西南財經(jīng)大學(xué)期權(quán)期貨及其他衍生品市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

第11章期權(quán)定價數(shù)值辦法第1頁第1頁目錄二叉樹期權(quán)定價模型蒙特卡羅模擬有限差分辦法（略）222第2頁第2頁單步二叉樹模型第3頁第3頁證券價格樹形結(jié)構(gòu)第4頁第4頁參數(shù)擬定在風(fēng)險中性世界里：所有可交易證券盼望收益都是無風(fēng)險利率；未來鈔票流能夠用其盼望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。參數(shù)p、u、d須滿足第5頁第5頁參數(shù)擬定(cont.)由以上條件可得：

期權(quán)價格為第6頁第6頁二叉樹圖結(jié)點(diǎn)

在情況下，節(jié)點(diǎn)會重疊。在

時刻，證券價格有i+1種也許，普通表示式為

其中j=0,1,….i假如假設(shè)p=0.5，則二叉樹圖中心線上標(biāo)資產(chǎn)價格不再和中心值相等，但概率始終不變。第7頁第7頁倒推定價法倒推定價法：從樹型結(jié)構(gòu)圖末端T時刻開始往回倒推，為期權(quán)定價。歐式期權(quán)：將T時刻期權(quán)價值預(yù)期值在?t時間長度內(nèi)以無風(fēng)險利率r貼現(xiàn)求出每一結(jié)點(diǎn)上期權(quán)價值。美式期權(quán)：在樹型結(jié)構(gòu)每一個結(jié)點(diǎn)上，比較在本時刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有?t時間到下一個時刻再執(zhí)行期權(quán)價值，選擇較大者作為本結(jié)點(diǎn)期權(quán)價值。第8頁第8頁案例1：美式看跌期權(quán)二叉樹定價假設(shè)標(biāo)資產(chǎn)為不付紅利股票，其當(dāng)前市場價為50元,波動率為每年40%，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10%，該股票5個月期美式看跌期權(quán)協(xié)議價格為50元，求該期權(quán)價值。第9頁第9頁案例1：美式看跌期權(quán)二叉樹定價(cont.)

為了結(jié)構(gòu)二叉樹，我們把期權(quán)有效期分為五段，每段一個月（等于0.0833年）。能夠算出第10頁第10頁案例1：美式看跌期權(quán)二叉樹定價(cont.)第11頁第11頁二叉樹定價普通過程：以美式看跌期權(quán)為例

把期權(quán)有效期劃分為N個長度為?t小區(qū)間

和分別為節(jié)點(diǎn)(i,j)處標(biāo)資產(chǎn)價格與期權(quán)價值：

其中j=0,1,2,…..N當(dāng)初間區(qū)間劃分趨于無窮大，能夠求出美式看跌期權(quán)準(zhǔn)確價值。普通將時間區(qū)間分成30步就可得到較為抱負(fù)結(jié)果。第12頁第12頁有紅利資產(chǎn)期權(quán)定價：支付連續(xù)紅利率q在風(fēng)險中性條件下，標(biāo)資產(chǎn)價格增長率應(yīng)當(dāng)為

，因此期權(quán)定價公式式變?yōu)椋合鄳?yīng)有下式仍然成立：第13頁第13頁p=0.5二叉樹圖在擬定參數(shù)u，p，d時不再假設(shè)，而令p=0.5，可得：該辦法長處在于無論?t和σ如何改變，概率總是不變。第14頁第14頁蒙特卡羅模擬第15頁第15頁隨機(jī)路徑在風(fēng)險中性世界中，為了模擬路徑

我們把期權(quán)有效期分為N個長度為?t時間段，則上式近似方程為：

或第16頁第16頁隨機(jī)路徑(cont.)其中S(t)代表t時刻S價值,ε是從原則正態(tài)分布中抽取一個隨機(jī)樣本。通過N個正態(tài)分布隨機(jī)抽樣就能夠組建一條資產(chǎn)價格蒙特卡羅模擬樣本路徑，并得到相應(yīng)回報值。重復(fù)以上模擬至足夠大次數(shù)，計算回報值平均值，貼現(xiàn)后就得到了期權(quán)盼望值和預(yù)計原則差。第17頁第17頁隨機(jī)路徑(cont.)用lnS比S準(zhǔn)確。用蒙特卡羅模擬為歐式期權(quán)定價時，由于期權(quán)回報只與期權(quán)到期時刻股票價格相關(guān)，能夠讓t+?t=T并直接利用公式lnS隨機(jī)過程來求T時刻股票價格。第18頁第18頁案例2：蒙特卡羅模擬路徑模擬

假設(shè)無紅利股票價格服從式(12.6)，年預(yù)期收益率r=14%，收益波動率為σ=20%，時間步長為?t=0.01年，則依據(jù)式(12.8)有

假設(shè)股票價格初始值為20，ε第一個樣本值為0.52，則第一個步長結(jié)束后，第二步開始時股票價格上升為20.236，這次抽到ε為1.44，因此第19頁第19頁案例2：蒙特卡羅模擬路徑模擬（Cont.）下表給出了案例2中模擬路徑：請大家思考：如何通過編程取得這個表？第20頁第20頁模擬運(yùn)算次數(shù)擬定假如對預(yù)計值要求95%置信度，則期權(quán)價值應(yīng)滿足其中，M為進(jìn)行運(yùn)算次數(shù)，μ為均值，ω為原則差。第21頁第21頁主要長處和主要缺點(diǎn)主要長處：應(yīng)用簡樸，無需深刻理解定價模型合用情形廣泛歐式衍生產(chǎn)品回報路徑依賴回報取決于多個標(biāo)資產(chǎn)主要缺點(diǎn)：難以處理提前執(zhí)行情形為了達(dá)到一定準(zhǔn)確度，普通需要大量模擬運(yùn)算第22頁第22頁差分法主要思想用離散算子迫近各項，將衍生證券所滿足偏微分方程

轉(zhuǎn)化為一系列近似差分方程，用迭代法求解，得到期權(quán)價值。在坐