2023年高考數(shù)學(xué)模擬題精練（二）

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2023年高考數(shù)學(xué)模擬題精練（二）

第I卷（選擇題）

一、單選題

1.己知集合人={2,3,4,6,7）,B={2,3,5,7},貝U4CB=（）

A.{2,3,5}B.{2,3,7）C.{2,3,5,7}D.{2,3,4,5,6,7）

2.如圖，圖。的半徑為1,A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過點P

作直線OA的垂線，垂足為M,將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)/（勸，則y=在［0,用的圖像大

致為

3.被譽為我國“宋元數(shù)學(xué)四大家”的李治對“天元術(shù)''進(jìn)行了較為全面的總結(jié)和探討，于1248年撰寫《測圓海鏡》，對

一元高次方程和分式方程理論研究作出了卓越貢獻(xiàn).我國古代用算籌記數(shù)，表示數(shù)的算籌有縱式和橫式兩種，如圖

1所示.如果要表示一個多位數(shù)字，即把各位的數(shù)字依次橫列，個位數(shù)用縱式表示，且各位數(shù)的籌式要縱橫相間，

例如614用算籌表示出來就是“TTIU”,數(shù)字0通常用“。”表示.按照李治的記法,多項式方程各系數(shù)均用算籌表示，

在一次項旁記一“元''字，"元"向上每層增加一次幕，向下每層減少一次哥.如圖2所示表示方程為

7?

丁+336/+4184》+88320+—=0.根據(jù)以上信息，圖3中表示的多項式方程的實根為（）

縱式?IlinmiIIIIITirinrm

橫式一二三三三=三

123456789

圖1

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4555201

A.—和---B.—和—4C.—和—2D.——和—

326332

4.已知集合4=卜陣2,xeN},集合B={x*+x-6=0},則AA8=（）

A.{2}B.{-3,2}C.{-3,1}D.{-3,0,1,2}

已知復(fù)數(shù)=若，則）的虛部為（

5.2)

A.；B.—ic.--D.

2222

6.已知Z是復(fù)數(shù)z的共物復(fù)數(shù)，若z+2l在復(fù)平面上的對應(yīng)點位于第一象限，則z的對應(yīng)點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群該塔群隨山勢鑿石分階而建，依山

勢自上而下，第一階I座，第二階3座，第三階3座，第四階5座，第五階5座，從第五階開始塔的數(shù)目構(gòu)成一

個首項為5,公差為2的等差數(shù)列，總計108座，故名一百零八塔.則該塔的階數(shù)是（）

第7題圖第9題圖

A.10B.11C.12D.13

8.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì),所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周

盒體而無所失矣它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程比如在表達(dá)式中”…”即代表無限次重復(fù)，但原

1H--------

1+...

式卻是個定值，它可以通過方程i+4=x求得類似上述過程及方法.則67標(biāo)二的值為（）

x2

A.布+1B.后+1C.7D.2夜

22

9.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休在數(shù)

學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.我們從這

個商標(biāo)人人中抽象出一個圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)可能是（）

A./U）=—5―B./（x）=COC.f（x）=-4~D.f（x）=-^—

|x-lIX-1x'+l

10.等比數(shù)列{%}的前〃項和為S",若"3+452=0,則公比夕=（)

A.-1B.1C.-2D.2

11.已知ABCD5戶為正六邊形，若A、。為橢圓W的焦點，且8、C、E、廠都在橢圓W上，則橢圓W的離心率為

>/3-1

A.75-1B.72-1C.D.

22

12.函數(shù)丫=2國-1的圖象大致為（)

13.已知集合A合x|log2(x-l)<l},則4=)

A.(-8,2)B.(-8,3)C.(1,2)D.(1,3)

14.甲、乙、丙、丁四人參加某項技能比賽,賽前甲、乙、丙分別做了預(yù)測.甲說：“丙得第1名，我第3名”.乙說:

“我第1名，丁第4名”.丙說：“丁第2名,我第3名”.比賽成績揭曉后，發(fā)現(xiàn)他們每人只說對了一半.獲得第一名

的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

15.已知正數(shù)X,Z滿足xlny=ye==zx,則x,V,z的大小關(guān)系為（）

A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.以上均不對

16.圓。1：/+丫2-2砂=0和圓C2：（x-l>+y2=4相交，則實數(shù)。的取值范圍是（）

3333

A.B.-00,-------C.l)U(l?+°°)D.-co,-----

4,444

17.已知空間四邊形OABC中，點M在線段OA上，且OM=2M4,點N為BC中點，設(shè)麗=1,麗=尻元=C,

貝I」麗=（）

1r2rB.-4+幼+LC.匕口+LD,上+

A.—a+—b——c

223322232332

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18.若復(fù)數(shù)磬(aeR)為純虛數(shù)，則。的值為()

2—1

A.2B.C.1D.0

19.如圖，邊長為1的正方形O'AB'C是一個水平放置的平面圖形QWC的直觀圖，則平面圖形。鉆。以04為軸旋

轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是()

A.一個圓柱

B.一個圓柱和一個同底面的圓錐的組合體

C.一個圓錐和一個同底面的圓柱(內(nèi)部挖去一個同底等高的圓錐)的組合體

D.兩個同底的圓錐的組合體

20.黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.其

定義黎曼函數(shù)R(x)為：當(dāng)》=里(P，q為正整數(shù),4是既約真分?jǐn)?shù))時R(x)=,，當(dāng)x=0或X=1或X為［0,1］上

ppP

的無理數(shù)時R(x)=0.已知〃、b、。+人都是區(qū)間［0J內(nèi)的實數(shù)，則下列不等式一定正確的是

A.R(a+b)NR(a)+R(b)B.R(a,b)NR(a>R(b)C.R(a+b)WR(a)+R(b)D.R(a?b)SR(a)?R(b)

21.正四棱錐V->488的五個頂點在同一個球面上，若其底面邊長為4,側(cè)棱長為2幾,則此球的體積為

97r

A.72&刀B.36乃C.9叵兀D.—

22.區(qū)塊鏈作為一種革新的技術(shù)，已經(jīng)被應(yīng)用于許多領(lǐng)域.在區(qū)塊鏈技術(shù)中，若密碼的長度設(shè)定為256比特，則密碼

一共有2攻種可能；因此，為了破解密碼，最壞情況需要進(jìn)行2次次運算.現(xiàn)在有一臺機(jī)器，每秒能進(jìn)行2.5x10”次

運算，假設(shè)機(jī)器一直正常運轉(zhuǎn)，那么在最壞情況下這臺機(jī)器破譯密碼所需時間大約為()(參考數(shù)據(jù)：

1g2?0.3010)

A.4.5x1083秒B.4.5x1065秒c.4.5xl(嚴(yán)秒D.23x10,秒

23.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點K發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過

左焦點憶我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截

22

面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為*■-方=l(a>0,〃>0),耳,且為其左、右焦點，若從右焦點尸?發(fā)出

3、.

的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后，滿足N8AQ=90。，tanNA8C=-則該雙曲線的離心率為（）

4

A.@B.75C.叵D.V10

22

24.如果數(shù)列同時滿足以下三個條件：

（1）W,GZ（Z=1,2,---,10）；

（2）向量：=（1必）與1=（3,%。）互相平行；

23

（3）“血-4與的等差中項為彳a=1,2,…,9）.

那么，這樣的數(shù)列外,%，…，%。的個數(shù)為（）

A.248B.256C.128D.120

25.劉徽（約公元225年-295年），魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的，“割

之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳

作，割圓術(shù)的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正〃邊形等分成”個等腰三角形（如圖所示），當(dāng)〃變得很大時，這〃

個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術(shù)的思想，得到sin2的近似值為（）

A_R_2_C——

,901180,270360

22

26.過橢圓C：二+4=l（a>b>0）右焦點F的直線/：x-y-正=0交C于A、8兩點，P為AB的中點，且。P

a-b-

的斜率為-；，則橢圓C的方程為（）

27.設(shè)A、8為圓/+9=1上的兩動點，且乙4。8=120。，P為直線/：3x-4y-15=0上一動點，則|麗+麗|的最

小值為（）

A.3B.4C.5D.6

28.設(shè)雙曲線C：W-1=l（a>0乃>0）的離心率為逑，A,8是雙曲線C上關(guān)于原點對稱的兩個點，M是雙曲線C

a-b-4

上異于4,8的動點，直線仞4,斜率分別匕，白，若占€1.2,則與的取值范圍為（）

「311r13~

A.[-24,-4]B.C.14,24]D.—

_816J8_

29.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍.實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入

變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例.得到如下餅圖:

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位設(shè)麗經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

30.制作芯片的原料是晶圓，晶圓是由硅元素加以純化得到，晶圓越薄，其體積越小且成本越低，但對工藝的要求

就越高，即制作晶圓越薄其工藝就越高.某大學(xué)為鼓勵更多的有志青年投入到芯片事業(yè)中，成立甲，乙，丙三個科

研小組，用三種不同的工藝制作晶圓.甲小組制作的晶圓厚度為gsing毫米，乙小組制作的晶圓厚度為gsing毫米,

17

丙小組制作的晶圓厚度為geos（毫米，則在三個小組中制作工藝水平最高與最低的分別是（）

28

A.甲小組和丙小組B.丙小組和乙小組C.乙小組和丙小組D.丙小組和甲小組

31.設(shè)等差數(shù)列的前，項和為品，公差為已知四=12,S10>0,4<0,則選項不正確的是（）

24

A.數(shù)列的最小項為第6項B.-----<d<-4

5

C.a5>0D.時，”的最大值為5

32.如圖，在棱長為2的正方體中，￡EG分別是棱A8,8C,CC1的中點，P是底面ABCZ）內(nèi)一動

點，若直線AP與平面EFG不存在公共點，則三角形尸88,的面積的最小值為

第32題圖第33題圖

A.—B.1C.J2D.2

2

二、多選題

33.小李經(jīng)營的個體店在2020年各月份的收入和支出（單位：百元）情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中正確的有

A.月支出最高值與月支出最低值的比是6:1

B.1至2月份的支出的變化率與3至4月份的收入的變化率相同

C.利潤最大的月份是2月份和9月份

D.第三季度平均月利潤為2000元

34.下列說法正確的是（）

A.設(shè)隨機(jī)變量X等可能取1,2,3,…，n,如果P（X<4）=0.3,貝lJ〃=10

,則P(X=3)=^

B.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項分布

Io

C.設(shè)離散型隨機(jī)變量〃服從兩點分布，若P（7=1）=2P（/7=O）,則2（7=0）=；

D.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,〃）且P（X<4）=0.9,則P（0<X<2）=0.3

35.嫦娥奔月是中華民族的千年夢想.2020年12月我國嫦娥五號“探月工程”首次實現(xiàn)從月球無人采樣返回.某校航天

興趣小組利用計算機(jī)模擬“探月工程”，如圖，飛行器在環(huán)月橢圓軌道近月點制動（俗稱“踩剎車”）后，以vkm/s

的速度進(jìn)入距離月球表面〃km的環(huán)月圓形軌道（月球的球心為橢圓的一個焦點），環(huán)繞周期為fs,已知遠(yuǎn)月點

到月球表面的最近距離為膽km,則（）

第35題圖第36題圖第38題圖

A.圓形軌道的周長為（2"W）kmB.月球半徑為（A-”}111

C.近月點與遠(yuǎn)月點的距離為+D.橢圓軌道的離心率為‘之

、兀）m+n

36.如圖，在四面體ABC。中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，正確的為

A.ACJ.BDB.AC//截面PQMNC.AC=BDD.異面直線PM與8。所成的角為45°

37.為了增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，提高適應(yīng)自然環(huán)境、克服困難的能力，某校在課外活動中新增了一項登山活動，并

對“學(xué)生喜歡登山和性別是否有關(guān)'‘做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，得到如圖所示的等高條形統(tǒng)

計圖，則下列說法中正確的有（）

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0

90%

80%

70%

60%

50%

40%n^ad-bcy

30%附:其中〃=a+b+c+d.

20%(a+b)(d+d)(a+c)(b+d)'

0%

10%

0%

男女

□不喜歡口喜歡

k3.8416.635

P(/叫0.0500.010

A.被調(diào)查的學(xué)生中喜歡登山的男生人數(shù)比喜歡登山的女生人數(shù)多

B.被調(diào)查的女生中喜歡登山的人數(shù)比不喜歡登山的人數(shù)多

C.若被調(diào)查的男女生均為100人，則有99%的把握認(rèn)為喜歡登山和性別有關(guān)

D.無論被調(diào)查的男女生人數(shù)為多少，都有99%的把握認(rèn)為喜歡登山和性別有關(guān)

38.如圖所示是正四面體的平面展開圖,G,”,M.N分別為DE.BE,EEEC的中點，在這個正四面體中，下列命題正確的是

A.GH與EF平行B.8D與MN為異面直線C.G”與MN成60。角D.DE與MN垂直

22

39.已知橢圓C：二+二=1(必》0)的左，右兩焦點分別是F”F2,其中FIF2=2C.直線/:產(chǎn)?x+c)(AWR)與橢圓交

a"b~

于A,B兩點則下列說法中正確的有()

,2

A.△ABB的周長為4。B.若A5的中點為M,則心M?％=勺

a

C.若斯?再=3,2,則橢圓的離心率的取值范圍是半,gD.若AB的最小值為3c,則橢圓的離心率e=g

TT

40.函數(shù)f(x)=cos(s+e)3>0，ee(0,5))的部分圖像如圖所示，則下列說法中正確的有()

A.犬工)的周期為萬B.式外的單調(diào)遞減區(qū)間是(2%-!，2%+=)伐67)

44

C.7(x)的圖像的對稱軸方程為》=々-；/67)D.12020)欽2021)=0

41.設(shè)0<a<A,a+b=l,則下列結(jié)論正確的是()

A.a2+h2>hB.a<lab<—C.a>a2+b2D.—<a2+h2<l

22

42.對于數(shù)列｛4｝,若存在數(shù)列也｝滿足a=4(〃eN*),則稱數(shù)列也｝是的“倒差數(shù)列”，下列關(guān)于“倒

差數(shù)列”描述正確的是（）

A.若數(shù)列｛q｝是單增數(shù)列，但其“倒差數(shù)列”不一定是單增數(shù)列；B.若則其“倒差數(shù)列”有最大值;

C.若則其“倒差數(shù)列”有最小值；D.若可=1_，小，則其“倒差數(shù)列”有最大值.

43.甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：依）分別服從正態(tài)分布其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示,

則下列說法正確的是（）

第43題圖第45題圖第49題圖

A.乙類水果的平均質(zhì)量〃2=0.8B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右

C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)q=1少

44.下列命題中，正確的是（）

A.在AA8C中，A>B,.".sinA>sinS

B.在銳角A48C中，不等式sinA>cos3恒成立

C.在AABC中，若acosA=Z?cos3,則AABC必是等腰直角三角形

D.在AABC中，若8=60°,b2=ac,則AABC必是等邊三角形

45.在棱長為1的正方體ABCO-ABIG。中，下列結(jié)論正確的是（）

A.異面直線與所成的角大小為90°

B.四面體。Q8C的每個面都是直角三角形

C.二面角R-8C-耳的大小為30°

D.正方體AB8-AAGR的內(nèi)切球上一點與外接球上一點的距離的最小值為且二1

2

46.已知函數(shù)/（x）=sin2*x+cos2*x（%N2,k€N*）,則下列命題正確的是（）

A./（x）的圖象關(guān)于直線犬=口伏eN）對稱B.7（x）的最小正周期為萬

c.“X）的值域為,1D.在［o，z上單調(diào)遞減

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47.設(shè)數(shù)列｛““｝的前〃項和為S,，若q+5,,=A〃2+珈+C,則下列說法中正確的有（）

A.存在A,B,C使得｛%｝是等差數(shù)列B.存在A,B,C使得｛q｝是等比數(shù)列

C.對任意A,B,C都有｛““｝一定是等差數(shù)列或等比數(shù)列

D.存在A,B,C使得｛q｝既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

48.一個復(fù)數(shù)集X稱為某種運算的“和諧集”是指X滿足性質(zhì):①XUC；②Va,6GX對某種規(guī)定的運算〃金從都有

。十6GX.則下列數(shù)集X是相應(yīng)運算的“和諧集”的是（）

n

A.X=｛xec\x=i,X/neZ]9其中i是虛數(shù)單位，規(guī)定運算:〃十6=4也（V〃，b￡X）

B.X=｛xeC|xx=l｝,規(guī)定運算:a十b=

h

C.X=｛xeC||x|<1｝,規(guī)定運算:a十/?=4"（Vmb^X）

D.X=|XGC||X|+|y|<|x-y|,y=l+zj,規(guī)定運算:〃十6a+b,（Va,bGX）

49.函數(shù)/（x）=Asin（3r+0）（A>O,OV0V4）的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓。與/*）的圖象交于M,N兩點,

且M在y軸上，則下列說法中正確的是（）

A.函數(shù)/*）在上單調(diào)遞增

B.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點成中心對稱

C.函數(shù)f（x）的圖象向右平移當(dāng)個單位后關(guān)于直線工=營成軸對稱

126

D.若圓半徑為葛，則函數(shù)〃x）的解析式為/（x）=^sin（2x+（]

50.如圖，正方體A88-48GR的棱長為1,P為8c的中點，Q為線段C&上的動點，過點4,P,Q的平面截

該正方體所得的截面多邊形記為S,則下列命題正確的是（）

。1G

o

…以c

AB

A.當(dāng)CQ=；時，S為等腰梯形B.當(dāng)CQ=1時，S與GA的交點R滿足C|R=g

3D.當(dāng)CQ=1時，S的面積為誣

C.當(dāng)二vCQ<1時，S為六邊形

42

51.在正方體A3CZ）-ASGR中，EF，M分別為棱8c,CD,CC；的中點，P是線段AG上的動點（含端點），則（）

A.PM1BDB.ACJ/平面瓦M(jìn)

C.PE與平面A8C￡）所成角正切值的最大值為2&D.當(dāng)尸位于C1時，三棱錐尸-CE尸的外接球體積最小

52.已知函數(shù)，。）=洲門-e。05，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，下列說法中，正確的是（）

A./⑴在（0段）是增函數(shù)B.設(shè)gQ）=號，則滿足等'的正整數(shù)”的最小值是2

C.是奇函數(shù)D.f（x）在（0,%）上有兩個極值點

53.已知/（%）=%--——sinx.（）

兀

A.〃x）的零點個數(shù)為4B.f（x）的極值點個數(shù)為3

C.x軸為曲線y=/（x）的切線D.若/（玉）=/（毛），則占+々=萬

54.華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌”的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會

學(xué)領(lǐng)域都有重要作用.在混沌理論中，函數(shù)的周期點是一個關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)/（力是定義在R上的函數(shù),

對于x”R,令x,,=/（x,i）（〃=l,2,3「）若存在正整數(shù)％使得x*=x。，且當(dāng)0</”時，與wx°,則稱％是/（x）

的一個周期為&的周期點.給出下列四個結(jié)論正確的是（）

A.若/（x）=ei,則〃x）存在唯一個周期為1的周期點;

B.若〃6=2（1）,則〃x）存在周期為2的周期點;

C1

2x,x<—

2

C.若f(x)=,則/（X）不存在周期為3的周期點;

2(l-x),x>^

D.若〃x）=x（l-x）,則對任意正整數(shù)"，g都不是“X）的周期為〃的周期點.

22

55.已知圓C:Y+y2=2與雙曲線7:訝-2=1（〃>0力>0）的四個交點的連線構(gòu)成的四邊形的面積為4,若A為圓

C與雙曲線T在第一象限內(nèi)的交點，下為雙曲線T的右焦點，且礪.赤=叵（。為坐標(biāo)原點），則下列說法

6

正確的是（）

A.雙曲線T的漸近線方程為y=±*x

B.雙曲線7右支上的動點尸到。、尸兩點的距離之和的最小值為4

C.圓C在點A處的切線被雙曲線T截得的弦長等于14立

D.若以雙曲線T上的兩點“、N為直徑的圓過點。，則I*+1駕=[

第n卷（非選擇題）

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三、雙空題

56.如圖，一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬40cm,杯深8cm,稱為拋物線酒杯.①在杯口放

一個表面積為36萬0??的玻璃球，則球面上的點到杯底的最小距離為cm；②在杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，

要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為（單位：cm）.

規(guī)定以A,8）=電/

57.函數(shù)y=/（x）圖象上不同兩點必）處的切線的斜率分別是心（|的為

A與B之間的距離）叫做曲線y=/（x）在點A與點B之間的“彎曲度若函數(shù)y=*2圖象上兩點A與8的橫坐標(biāo)分

別為0,1,則。（A,8）=；設(shè)A（餐,必）,8（々,必）為曲線>=，上兩點，且占-々=1，若加,夕（A,8）<1恒

成立，則實數(shù)小的取值范圍是.

58.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，。卜,一手），￡（-3,0）,圓。過坐標(biāo)原點。，圓L與圓。外切.則（1）圓心的

半徑等于;（2）已知過點乙和拋物線f=2p），（p>0）焦點的直線與拋物線交于A,5,且方.麗=_3,

則P=.

四、填空題

59.三等分角是古希臘三大幾何難題之一，公元3世紀(jì)末，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯利用雙曲線解決了三等分角問題，

如圖，已知圓心角ACB是待三等分的角（0</ACB<K）,具體操作方法如下：在弦48上取一點力，滿足

以4。為實軸，為虛軸作雙曲線，交圓弧A8于點M,則即CM為NACB的三等分線，

已知雙曲線E的方程為f=1,點A,。分別為雙曲線E的左，右頂點，點8為其右焦點，點C為雙曲線

412

E的右準(zhǔn)線上一點，且不在x軸上，線段CB交雙曲線E于點P,若扇形CMB的面積為與，則普的值為

60.數(shù)獨是一種非常流行的邏輯游戲.如圖就是一個6x6數(shù)獨，玩家需要根據(jù)盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空

格的未知數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線官（3x2）內(nèi)的數(shù)字均含1—6這6個數(shù)字（每一行，每一

列以及每一個粗線宮都沒有重復(fù)的數(shù)字出現(xiàn)），則圖中的a+6+c+4=.

61.若（犬-。）2.（：一1）的展開式中常數(shù)項為—1,則a的值為.

62.已知橢圓C：—+^=1,左、右焦點分別為耳、尸z，P是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點且滿足尸石，尸小

4924

延長「心交橢圓C于點Q,則4F、PQ的內(nèi)切圓半徑是.

；'：］：,己知/(x)=e*_\,g(x)=(x-l)(如+2"/_，"_1

63.定義min{a,〃}=），若力（犬）=所>1｛/（了）遙（萬?恰

好有3個零點，則實數(shù)，"的取值范圍是.

2x-y<0,

64.如果實數(shù)x,y滿足線性約束條件｛x-3y+520,則z=x+y-2的最小值等于.

”1，

65.若后、鳥是雙曲線，■-卷=1（。>0,6>0）的左右焦點，過K的直線/與雙曲線的左右兩支分別交于A,8兩點.若

△AB5為等邊三角形，則雙曲線的離心率為.

66.已知點A是拋物線V=2px（p>0）上一點，尸為其焦點，以F為圓心、|/弘|為半徑的圓交準(zhǔn)線于8,C兩點，

若AFBC為等腰直角三角形，且AA8C的面積是4夜，則拋物線的方程是.

67.如圖，水平放置的正四棱臺形玻璃容器的高為27cm,兩底面對角線EG,E1G1的長分別為25cm和97cm.在容

器中注入水，水深為8cm.現(xiàn)有一根玻璃棒I,其長度為39cm.（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計），將/放在容

器中，/的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱GGi上，貝心浸沒在水中部分的長度為cm.

五、解答題

2

68.已知數(shù)列｛〃〃｝的前n項和Sn=n.

（1）求數(shù)列伍〃｝的通項公式；

8〃

（2）在①d=7---------②兒=々產(chǎn)2",③b,尸（-1）這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并求解

該問題.

若,求數(shù)列｛仇｝的前n項和T,,.

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69.在底面半徑為2高為26的圓錐中內(nèi)接一個圓柱,且圓柱的底面積與圓錐的底面積之比為1:4,求圓柱的表面

積.

70.(本小題滿分16分)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6cm,AD=\2cm,在線段48上取一點沿著過"

點的直線將矩形右下角折起，使得右下角頂點B恰好落在矩形的左邊AO邊上.設(shè)折痕所在直線與3c交于N點,

記折痕MN的長度為/,翻折角為0.

(1)寫出/關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，并求其定義域;

(2)求折痕/的最小值.

71.(本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊的角a(OccW?)與單位圓交于

點8,△08c為等邊三角形.

3

(1)若點8的橫坐標(biāo)是w，求tana的值和點C的坐標(biāo)；

(2)求4ABC的面積的取值范圍.

72.如圖所示的幾何體是由一個直三棱柱和半個圓柱拼接而成其中，/以B=90。，A8=AF=2,點G為弧CD的中點,

且C,G,D,E四點共面.

(1)證明：。，G,B,尸四點共面；

(2)若平面BOb與平面ABG所成銳二面角的余弦值為亙，求AO長.

6

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73.為落實十三五規(guī)劃節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設(shè)備的使用壽命進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，隨機(jī)抽取A

型和B型設(shè)備各100臺，得到如下頻率分布直方圖:

（1）將使用壽命超過2500小時和不超過2500小時的臺數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過2500小時不超過2500小時總計

A型

B型

總計

根據(jù)上面的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為使用壽命是否超過2500小時與型號有關(guān)?

（2）用分層抽樣的方法從不超過2500小時A型和B型設(shè)備中抽取8臺，再從這8臺設(shè)備中隨機(jī)抽取3臺，其中4

型設(shè)備為X臺，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）已知用頻率估計概率，現(xiàn)有一項工作需要10臺同型號設(shè)備同時工作2500小時才能完成，工作期間設(shè)備損壞

立即更換同型號設(shè)備（更換設(shè)備時間忽略不計），4型和B型設(shè)備每臺的價格分別為1萬元和0.6萬元，A型和8型

設(shè)備每臺每小時耗電分別為2度和6度，電價為0.75元/度.只考慮設(shè)備的成本和電費，你認(rèn)為應(yīng)選擇哪種型號的設(shè)

備，請說明理由.

n^ad-he)"

參考公式：

K-=(a+6)(c+d)(a+c)e+d)'n-a+b+c+d.

參考數(shù)據(jù):

網(wǎng)片“。）0.0500.0100.001

k（）3.8416.63510.828

74.如圖，在多面體ABCDE中，平面ACOEJ_平面ABC,四邊形HCDE為直角梯形，CD//AE,ACVAE,ZABC=60°,

8=1,AE=AC=2,F為BE的中點.

(1)當(dāng)BC的長為多少時，OF,平面ABE.

(2)求平面ABE與平面8c力所成的銳二面角的大小.

75.在如圖所示的圓柱中，A3為圓。1的直徑，是48的兩個三等分點，EA,FC,GB都是圓柱。0?的母

線.

(1)求證：FQ//平面ADE；

(2)設(shè)BC=1,已知直線A尸與平面ACB所成的角為30。，求二面角A—FB—C的余弦值.

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76.已知數(shù)列｛m｝滿足/=」二+一=+…+，-(〃eN*).

(1)求az,“3的值；

(2)對任意正整數(shù)〃，匾小數(shù)點后第一位數(shù)字是多少？請說明理由.

77.如圖，某生態(tài)農(nóng)莊內(nèi)有一直角梯形區(qū)域4?CD,AB//CD,A51BC,AB=3百米，8=2百米.該區(qū)域內(nèi)原

TT

有道路AC,現(xiàn)新修一條直道DP(寬度忽略不計),點P在道路AC上(異于A,C兩點)，N8AC=-,NDPA=0.

(1)用。表示直道DP的長度；

(2)計劃在ZVID尸區(qū)域內(nèi)種植觀賞植物，在ACDP區(qū)域內(nèi)種植經(jīng)濟(jì)作物.已知種植觀賞植物的成本為每平方百米

2萬元，種植經(jīng)濟(jì)作物的成本為每平方百米1萬元，新建道路。P的成本為每百米1萬元，求以上三項費用

總和的最小值.

78.已知函數(shù)/(x)=^rTnx(%>0).

(1)若％=1,求“X)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)〃x)有且只有一個零點，求實數(shù)k的值;

22

79.已知橢圓Ci：二+當(dāng)=1(。＞比＞0)的右焦點尸與拋物線C2的焦點重合，G的中心與Q的頂點重合.過產(chǎn)且與x

(Tb~

4

軸垂直的直線交Ci于4,8兩點，交C2于C,D兩點,且|a)|=§|AB|.

(1)求Ci的離心率；

(2)設(shè)M是。與C2的公共點，若|MF|=5,求Ci與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

80.我國南宋時期的數(shù)學(xué)家楊輝，在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖的三角形解釋二項和的乘

方規(guī)律.此圖稱為“楊輝三角”，也稱為“賈憲三角在此圖中，從第三行開始，首尾兩數(shù)為1,其他各數(shù)均為

它肩上兩數(shù)之和.

(1)把“楊輝三角”中第三斜列各數(shù)取出按原來的順序排列得一數(shù)列：1,3,6,10,15，…，寫出。，與a”—(〃eN*,n＞2)

的遞推關(guān)系，并求出數(shù)列｛6