創(chuàng)新方案高考數(shù)學復習精編（人教新課標）109條件概率事件的獨立性與二項分布（理）doc高中數(shù)學

5/5第十章第九節(jié)條件概率、事件的獨立性與二項分布（理）題組一條件概率1.已知盒中裝有3只螺口與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，那么在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(2,9)C.eq\f(7,8)D.eq\f(7,9)解析：設事件A為“第1次抽到是螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到是卡口燈泡”，那么P(A)＝eq\f(3,10)，P(AB)＝eq\f(3,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(21,90)＝eq\f(7,30).在已知第1次抽到螺口燈泡的條件下，第2次抽到卡口燈泡的概率為P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(7,30),\f(3,10))＝eq\f(7,9).答案：D2．設A、B為兩個事件，假設事件A和B同時發(fā)生的概率為eq\f(3,10)，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，那么事件A發(fā)生的概率為________________．解析：由題意知，P(AB)＝eq\f(3,10)，P(B|A)＝eq\f(1,2)，∴P(A)＝eq\f(P(AB),P(B|A))＝eq\f(\f(3,10),\f(1,2))＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)3．有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，那么這粒種子能成長為幼苗的概率為________．解析：設種子發(fā)芽為事件A，種子成長為幼苗為事件AB(發(fā)芽，又成活為幼苗)，出芽后的幼苗成活率為：P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根據(jù)條件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.答案：0.72題組二相互獨立事件4.國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為eq\f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()A.eq\f(59,60)B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,60)解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5).因此，他們不去北京旅游的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，所以，至少有1人去北京旅游的概率為P＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(3,5).答案：B5．如以下圖的電路，有a，b，c三個開關，每個開關開或關的概率都是eq\f(1,2)，且是相互獨立的，那么燈泡甲亮的概率為()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,16)解析：理解事件之間的關系，設“a閉合”為事件A，“b閉合”為事件B，“c閉合”為事件C，那么燈亮應為事件Aeq\o(B,\s\up6(－))C，且A，C，eq\x\to(B)之間彼此獨立，且P(A)＝P(eq\x\to(B))＝P(C)＝eq\f(1,2)，所以P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(A)·P(eq\x\to(B))·P(C)＝eq\f(1,8).答案：A6．甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進展測試，至少答對2題才算合格．(1)分別求甲、乙兩人考試合格的概率；(2)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率．解：(1)設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，那么P(A)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4)＋C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,3).P(B)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2)＋C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(14,15).(2)因為事件A、B相互獨立，所以甲、乙兩人考試均不合格的概率為P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝(1－eq\f(2,3))(1－eq\f(14,15))＝eq\f(1,45)，所以甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))·eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,45)＝eq\f(44,45).題組三獨立重復試驗7.某人射擊一次擊中目標的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標的概率為()A.eq\f(81,125)B.eq\f(54,125)C.eq\f(36,125)D.eq\f(27,125)解析：所求的概率為Ceq\o\al(2,3)0.62×0.4＋Ceq\o\al(3,3)0.63＝0.648＝eq\f(81,125).答案：A8．位于坐標原點的一個質(zhì)點P按以下規(guī)那么移動：質(zhì)點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是eq\f(1,2)，質(zhì)點P移動五次后位于點(2,3)的概率是()A．(eq\f(1,2))3B．Ceq\o\al(2,5)(eq\f(1,2))5C．Ceq\o\al(3,5)(eq\f(1,2))3D．Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,5)(eq\f(1,2))5解析：質(zhì)點由原點移動到(2,3)，需要移動5次，且必須有2次向右，3次向上，所以質(zhì)點的移動方法有Ceq\o\al(2,5)種，而每一次移動的概率都是eq\f(1,2)，所以所求的概率等于Ceq\o\al(2,5)(eq\f(1,2))5.答案：B9．2023年12月底，一考生參加某大學的自主招生考試，需進展書面測試，測試題中有4道題，每一道題能否正確做出是相互獨立的，并且每一道題被該考生正確做出的概率都是eq\f(3,4).(1)求該考生首次做錯一道題時，已正確做出了兩道題的概率；(2)假設該考生至少正確作出3道題，才能通過書面測試這一關，求這名考生通過書面測試的概率．解：(1)記“該考生正確做出第i道題”為事件Ai(i＝1,2,3,4)，那么P(Ai)＝eq\f(3,4)，由于每一道題能否被正確做出是相互獨立的，所以這名考生首次做錯一道題時，已正確做出了兩道題的概率為P(A1A2eq\x\to(A3))＝P(A1)·P(A2)·P(eq\x\to(A3))＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(9,64).(2)記“這名考生通過書面測試”為事件B，那么這名考生至少正確做出3道題，即正確做出3道題或4道題，故P(B)＝Ceq\o\al(3,4)×(eq\f(3,4))3×eq\f(1,4)＋Ceq\o\al(4,4)×(eq\f(3,4))4＝eq\f(189,256).題組四二項分布問題10.在4次獨立重復試驗中事件A出現(xiàn)的概率相同，假設事件A至少發(fā)生一次的概率為eq\f(65,81)，那么事件A在1次試驗中出現(xiàn)的概率為________．解析：A至少發(fā)生一次的概率為eq\f(65,81)，那么A的對立事件eq\x\to(A)：事件A都不發(fā)生的概率為1－eq\f(65,81)＝eq\f(16,81)＝(eq\f(2,3))4，所以，A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)11．某公交公司對某線路客源情況統(tǒng)計顯示，公交車從每個?？奎c出發(fā)后，乘客人數(shù)及頻率如下表：人數(shù)0～67～1213～1819～2425～3031人以上頻率0.10.150.250.200.200.1(1)從每個?？奎c出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約是多少？(2)全線途經(jīng)10個?？奎c，假設有2個以上(含2個)，乘客人數(shù)超過18人的概率大于0.9，公交公司就要考慮在該線路增加一個班次，請問該線路需要增加班次嗎？解：(1)每個?？奎c出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約為0.1＋0.15＋0.25＋0.20＝0.7.(2)從每個停靠點出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率為0.20＋0.20＋0.1＝0.5，途經(jīng)10個?？奎c，沒有一個停靠點出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率為(1－eq\f(1,2))10，途經(jīng)10個停靠點，只有一個?？奎c出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率Ceq\o\al(1,10)(eq\f(1,2))1(1－eq\f(1,2))9.所以，途經(jīng)10個?？奎c，有2個以上(含2個)?？奎c出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率P＝1－(1－eq\f(1,2))10－Ceq\o\al(1,10)(eq\f(1,2))1(1－eq\f(1,2))9＝1－eq\f(1,210)－eq\f(5,29)＝eq\f(1013,1024)>0.9.∴該線路需要增加班次．12．甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是eq\f(2,3)和eq\f(3,4).假設兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標，相互之間也沒有影響．(1)求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標的概率；(2)求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率；(3)假設某人連續(xù)2次未擊中目標，那么中止其射擊．問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？解：(1)記“甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標”為事件A1.由題意，射擊4次，相當于作4次獨立重復試驗．故P(A1)＝1－P(eq\x\to(A1))＝1－(eq\f(2,3))4＝eq\f(65,81)，所以甲連續(xù)射擊4次至少有一次未擊中目標的概率為eq\f(65,81).(2)記“甲射擊4次，恰有2次擊中目標”為事件A2，“乙射擊4次，恰有3次擊中目標”為事件B2，那么P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)×(eq\f(2,3))2×(1－eq\f(2,3))4－2＝eq\f(8,27)，P(B2)＝Ceq\o\al(3,4)×(eq\f(3,4))3×(1－eq\f(3,4))4－3＝eq\f(27,64).由于甲、乙射擊相互獨立，故P(A2B2)＝P(A2)·P(B2)＝eq\f(8,27)×eq\f(27,64)＝eq\f(1,8).所以兩人各射擊4次，甲恰有2次擊中目標且乙恰有3次擊中目標的概率為eq\f(1,8).(3)記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件A3，“乙第i次