從圓到橢圓-一個(gè)不得不說(shuō)的性質(zhì)

從圓到橢圓-一個(gè)不得不說(shuō)的性質(zhì)從圓到橢圓，一個(gè)不得不說(shuō)的性質(zhì)思考：請(qǐng)將圓中的其它性質(zhì)類比到橢圓中，進(jìn)行探究．1、圓的垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦．類比：橢圓中，過(guò)中心平分橢圓弦的直線與弦所在直線的斜率之積是否為一定值？（假設(shè)它們的斜率存在）；2、圓的重要性質(zhì)：圓的一條直徑的兩端點(diǎn)與圓上除這兩個(gè)端點(diǎn)外的任一點(diǎn)的連線的斜率之積為定值。類比：橢圓中，過(guò)橢圓中心的一條弦的兩端點(diǎn)與橢圓上除這兩個(gè)端點(diǎn)外的任一點(diǎn)的連線的斜率之積是否為一定值？3、圓的切線定理：過(guò)切點(diǎn)的直徑垂直于圓的切線．類比：橢圓中，橢圓上一點(diǎn)與中心連線的斜率與該點(diǎn)處切線的斜率之積是否為一定值？（假設(shè)它們的斜率存在）．命題1和2是一致的，命題3是命題1的極限狀態(tài)。結(jié)論1：橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與橢圓A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B.設(shè)直線PA的斜率為k.（1）若直線PA平分線段NM時(shí)，求k的值；（2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離； （3）對(duì)任意的k＞0，求證：PA⊥PB．你能利用我們所探究的結(jié)論來(lái)解決（3）嗎？y思考1：（4）如圖，若為橢圓的右頂點(diǎn)，直線AD、PD交直線于兩點(diǎn)，則的最小值為．y你能利用我們所探究的結(jié)論來(lái)解決（4）嗎？思考2：以江蘇2011年高考試題第18題為例，能否對(duì)第（3）問(wèn)的結(jié)論作一般性研究？即對(duì)于橢圓，滿足題設(shè)的PA、PB的斜率乘積是否為定值？OBOBCF1F2Dxy1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓()的左、右焦點(diǎn)，B，C分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，直線BF2與橢圓的另一交點(diǎn)為.若，則直線的斜率為解答：由結(jié)合余弦定理，可得橢圓離心率為，而后利用橢圓圓周角性質(zhì)定理易得結(jié)果。2.橢圓與軸交與兩點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，直線分別與直線交與兩點(diǎn)，問(wèn)以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？定點(diǎn)為，3.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)作兩條互相垂直的弦，交橢圓于兩點(diǎn)（1）當(dāng)直線斜率為1時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（2）當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線是否過(guò)軸上的一定點(diǎn)（2）由（1）知過(guò)定點(diǎn)由，同理思考：坐標(biāo)平面上有兩個(gè)定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，如果直線的斜率之積為定值，試討論點(diǎn)的軌跡.4:已知是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，求證：為定值解：設(shè)=為定值思考：在雙曲線中能否給出類似的結(jié)論？已知