2010第三屆優(yōu)秀第二階段題一等

—問題提 息列表。超期現(xiàn)象是讀者借閱資料時超過規(guī)定借閱期限后不歸還的一種普遍現(xiàn)象。處 隨著信息化的發(fā)展，的預(yù)約服務(wù)也逐漸普及。的預(yù)約與借閱超期的現(xiàn)象也近幾年，在國內(nèi)高校中預(yù)約系統(tǒng)被普遍采用，書籍一旦被預(yù)約，就不能再續(xù)借，附件中提供了某高校預(yù)約系統(tǒng)的運行統(tǒng)計數(shù)據(jù)。請建立數(shù)學(xué)模型評價圖根據(jù)前面三個問題的結(jié)論，請設(shè)計一個新的管理方案，盡量降低超期現(xiàn)象的發(fā)生率并提高利用率。分網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下預(yù)約模式作為高 館流通服務(wù)工作中的一種新生事物,[1]它可以滿讀者個性化需求，讓資源更公平的分配，提高了的利用率。新興的網(wǎng)絡(luò)預(yù)約方法，其載體是多，載體的特殊性決定了預(yù)約的特殊性。網(wǎng)絡(luò)預(yù)約的一般流程敗。[1]問題1問題 的實質(zhì)是比較有了預(yù)約系統(tǒng)后的管理方案與沒有預(yù)約的管理方案它就不可以再被續(xù)借了。實質(zhì)就是縮短讀者占用熱門資源的時間，可以讓讀者去了書5天帶給其他學(xué)生的價值，同時降低了館工作人員的積極性。預(yù)約系統(tǒng)引降提引降圖1預(yù)約系統(tǒng)數(shù)據(jù)挖掘與分析仔細(xì)分析某高校2008年預(yù)約分類統(tǒng)計表，發(fā)現(xiàn)A—N類（馬列類、哲學(xué)類、社科論類等）被預(yù)約者借出的書數(shù)都為0，在實際生活中，這是不可能的。因此，剔除2008年的數(shù)據(jù)，用、年的數(shù)據(jù)進行分析。取2009年的數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)預(yù)約申請圖2預(yù)約申請數(shù)、預(yù)約到的書數(shù)、被預(yù)約者借出數(shù)的關(guān)說明：系列1：預(yù)約申請數(shù)；系列2：預(yù)約到的書數(shù)；系列3：被預(yù)約者借出數(shù)借出的數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于預(yù)約申請數(shù)，即預(yù)約失敗率很高，高達(dá)63%以上。問題1在預(yù)約系統(tǒng)的影響下，第 類的流通次數(shù)會增長，而流通增長次數(shù)是一個隨問題2的分析總體分問題2實質(zhì)是綜合館借閱期限，預(yù)約規(guī)則，續(xù)借次數(shù)，懲罰規(guī)則等因素，以提高問題2的求解思路可以用均衡的思想來分析。學(xué)校想使它的利益最大（利用率提高與降低超期數(shù)，利用率與誤期發(fā)生率之差最大作為目標(biāo)函數(shù)，以對誤期發(fā)生率、利用率的影響函（主要為三類指數(shù)函數(shù)）作為約束條件，建立最優(yōu)化模型。假假設(shè)沒有預(yù)約系統(tǒng)的情況下，對于某一類預(yù)約書，學(xué)生按時歸還數(shù)k服從二項分假設(shè)續(xù)借期限對誤期發(fā)生率、利用率的影響為指數(shù)函數(shù)關(guān)系說 ai：第i類流通增長次數(shù)（i1,2, 22in'：第i類書被預(yù)約者借出的數(shù)量(i1, 22)iAik第i書歸還數(shù)為k時在預(yù)約系統(tǒng)的影響下流通的增長次數(shù)的數(shù)學(xué)期(i1, 22)A：總的流通增長期望； C：組合數(shù)符~N：預(yù)約失敗的書在5M：預(yù)約失敗書的總數(shù)P：預(yù)約失敗的書在5n3：書的預(yù)約人m：續(xù)借期限；C11：預(yù)約讀者保留書天數(shù)對誤期發(fā)生率的指數(shù)函數(shù)；C12：預(yù)約懲罰額數(shù)對誤期發(fā)生率的指數(shù)函數(shù)； ：預(yù)約讀者保留書天數(shù)對利用率的二次函數(shù) ：預(yù)約懲罰額數(shù)對利用率的指數(shù)函數(shù)；C23：預(yù)約人數(shù)對利用率的指數(shù)函數(shù)；C24：失約人數(shù)與利用率的指數(shù)函數(shù)；k2k3：預(yù)約人數(shù)對失約人數(shù)的線性 ：預(yù)約人數(shù)對每人保留書天數(shù)的指數(shù)函數(shù)；y1：懲罰力度對誤期發(fā)生率的指數(shù)函 ：懲罰力度對利用率的指數(shù)函數(shù)fi(x):針對第i類誤期讀者的懲罰函數(shù)（i=1,2,3fi：第i類懲罰函數(shù)針對第i類讀者的懲罰力度（i=1,2,3五模型的建立和預(yù)約系統(tǒng)評價模型模型V的分模型V（考慮到前面階段建立的四個模型，在本定義為模型V、模型VI）某高校經(jīng)濟類申請預(yù)約數(shù)為104，預(yù)約到書為78本，被預(yù)約者借出的有41本。假設(shè)沒有預(yù)約系統(tǒng)的情況下，如果學(xué)生按時歸還的書都大于41本，那么預(yù)約系統(tǒng)的功效就沒有發(fā)揮出來，如果學(xué)生按時歸還的數(shù)目小于41本，而在預(yù)約系統(tǒng)的督促下，又有多于（78-41）=37個人還書，并且多出來的書可以讓其他同學(xué)再借，這時預(yù)約 an' 其中ai表示第i類流通增長次數(shù)，ni表示第i類書被預(yù)約者借出的書數(shù)，k是一個隨變量。最后用22類流通增長次數(shù)的期望來表示總的流通的增長次數(shù)，Aikci 其中a表示流通總的增長次數(shù)，ci表示ai的發(fā)生的概率模型V的建 假設(shè)第i類書預(yù)約數(shù)中按時歸還（沒有預(yù)約系統(tǒng)，學(xué)生照樣按時歸還）的人數(shù)k服p，被預(yù)約者借出的書數(shù)為n，當(dāng)nk>0時， an' (k 因此，流通的增長次數(shù)的數(shù)學(xué)期望可 k

Ckpk(1p)nk(n'k k

i i其中Aik表示第i書歸還數(shù)為k時，在預(yù)約系統(tǒng)的影響下，流通的增長次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。in'表示在預(yù)約系統(tǒng)的影響下，第i類預(yù)約書歸還的數(shù)ii當(dāng)knii當(dāng)kn'時，預(yù)約系統(tǒng)都可以提高的流通次數(shù)，督促 i因此，第 類書流通增長次數(shù)的平均數(shù)學(xué)期望Aik

其中Ai表示第i類書流通增長次數(shù)的平均期望對于被預(yù)約者借出的書數(shù)為0的類，0。每一類書都有流通增長次數(shù)的平均期望，將 類平均期望相加起來，就可以表整 館的流通增長次數(shù)的平均期望，V的求

2 Aii1

（1首先要確定p初步2009與2010年預(yù)約到的總數(shù)跟預(yù)約的總數(shù)之因此，p必定要小于0.6447。根據(jù)實際情況，可以合理地假設(shè)p0.3，0.4或0.5（）整理年的數(shù)預(yù)約書類歸還被預(yù)約者A843BCDE000FGHIJ531續(xù)書類歸還被預(yù)約者KN100OP220QR110S000TU000V000X433Z000通過編程，求解的結(jié)果為：p取 流通增長次數(shù)ppp

表2顯示，有了預(yù)約系統(tǒng)以后，的流通數(shù)目有了明顯的增長，即流通率也有較明顯的增長?；趯嶋H情況，選擇p0.3作為最合理的概率，因此流通次數(shù)增長了219VI模型V懲罰函數(shù)讀者借書時，系統(tǒng)會自動判斷該讀者是否有誤期的書。如果發(fā)生有誤期的書，就調(diào)用模IISOM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行識別，識別該誤期是屬于哪種類型，然后調(diào)用模型四的率與利用率產(chǎn)生不同的影響。預(yù)對一本書，系統(tǒng)會先判斷是否已經(jīng)有人預(yù)借了此書，若有，就預(yù)約人數(shù)。以約人數(shù)對利用率也是有一定的影響：每人保留書天數(shù)越大，利用率就越低，懲罰額數(shù)越大，利用率就越高，失約人數(shù)越多，利用率就越低，預(yù)約人數(shù)越多，說明該越熱門，那么其利用率越高。續(xù)借期限為了簡化問題，對一個館，假設(shè)如果可以續(xù)借m次，每次續(xù)借期限是n，mn天，看成一次續(xù)借mn天。而續(xù)借期限對誤期發(fā)生率、ffYYN輸入SOM3VII建 通過對問題二的分析，我們發(fā)現(xiàn)懲罰、預(yù)約、退書續(xù)借對誤期發(fā)生率、利(xy1 如果是負(fù)相關(guān)的關(guān)系，其函數(shù)表達(dá)式x(y 為了避免在x=1時，y=1的情況出現(xiàn)，也可以運用S型函數(shù)y

1e(A3(xk

具體使用哪種類型的函數(shù)，可以按具體情況定奪。下面將利用上面的假設(shè)建立懲罰函數(shù)對誤期發(fā)生率、利用率的影響函數(shù)懲罰函數(shù)影響因素下面建立懲罰力度對誤期發(fā)生率的指數(shù)函數(shù)關(guān)系：我們知道懲罰力度越大，誤期發(fā)生率就越低，所以這里運用y

(xb( )2其函數(shù)圖

y1

,x 圖4懲罰力度對誤期發(fā)生率的指數(shù)函數(shù)關(guān)系圖下面建立懲罰力度與利用率的指數(shù)函數(shù)關(guān)系我們知道懲罰力度越大 利用率就越低，這里運用S型函數(shù)：yA1 。1e(A3(xk假設(shè)在懲罰力度達(dá)到1的情況下 利用率達(dá)到1，懲罰力度為0.1時，誤期發(fā)生達(dá)到0.2，建立懲罰力度與利用率的指數(shù)函數(shù)y20.2 1e(10(

,x 其函數(shù)圖像如圖5所示圖5罰力度與利用率的指數(shù)函數(shù)關(guān)系圖6：6SOM據(jù)作為訓(xùn)練樣本進行訓(xùn)練，得到最終的分類結(jié)果（2結(jié)果顯示：在119個樣本數(shù)據(jù)當(dāng)中，研究型誤期讀者有40人，誤期讀者有43人，無意誤期讀者有36人。三種誤期讀者所占的比例1，2，3分別是：33.61%，36.13%，在模型四我們已經(jīng)建立針對不同的誤期讀者類型的不同懲罰函數(shù)：研究超期讀者的懲罰函數(shù)：f(t)

t 0.1

t無意超期讀者的懲

1

f2(t)故意超期讀者的懲

f(t)

t

0.1

t 1ef1x),f2x),f3x7

(x3250)圖7對三種讀者類型的懲罰為了簡化問題，我們假設(shè)f1x)的懲罰力度f11，f2x的懲罰力度f20.5，f3x)的懲罰力度f3是0.3。定義讀者的綜合懲罰力度f=0.62

f1f12f23 把f代入y1、y2進行運算，得出誤期發(fā)生率、利用率分別是y1=0.5409，y2預(yù)約影響因素預(yù)約人數(shù)對每人保留書天數(shù)的指數(shù)函數(shù)關(guān)系：當(dāng)預(yù)約人數(shù)人保留書天數(shù)就越少，假設(shè)最多可以預(yù)約10個人，最少預(yù)約1個人（也就是只有一個人借相應(yīng)的每人可以(x730yaeb其函數(shù)圖像如圖8所示

k1

(n38.2479,n3 圖8預(yù)約人數(shù)對每人保留書天數(shù)的指數(shù)函數(shù)關(guān)系可以預(yù)約101個人（也就是只有一個人借相應(yīng)的懲罰額數(shù)分別為0.5x(元、0.1y1aeb(n3k210.90535e ,n3 其函數(shù)圖像如圖9所示圖9預(yù)約人數(shù)對懲罰額數(shù)的指數(shù)函數(shù)示意圖預(yù)約人數(shù)對失約人數(shù)的線性函數(shù)：根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)2008年、2009年以及2010年上半年的數(shù)據(jù)：比例一(已外借/預(yù)約申請)，其值分別為17.14%、36.89%、39.13%反過來，也就是說起失約率達(dá)到：82.86%、63.11%、60.87失約人數(shù)也越大。并設(shè)失約人數(shù)k3，與預(yù)約人數(shù)n3成線性關(guān)系：其函數(shù)圖像如圖10所示

圖10約人數(shù)對失約人數(shù)的線性函數(shù)示每人保留書天數(shù)對誤期發(fā)生率的指數(shù)函數(shù)：天數(shù)越大，誤期發(fā)生率越小。假設(shè)天數(shù) (x0.8，300.2yaeb C11 ,k1[7, 其函數(shù)圖像如圖11所示圖11每人保留書天數(shù)對誤期發(fā)生率的指數(shù)函數(shù)示意圖每懲罰額數(shù)對誤期發(fā)生率的指數(shù)函數(shù)：懲罰額數(shù)越大，誤期發(fā)生率越小。假設(shè)懲罰額數(shù)(x0.80.8得C12

(k20.4168,k2[0.1, 其函數(shù)圖像如圖12所示圖12每懲罰額數(shù)對誤期發(fā)生率的指數(shù)函數(shù)示意圖模型因為當(dāng)一個讀者所保留書的時間太短還沒來得及吸收書本的知識會歸還館，低了，也就利用率也低。這里假設(shè)當(dāng)天數(shù)為7時，利用率為0.4，天數(shù)為30時，流通率也為0.4，當(dāng)天數(shù)18.5時，達(dá)到最大1過以上三（該（7,0.4（18.5,1（30,0.4）C0.0045k20.1679k0.5527,k[7, 其函數(shù)圖像如圖13所示圖13每人保留書天數(shù) 利用率的二次函數(shù)示意懲罰額數(shù) 利用率的指數(shù)函數(shù)：懲罰額數(shù)越大，利用率越高。假設(shè)懲罰額數(shù)0.1時 利用率為0.2，懲罰額數(shù)為0.5時，利用率為1，運用模型yA 得 1e(A3(xk其函數(shù)圖像如圖14所示

0.2 1e10(k2

,

[0.1, 圖14每懲罰額數(shù) 利用率的指數(shù)函數(shù)示意失約人數(shù) 利用率的指數(shù)函數(shù)：失約人數(shù)越大，利用率越低。假設(shè)失約人數(shù)(x0時，利用率為1，失約數(shù)為7時，利用率為0.2，運用模型yaeb得(k3C24e5.5177,k3[0, 其函數(shù)圖像如圖15所示圖15失約人數(shù) 利用率的指數(shù)函數(shù)示意 高。假設(shè)預(yù)約人數(shù)為1時， 利用率為0.5，預(yù)約數(shù)為10時， 利用率為1，運用(xy1aeb其函數(shù)圖像如圖16所示

0.5 1e(5n3

,

圖圖16（3）續(xù)借期續(xù)借期限對誤期發(fā)生率造成的指數(shù)函數(shù)影響 續(xù)借期為0天，誤期發(fā)生率為0.8， 續(xù)借期為60天（兩次續(xù)借，一次30(x天，發(fā)生率為0.2。運用模型yaeb得(m其函數(shù)圖像如圖17所示

Y1

50.9593,m[0, 圖 續(xù)借期限對誤期發(fā)生率造成的指數(shù)函數(shù)示意續(xù)借期限對利用率造成的指數(shù)函數(shù)影響續(xù)借期限越大 假 利用率為 (x天，利用率為0.8。運用模型y b得 Y2 72.0673,m[0, 其函數(shù)圖像如圖18所示圖圖模型的求 PC11C12

利用 PC21C22C23C24Y2 最終模型k1

(n3

PP22

(n3 C230.51e(5n3k10.90535e Ck20.6893 C

( 3

k1

(k2

(m

s.tY2C0.0045k20.1679k C11C12

3C0.2 PC21C22C23C24 n3m

n3NmN 天數(shù)為18天，發(fā)生誤期的懲罰額數(shù)為0.27，續(xù)借的期限為60天，即可以兩次續(xù)借，一次30天。利用率為：0.6813，誤期發(fā)生率為：0.4234。（0.8148，0.5409，5.3管理的方案實行預(yù)約制度，對于同一本書，最多預(yù)約的人數(shù)為618對于預(yù)約超期的懲罰力度，平均每天控制在0.27借期為一個月，續(xù)借有兩次，每一次30模型V改

六模型的改以后，預(yù)約者遲遲不來取書，但館必須為預(yù)約者保留一段時間。在這段時間里，可夠更精確地評價預(yù)約系統(tǒng)對流通率的作用，我們考慮對模型V進行改進，建立一個同時考在保留