(jù)地推理、論證的思維，一種不迷信權(quán)威，堅(jiān)持真理的精神。對現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的啟示在新課程標(biāo)準(zhǔn)的三維目標(biāo)中，對培養(yǎng)學(xué)生情感態(tài)度價(jià)值觀的要求曾提及“要培養(yǎng)學(xué)生形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神”，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思考中感悟理性精神，用數(shù)學(xué)理性思維來影響學(xué)生的思想、觀念、行為、態(tài)度和精神。于是，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理性思維是數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容。這包括三個(gè)方面的內(nèi)容。(1)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理性思維，要重視學(xué)生抽取問題本質(zhì)的能力。對主客體的嚴(yán)格區(qū)分是數(shù)學(xué)理性的重要內(nèi)涵之一，從現(xiàn)象中抽取事物的本質(zhì)，使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)。例如，在任何六個(gè)人中，總可以找到三個(gè)相互認(rèn)識(shí)