第章 能量原理

第8章

能量原理

（變分原理和極值原理）1問(wèn)題的引入彈性力學(xué)問(wèn)題的兩種基本解法1、建立偏微分方程邊界條件（直接法）2、建立變分方程（泛函的極值條件）優(yōu)點(diǎn)：最終可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問(wèn)題，化為代數(shù)方程，為近似解的尋求提供方便。也是數(shù)值方法的理論基礎(chǔ)。兩種方法具有等價(jià)性,且力學(xué)問(wèn)題中的泛函多為能量,是標(biāo)量,應(yīng)用方便?！?—1

變分法的預(yù)備知識(shí)數(shù)學(xué)上的變分法：求解泛函的極值方法彈性力學(xué)中的變分法：以能量為泛函，求能量泛函的極值方法，又稱能量法。嚴(yán)格地，能量法與變分法不盡相同，變分法含義更廣。關(guān)于變分法的若干基本概念：一、函數(shù)與泛函1、函數(shù)函數(shù)是實(shí)數(shù)空間到實(shí)數(shù)空間的映射2、泛函是函數(shù)空間到實(shí)數(shù)空間的映射例：設(shè)ｘｙ面內(nèi)有給定的兩點(diǎn)Ａ和Ｂ，如圖所示，連接這兩點(diǎn)的任一曲線的長(zhǎng)度為

顯然長(zhǎng)度L依賴于曲線的形狀，也就是依賴于函數(shù)y(x)的形式。因此，長(zhǎng)度Ｌ就是函數(shù)y(x)的泛函。在較一般的情況下，泛函具有如下的形式二、函數(shù)的微分與變分1、自變量的微分dx2、函數(shù)的微分3、函數(shù)的變分注意到：與(*)式比較，可見(jiàn)：即：結(jié)論：導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù)，或變分記號(hào)與求導(dǎo)記號(hào)可以互換。三、泛函的變分一般情況下，泛函可寫為：1、按照泰勒級(jí)數(shù)展開法則，被積函數(shù)f的增量可以寫成上式中右邊的前兩項(xiàng)是f的增量的主部，定義為f的一階變分，表示為2、再考察定義泛函I的變分結(jié)論：變分運(yùn)算和積分運(yùn)算可以交換次序與上式比較，可得：四、泛函的駐值與極值1、函數(shù)的駐值和極值如果函數(shù)y(x)在x＝x0的鄰近任一點(diǎn)上的值都不大于或都不小于y(x0)，即

y(x)－y(x0)≤０或≥０則稱函數(shù)y(x)在x＝x０處達(dá)到極大值或極小值。極值的必要條件為極值必是駐值，但駐值不一定是極值。取極值的必要條件為，其充分條件由二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判定2、泛函的駐值和極值其中：五、歐拉方程與自然邊界條件因?yàn)槿●v值，所以為歐拉方程，可見(jiàn)上述泛函的駐值問(wèn)題等同于歐拉微分方程邊值問(wèn)題的解。如果問(wèn)題是：自變函數(shù)事先滿足的邊界條件稱為本質(zhì)邊界條件。§8—2應(yīng)變能與余應(yīng)變能1.應(yīng)變能:物體因變形儲(chǔ)存的能量。功和能的關(guān)系：可逆過(guò)程外力做功動(dòng)能、應(yīng)變能不可逆過(guò)程熱能、聲能在彈性力妥學(xué)中，僅匪研究可逆過(guò)案程。對(duì)于靜力學(xué)問(wèn)樸題，認(rèn)狼為外荷給載對(duì)彈啞性體所逝做的功休全部轉(zhuǎn)儉化為彈杰性體的鐘應(yīng)變能拒，并貯勺存于彈躺性體內(nèi)線。若卸建去外荷牙載，彈鞠性體將濱釋放出湖全部的擇應(yīng)變能撐，并恢朱復(fù)其未呈受載時(shí)獎(jiǎng)的初始透狀態(tài)。分析：從A狀態(tài)到B狀態(tài)外荷載做蹦功的增量奧：彈性體蝴應(yīng)妨變能增暮量:對(duì)于彈王性靜力歉學(xué)問(wèn)題上，根據(jù)財(cái)熱力學(xué)怕第一定狹律：微元體在歡某一應(yīng)變尾狀態(tài)獲得杠的應(yīng)變能偶增量為其中，姨為彈秤性體變眠形過(guò)程棒中的位城移增量專。利用高斯薪公式得：考慮到應(yīng)陪力張量的翁對(duì)稱性，辮有定義：?jiǎn)握治惑w積彈良性體的應(yīng)鍋?zhàn)兡?或稱應(yīng)超變能密稀度)為與前式有：得比較比較:此式稱午為格林(Gr憂een觀)公式，它界適用于一摔般材料，攻不局限于娘線彈性材腦料。由于彈性譯體的應(yīng)變眨能由其變姥形狀態(tài)唯忍一確定，才它是狀態(tài)陣函數(shù)，與誰(shuí)變形過(guò)程姻無(wú)關(guān)，故柏有在狀態(tài)的應(yīng)變嗽能密度鉆為、竭為0~、的某個(gè)中竹間狀態(tài)。彈性體應(yīng)糧變能是狀趕態(tài)函數(shù)，枯故上式積師分與路徑律無(wú)關(guān)。對(duì)于線性房誠(chéng)問(wèn)題，可涉假設(shè)在變館形過(guò)程中導(dǎo)應(yīng)力、應(yīng)文變分量等緩比例增長(zhǎng)蓬。2.余應(yīng)變校能、余捆應(yīng)變能考密度對(duì)于單奔向拉伸更問(wèn)題應(yīng)變能咸密度為引入另炒一標(biāo)量胡函數(shù)：即余應(yīng)變擊能密度。余應(yīng)變狼能一般地，饅應(yīng)變能密錯(cuò)度和余應(yīng)津變能密度改滿足關(guān)系對(duì)于線彈也性體§8己—3廣義虛功在原理一、真慎實(shí)位移耀、真實(shí)歲應(yīng)力和公真實(shí)應(yīng)呢變即幾何粒連續(xù)條顏件即平衡老條件它們構(gòu)成萬(wàn)彈性力學(xué)駝問(wèn)題的解事。二、容遷許位移奔、容許怨應(yīng)變只對(duì)應(yīng)敢于一個(gè)娛連續(xù)的險(xiǎn)位移場(chǎng)扔，但不繁一定對(duì)逆應(yīng)于一婆個(gè)平衡染的應(yīng)力嚇狀態(tài)，良即與遇對(duì)應(yīng)去的應(yīng)力得不一定江滿足平加衡條件筐；而真館實(shí)位移翼必對(duì)應(yīng)鑼一個(gè)平伙衡的應(yīng)某力狀態(tài)駐。容許位步移和應(yīng)喉變不一垃定是真通實(shí)的位政移和應(yīng)調(diào)變。但藍(lán)反之，售真實(shí)的艇位移和鞭應(yīng)變必足然是容績(jī)?cè)S的。比較3、容許醬應(yīng)力比較與容許應(yīng)風(fēng)力對(duì)應(yīng)的軟應(yīng)變與位存移不一定盈滿足協(xié)調(diào)訂方程和位風(fēng)移邊界條隙件，不保喝證物體內(nèi)威部存在單繼值連續(xù)的耀位移場(chǎng)，舒但真實(shí)應(yīng)螞力對(duì)應(yīng)于繳單值連續(xù)夫的位移場(chǎng)少。容許應(yīng)力產(chǎn)不一定是寫真實(shí)的應(yīng)勻力。但反蓮之，真實(shí)貸的應(yīng)力必述然是容許欺的。4、虛位移趴、虛應(yīng)變彈性體洋平衡位徒置附近擴(kuò)，幾何筍約束條死件容許永的微小輕位移，戰(zhàn)記為5、虛應(yīng)力彈性體棍平衡位浩置附近皮，平衡浙條件所躬容許的超微小應(yīng)公力狀態(tài).但在位疏移邊界帝上引起潮一個(gè)容屈許的面政力6、廣義虛土功原理外力在林容許位柜移上所仰做的功衡等于容怖許應(yīng)力敲在與該薯容許位候移相應(yīng)打的容許和應(yīng)變上爸所做的憐功。簡(jiǎn)占述為，寬外力虛退功等于妥內(nèi)力虛求功。證明：移項(xiàng)后說(shuō)明：1、證明覆中，涉棒及到平妄衡、幾搬何方程荒，并未舞涉及到凝物理方徹程。故炎在小變涉形及連粘續(xù)性條財(cái)件下，礙適用于繁任何材肝料。2、容許應(yīng)饅力與容許搖位移、容伸許應(yīng)變可誘以是同一默彈性體中起不同的受亭力狀態(tài)和湯變形狀態(tài)石，彼此獨(dú)塞立。3、（a）平衡條透件、（b）幾何條扛件、（c）廣義緞虛功方娃程三者災(zāi)間得關(guān)伸系由其思中任兩旋個(gè)條件毛可得第尺三個(gè)。由（b）、（c)孝(a)表述為聞：若有薦一組內(nèi)漫外力，地對(duì)于任界意容許按位移和其相應(yīng)的控容許應(yīng)成變，使創(chuàng)廣義虛仿功原理顫成立，忽則這組駕內(nèi)外力撕是平衡這的。證明：因?yàn)閺V義嬸虛功原理由（a）、（c)徒(憂b)表述為：彈若有一組蛙位移和應(yīng)浩變，對(duì)于另任意容許米應(yīng)力，使腳廣義虛功貞原理成立梯，則這組亡位移和應(yīng)跪變是可能姓的。關(guān)系：平衡條應(yīng)件幾何條負(fù)件平衡條件幾何條件廣義虛功向原理7、虛位移羞原理由廣義闊虛功原視理：并取虛位移疊原理外力虛功=內(nèi)力虛功即為：或稱：虛位移右原理浴平衡爹方程＋掩應(yīng)力邊捆界條件8、虛應(yīng)力釀原理由廣義虛細(xì)功原理：由廣義虛正功原理：外余虛催功=內(nèi)余虛功表明在已知脅位移的阻邊界上原，虛面筍力在真坊實(shí)位移攜上作的粱功，等闖于整個(gè)贏彈性體茂的虛應(yīng)絮力在真坊實(shí)應(yīng)變涼上作的個(gè)功。即批虛應(yīng)力耳原理。虛應(yīng)力原筋理陸幾何方織程＋位移魚邊界條件9、功的互等掘定理廣義虛箭功方程增應(yīng)用于峰同一彈嗓性體兩拔種不同脖受力和要變形狀鼠態(tài)下的浙解答。若取第準(zhǔn)一種應(yīng)帶力，第萬(wàn)二種位趟移和應(yīng)閉變，則蜻：若取第二栗種應(yīng)力，渣第一種位懲移和應(yīng)變蜜，則：故有：注意：1、功的互獨(dú)等定理僅孟適用于線跑彈性體2、可進(jìn)一逐步得到位塑移互等、料反力互等邀定理?！?－4最小勢(shì)能峽原理、位卵移變分方厚程虛位移備原理稱為位移懲變分方程抹，也稱lag盡ran朱ge變分方程旱。表示：彈做性體應(yīng)變書能的變分率等于外力爆的虛功。另：外力大小嶼和方向在艱過(guò)程萬(wàn)中不變。對(duì)于線從彈性體框：由此可早見(jiàn)，在量滿足幾肆何條件案的所有差可能的沸位移中嫂，實(shí)際拳存在的生位移使?jié)u總勢(shì)能起變分為蹦零，即魯：使總表勢(shì)能取庫(kù)駐值。進(jìn)一步可雜以證明，建對(duì)于穩(wěn)定知平衡狀態(tài)飲，，這個(gè)駐宏值為極小啄值。又解耀具有唯一應(yīng)性，由此摔可以導(dǎo)出細(xì)：最小勢(shì)撕能原理唯：在所有蒙變形可畏能的位佳移中，掏實(shí)際存悠在的位湊移使總曾勢(shì)能取吳最小值兵。它等贏價(jià)于平淋衡方程瓦和應(yīng)力思邊界條待件。證頸明如下谷：必要性也悶成立。所以變侍分問(wèn)題捐的歐繁拉方程配為，自然芹邊界條懂件為應(yīng)駝力邊界條件。證明是極多小值對(duì)于線彈左性體，其效總勢(shì)能為又：對(duì)于穩(wěn)定魚平衡，應(yīng)秒力存在變進(jìn)分由：而：得：所以§8－5最小余尤能原理同、應(yīng)力喬變分方偽程1、在第二節(jié)妙已經(jīng)證明頸了同樣，忙可以證棕明2、由虛應(yīng)宜力原理即應(yīng)力嫂變分方敞程3、由于宋是邊欄界Ｓu上給定的高已知函數(shù)袍，所以右端肝項(xiàng)中變分予可以移到鬼積分號(hào)前雁面，并記由此可垂見(jiàn)，在托所有靜緒力可能霞的應(yīng)力雙中，實(shí)克際存在壟的應(yīng)力繁使彈性數(shù)體的總略余能取耍駐值，伯進(jìn)一步攏可以證魂明，對(duì)門于穩(wěn)定猶平衡狀返態(tài)，這濫個(gè)駐值汽為極小蒜值。又族解具有月唯一性保，由此乳可以導(dǎo)柄出最小余能押原理：在躬所有靜力往可能的應(yīng)剃力中，實(shí)圖際存在的況應(yīng)力使彈愿性體的總穴余能取最絨小值。得到:彈性體倆總余能證明：最小余傘能原理守等價(jià)于歸幾何方禍程和位正移邊界孤條件。反之，必推要性也成缸立變分問(wèn)翻題球的歐麻拉方程獻(xiàn)為幾何名方程，闊自然邊役界條件舉為位移照邊界條聽(tīng)件?！?－6基于最玩小勢(shì)能春原理的鎮(zhèn)近似計(jì)鉆算基于最小授勢(shì)能原理閱，如果能菌夠列出所跡有變形可填能的位移乒，其中使默總勢(shì)能取片最小值的革那個(gè)位移封，就是真煙實(shí)的位移纖。問(wèn)題在疑于：我們不戴可能列出所掀有變形匆可能的茫位移，屬一般只遞能選其油中的一墓組，故密解具有栽近似性餃。但：如果事先隔給出的變籌形可能位掩移中含有孤真解的形尿式，則一漆定可以求孩出真解。1.遭Rit除z法不失一餃般性,設(shè)可能位叼移為上式所示旱的位移總菠能滿足位僅移邊界條拒件求位移的引問(wèn)題檢求系數(shù)Ａm,Ｂm,Ｃm其中,含有應(yīng)縱變能和質(zhì)位移的計(jì)變分,如何實(shí)慨現(xiàn)?代入,有:m＝１，２身，３，…關(guān)于Ａm,Ｂm,Ｃm的3m個(gè)線性代催數(shù)方程組2.伽遼金有法由:得到:如果選擇扁的位移不拉僅滿足位衫移邊界條邪件，而且數(shù)還滿足應(yīng)塑力邊界條制件，則上良式成為關(guān)于Ａm,Ｂm,Ｃm的3m個(gè)線性子代數(shù)方粒程組得到:例1.求簡(jiǎn)支梁龜?shù)膿锨€滿足端點(diǎn)固基本邊界宇條件:分析:關(guān)鍵是求J的表達(dá)稀式,設(shè):w(０)＝０，w(l）＝０由最小勢(shì)粥能原理δＪ